网站搬家数据库配置,做网站美工赚钱吗,石家庄最新新闻事件,长沙那个手机建网站公司好数学期望#xff08;Mathematical Expectation#xff09;和方差#xff08;Variance#xff09;是概率论和统计学中两个非常重要的概念。下面将分别对这两个概念进行解释。
数学期望
数学期望是随机变量的平均值#xff0c;它描述了随机变量的中心位置。对于离散随机变…数学期望Mathematical Expectation和方差Variance是概率论和统计学中两个非常重要的概念。下面将分别对这两个概念进行解释。
数学期望
数学期望是随机变量的平均值它描述了随机变量的中心位置。对于离散随机变量 (X)其数学期望 (E(X)) 定义为 [ E(X) \sum_{i1}^{\infty} x_i p_i ] 其中 (x_i) 是随机变量 (X) 的可能取值(p_i) 是 (X) 取值 (x_i) 的概率。
对于连续随机变量 (X)其数学期望 (E(X)) 定义为 [ E(X) \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) , dx ] 其中 (f(x)) 是随机变量 (X) 的概率密度函数。
方差
方差是衡量随机变量分散程度的指标它描述了随机变量的值与其数学期望之间的偏离程度。对于离散随机变量 (X)其方差 (Var(X)) 定义为 [ Var(X) E[(X - E(X))^2] \sum_{i1}^{\infty} (x_i - E(X))^2 p_i ]
对于连续随机变量 (X)其方差 (Var(X)) 定义为 [ Var(X) E[(X - E(X))^2] \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) , dx ]
方差的平方根称为标准差Standard Deviation它与原随机变量具有相同的量纲因此在实际应用中更直观。
例子
假设有一个离散随机变量 (X)其可能取值为 1, 2, 3相应的概率为 0.2, 0.5, 0.3。那么 (X) 的数学期望和方差分别为
数学期望 [ E(X) 1 \times 0.2 2 \times 0.5 3 \times 0.3 0.2 1 0.9 2.1 ]
方差 [ Var(X) (1 - 2.1)^2 \times 0.2 (2 - 2.1)^2 \times 0.5 (3 - 2.1)^2 \times 0.3 ] [ (-1.1)^2 \times 0.2 (-0.1)^2 \times 0.5 (0.9)^2 \times 0.3 ] [ 1.21 \times 0.2 0.01 \times 0.5 0.81 \times 0.3 ] [ 0.242 0.005 0.243 0.49 ]
标准差 [ \sigma \sqrt{Var(X)} \sqrt{0.49} 0.7 ]
因此随机变量 (X) 的数学期望是 2.1方差是 0.49标准差是 0.7。
总结
数学期望和方差是描述随机变量特性的两个重要参数。数学期望表示随机变量的平均值而方差表示随机变量的分散程度。在实际应用中这两个参数对于理解数据的分布和进行统计分析非常有用。
