电商网站建设试题,wordpress wp head,淘宝网页视频如何下载,郑州网站制作报价文章目录 前言一、01背包问题#xff0c;你该了解这些#xff01;二、01背包问题#xff0c;你该了解这些#xff01; 滚动数组三、416. 分割等和子集总结 前言
01背包 一、01背包问题#xff0c;你该了解这些#xff01; 确定dp数组以及下标的含义 对于背包问题#x… 文章目录 前言一、01背包问题你该了解这些二、01背包问题你该了解这些 滚动数组三、416. 分割等和子集总结 前言
01背包 一、01背包问题你该了解这些 确定dp数组以及下标的含义 对于背包问题有一种写法 是使用二维数组即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取放进容量为j的背包价值总和最大是多少。 只看这个二维数组的定义大家一定会有点懵看下面这个图 要时刻记着这个dp数组的含义下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的如果哪里看懵了就来回顾一下i代表什么j又代表什么。 确定递推公式 再回顾一下dp[i][j]的含义从下标为[0-i]的物品里任意取放进容量为j的背包价值总和最大是多少。 那么可以有两个方向推出来dp[i][j] 不放物品i由dp[i - 1][j]推出即背包容量为j里面不放物品i的最大价值此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时物品i无法放进背包中所以背包内的价值依然和前面相同。)放物品i由dp[i - 1][j - weight[i]]推出dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值那么dp[i - 1][j - weight[i]] value[i] 物品i的价值就是背包放物品i得到的最大价值 所以递归公式 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]); 关于初始化一定要和dp数组的定义吻合否则到递推公式的时候就会越来越乱。 首先从dp[i][j]的定义出发如果背包容量j为0的话即dp[i][0]无论是选取哪些物品背包价值总和一定为0。 状态转移方程 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来那么i为0的时候就一定要初始化。 dp[0][j]即i为0存放编号0的物品的时候各个容量的背包所能存放的最大价值。 那么很明显当 j weight[0]的时候dp[0][j] 应该是 0因为背包容量比编号0的物品重量还小。 当j weight[0]时dp[0][j] 应该是value[0]因为背包容量放足够放编号0物品。 dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了那么其他下标应该初始化多少呢 其实从递归公式 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了那么 其他下标初始为什么数值都可以因为都会被覆盖。 初始-1初始-2初始100都可以 但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0更方便一些。 先遍历 物品还是先遍历背包重量呢 答案是都可以仅针对二维数组 为什么也是可以的呢 要理解递归的本质和递推的方向。 dp[i][j] max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。 dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向包括正上方向那么先遍历物品再遍历背包的过程如图所示 再来看看先遍历背包再遍历物品呢如图 大家可以看出虽然两个for循环遍历的次序不同但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角根本不影响dp[i][j]公式的推导 举例推导dp数组 二、01背包问题你该了解这些 滚动数组 确定dp数组的定义在一维dp数组中dp[j]表示容量为j的背包所背的物品价值可以最大为dp[j]。 一维dp数组的递推公式dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值那么如何推导dp[j]呢 dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。 dp[j - weight[i]] value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。也就是容量为j的背包放入物品i了之后的价值即dp[j] 此时dp[j]有两个选择一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]即不放物品i一个是取dp[j - weight[i]] value[i]即放物品i指定是取最大的毕竟是求最大价值 一维dp数组如何初始化关于初始化一定要和dp数组的定义吻合否则到递推公式的时候就会越来越乱。 dp[j]表示容量为j的背包所背的物品价值可以最大为dp[j]那么dp[0]就应该是0因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。 那么dp数组除了下标0的位置初始为0其他下标应该初始化多少呢 看一下递归公式dp[j] max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]); dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。 这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值而不是被初始值覆盖了。 那么我假设物品价值都是大于0的所以dp数组初始化的时候都初始为0就可以了。 一维dp数组遍历顺序这里大家发现和二维dp的写法中遍历背包的顺序是不一样的 二维dp遍历的时候背包容量是从小到大而一维dp遍历的时候背包是从大到小。 为什么呢 倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次。但如果一旦正序遍历了那么物品0就会被重复加入多次 那么问题又来了为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢 因为对于二维dpdp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来本层的dp[i][j]并不会被覆盖 如何这里读不懂大家就要动手试一试了空想还是不靠谱的实践出真知 再来看看两个嵌套for循环的顺序代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢 不可以 因为一维dp的写法背包容量一定是要倒序遍历原因上面已经讲了如果遍历背包容量放在上一层那么每个dp[j]就只会放入一个物品即背包里只放入了一个物品。 倒序遍历的原因是本质上还是一个对二维数组的遍历并且右下角的值依赖上一层左上角的值因此需要保证左边的值仍然是上一层的从右向左覆盖。 这里如果读不懂就再回想一下dp[j]的定义或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试 所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的这一点大家一定要注意。 举例推导dp数组 三、416. 分割等和子集 背包问题大家都知道有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。要明确本题中我们要使用的是01背包因为元素我们只能用一次。 只有确定了如下四点才能把01背包问题套到本题上来。 背包的体积为sum / 2背包要放入的商品集合里的元素重量为 元素的数值价值也为元素的数值背包如果正好装满说明找到了总和为 sum / 2 的子集。背包中每一个元素是不可重复放入。 动规五部曲分析如下 确定dp数组以及下标的含义 01背包中dp[j] 表示 容量为j的背包所背的物品价值最大可以为dp[j]。 本题中每一个元素的数值既是重量也是价值。 套到本题dp[j]表示 背包总容量所能装的总重量是j放进物品后背的最大重量为dp[j]。 那么如果背包容量为target dp[target]就是装满 背包之后的重量所以 当 dp[target] target 的时候背包就装满了。 有录友可能想那还有装不满的时候 拿输入数组 [1, 5, 11, 5]举例 dp[7] 只能等于 6因为 只能放进 1 和 5。 而dp[6] 就可以等于6了放进1 和 5那么dp[6] 6说明背包装满了。 确定递推公式 01背包的递推公式为dp[j] max(dp[j], dp[j - weight[i]] value[i]);dp数组如何初始化 在01背包一维dp如何初始化已经讲过 从dp[j]的定义来看首先dp[0]一定是0。 如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了如果题目给的价值有负数那么非0下标就要初始化为负无穷。 这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值而不是被初始值覆盖了。 本题题目中 只包含正整数的非空数组所以非0下标的元素初始化为0就可以了。 确定遍历顺序 举例推导dp数组 如果dp[j] j 说明集合中的子集总和正好可以凑成总和j理解这一点很重要。 class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums null || nums.length 0) return false;int n nums.length;int sum 0;for(int num:nums){sum num;}if(sum % 2 ! 0) return false;int target sum/2;int[] dp new int[target1];for(int i 0;in;i){for(int j target;jnums[i];j--){dp[j] Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]nums[i]);}//剪枝一下每一次完成內層的for-loop立即檢查是否dp[target] target優化時間複雜度26ms - 20msif(dp[target] target) return true;}return dp[target] target;}
} 总结
背包
