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复数
CRjI 可以看作复平面上的点#xff0c;则该复数的坐标为#xff08;R#xff0c;I#xff09;
欧拉公式 e j θ c o s θ j s i n θ e^{j\theta} cos \theta j sin \theta ejθcosθjsinθ 极坐标系中复数可以表示为#xff1a; C ∣ C ∣ ( c o s…知识铺垫
复数
CRjI 可以看作复平面上的点则该复数的坐标为RI
欧拉公式 e j θ c o s θ j s i n θ e^{j\theta} cos \theta j sin \theta ejθcosθjsinθ 极坐标系中复数可以表示为 C ∣ C ∣ ( c o s θ j s i n θ ) C |C|(cos\theta j sin \theta) C∣C∣(cosθjsinθ) 所以由于欧拉公式可以将复数表示为 C ∣ C ∣ e j θ C|C|e^{j\theta} C∣C∣ejθ
傅立叶级数
傅立叶指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数之和每个正弦项和余弦项均乘以不同的系数
同时根据我们前面掌握的欧拉公式可以对傅里叶级数的公式进行转换得到 f ( t ) ∑ n − ∞ ∞ c n ⋅ e j 2 π n T t f(t)\sum\limits_{n-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{j\frac{2\pi n}{T}t} f(t)n−∞∑∞cn⋅ejT2πnt
傅立叶变换
这里我们不对傅立叶变换的一系列公式推导进行阐述只对最后我们所使用的离散傅立叶变换进行研究 对于一个离散序列我们可以进行傅立叶变换被称为离散傅立叶变换DFT F ( u ) ∑ x 0 M − 1 f ( x ) e − j 2 π u x / M F(u)\sum\limits_{x0}^{M-1}f(x)e^{-j2\pi ux/M} F(u)x0∑M−1f(x)e−j2πux/M 则其对应的离散傅立叶反变换为 F ( u ) 1 M ∑ x 0 M − 1 f ( x ) e j 2 π u x / M F(u)\frac{1}{M}\sum\limits_{x0}^{M-1}f(x)e^{j2\pi ux/M} F(u)M1x0∑M−1f(x)ej2πux/M 同理可以有二维的傅立叶变换 和傅立叶反变换
1傅立叶变换满足平移性质
2尺度变换
3旋转性
4周期性傅立叶变换具有周期性 5平均值
5卷积一个域的卷积是另一个域的乘积
傅立叶变换在图像处理中的实操
请见我另外一篇博客待补充
频率域滤波
频率域与空间域的对应关系
由我们刚刚知道的平均值可以知道在空间域中灰度变化缓慢二阶导小的频率分量在频率域接近中心的位置离原点越远越来越高的频率对应的就是图像中变化较快的灰度二阶导大通常对应了图像中的边和细节 因此只允许中间变量通过的滤波器叫做低通滤波器而允许四周频率通过的滤波器叫做高通滤波器频率与滤波就是变换一张图的傅立叶变换通常方式为频率域内乘上不同的滤波器也即在空间域中进行卷积再计算其反傅立叶变换得到修改后的空间域的照片
低通滤波器
理想低通滤波器
只通过固定范围内的低频其他全部不通过
可以对图像进行平滑但是会存在振铃的现象原本图像中的边缘出现一圈一圈的虚影就像水纹一样主要原因是高频与低频被生硬的切割开了就如同灰度级较少时生硬的切割会形成伪轮廓一样
布特沃斯低通滤波器
通过缓和的高频和低频的过渡有效去除了振铃现象
高斯低通滤波器 高通滤波器
同理也有理想高通滤波器布特沃斯高通滤波器和高斯高通滤波器
