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math --- 数学函数 — Python 3.12.2 文档
cmath --- 关于复数的数学函数 — Python 3.12.2 文档
Python 中#xff0c;可以使用内置的数学运算符#xff0c;例如加法 ()、减法 (-)、除法 (/) 和乘法 (*) 进行简单的数学运算。不过#xff0c;更高级的运算可以使用内置的数学运算符例如加法 ()、减法 (-)、除法 (/) 和乘法 (*) 进行简单的数学运算。不过更高级的运算如指数函数、对数函数、三角函数或幂函数并没有内置函数需要使用 Python 标准库中一个专门为高级数学运算设计的模块math 模块。 2. 常量 名称 描述 Pi 圆周率 π 是圆的周长 (c) 与直径 (d) 之比无理数。 math.pi 返回一个保留到小数点后 15 位的浮点数。 Tau 圆的周长与半径之比Tau2π无理数。 math.tau 返回一个保留到小数点后 15 位的浮点数。 许多数学表达式使用 2π因而使用 tau 可以简化方程。例如不用 2πr 来计算圆的周长用更简单的方程 τr。可以根据需要自由地使用 2π 或 τ。 Euler’s number 欧拉常数 (e) 是自然对数的底无理数约等于2.71828。 math.e 返回一个保留到小数点后 15 位的浮点数。 欧拉常数是一个重要常数有许多实际用途如计算人口随时间的增长率或放射性衰变率。 Infinity 无穷是一个数学概念表示无限分为正无穷大和负无穷大。 math.inf 等价于 float(inf) Not a number (NaN) NaN 不是一个数学概念它起源于计算机科学领域作为对非数字值的引用。NaN 值可能是由无效的输入产生的或表示应该是数字的变量已被文本字符或符号损坏。 math.nan 等价于 float(nan) 请使用 math.isnan() 函数来检查一个数字是否为 NaN而不能使用 is 或 。 代码说明
math.pi
# 3.141592653589793
math.tau
# 6.283185307179586
math.e
# 2.718281828459045
math.inf
# inf
math.nan
# nanmath.pi * 2 math.tau
# Truefloat(inf) math.inf
# True
math.inf math.inf
# True
math.inf -math.inf
# Falsefloat(nan) math.nan
# False
math.isnan(math.nan)
# True
math.isnan(float(nan))
# True
3. 数论与表示函数
3.1 函数概览 math.factorial(n) 返回 n 的阶乘。 如果 n 不是正数或不是整数会引发 ValueError。 自 3.9 版本接受具有整数值的浮点数 (例如 5.0) 的行为被弃用。 math.comb(n, k) 在 3.8 版本加入. 组合数返回不重复且无顺序地从 n 项中选择 k 项的方式总数。 具体来说 当 k n 时取值为 n! / (k! * (n - k)!) 当 k n 时取值为零。 也叫二项式系数它也是 (1 x)ⁿ 的多项式展开中第 k 项的系数。 如果任一参数不为整数则会引发 TypeError。 如果任一参数为负数则会引发 ValueError。 math.perm(n, kNone) 在 3.8 版本加入. 排列数返回不重复且有顺序地从 n 项中选择 k 项的方式总数。 具体来说 当 k n 时取值为 n! / (n - k)! 当 k n 时取值为零。 如果 k 未指定或为 None则 k 默认值为 n 并且函数将返回 n!。 如果任一参数不为整数则会引发 TypeError。 如果任一参数为负数则会引发 ValueError。 math.ceil(x) 返回 x 的向上取整即大于或等于 x 的最小的整数。 输入整数值时返回相同的数字输入非数值内容如字符串引发 TypeError。 math.floor(x) 返回 x 的向下取整小于或等于 x 的最大整数。 输入整数值时返回相同的数字输入非数值内容如字符串引发 TypeError。 math.trunc(x) 返回去除小数部分的 x 只留下整数部分。 trunc() 对于正的 x 相当于 floor() 对于负的 x 相当于 ceil() 向 0 取近似rounded downward toward zero。 math.modf(x) 返回 x 的小数和整数部分。 两个结果都带有 x 的符号并且是浮点数。 math.isinf(x) 如果 x 是正或负无穷大则返回 True 否则返回 False。 math.isnan(x) 如果 x 是 NaN则返回 True 否则返回 False。 math.isfinite(x) 如果 x 既不是无穷大也不是 NaN返回 True否则返回 False。 math.isclose(a, b, *, rel_tol1e-09, abs_tol0.0) 根据给定的绝对差值和相对差值确定两个值是否可视为是接近的若 a、b 的值比较接近返回 True否则返回 False。 Relative tolerance (rel_tol): 百分数表示的相对于输入数据的量级的最大差值也称差值容忍度或阈值小于对应值时才能才认为两数接近 例如想要设置 5 的容差需传递 rel_tol0.05。 默认值是 1e-090.000000001两数至少小数点后9位都一致。 Absolute tolerance (abs_tol): 绝对值形式的最大差值不考虑输入数据的量级。默认值是 0。 判定规则可以概括为 abs(a-b) max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol) 。 对于特殊值 NaN 不接近任何其他值包括 NaNinf 和 -inf 只与自己接近。 math.fabs(x) 返回 x 的绝对值。 math.fabs 与 内置函数 abs 的区别 math.fabs 只能接收一个参数即一个浮点数返回该浮点数的绝对值结果始终为浮点数。 abs 是 Python 内置函数它可以接收一个参数可以是整数、浮点数、复数等返回该数的绝对值结果的类型与参数的类型相同。 math.copysign(x, y) 返回一个基于 x 的绝对值和 y 的符号的浮点数。 copysign(1.0, -2) 返回值为 -1.0。 math.lcm(*integers) 返回给定整数参数的最小公倍数lowest common multiple。 如果所有参数均非零返回所有参数的整数倍的最小正整数。 如果参数之一为零则返回值为 0。 不带参数的 lcm() 返回 1。 math.gcd(*integers) 返回给定整数参数的最大公约数greatest common divisor。 如果有一个参数非零返回能同时整除所有参数的最大正整数。 如果所有参数为零则返回值为 0。 不带参数的 gcd() 返回 0。 math.fmod(x, y) 计算 x 除以 y 的余数floating-point modulus 浮点数模。 fmod(x, y) 等于 x - n*y 其中整数 n 使得结果与 x 符号相同且小于 abs(y) 。 math.fmod 与 % 运算符的区别 1前者始终返回浮点数后者在x、y均为整型时返回整型其他情况下即 x、y 任一为浮点型时结果均返回浮点型。 2前者返回结果的符号正负始终与 x 相同后者所得结果的符号正负始终与 y 相同。 3前者返回结果的绝对值始终等于“|x| % |y|”后者若x与y符号相同结果的绝对值为“|x| % |y|”若x与y的符号不同结果的绝对值为“|y| - (|x| % |y|)”。 注当采用 % 运算符求模且x与y的符号不同时若同时还符合下面两个条件 1 |x|远小于|y| 2 x与y中至少有一个是浮点数浮点数会导致精度损失。 此时|x| % |y| 的值相对较小等于 |x||y| 又非常大加上计算机对浮点数计算精度的损失会出现 |y| - (|x| % |y|) 的结果被近似成 |y| 的奇怪现象。因此 有浮点数首选 math.fmod()整数首选 % 运算符。 math.isqrt(n) 返回非负整数 n 的整数平方根即 n 的实际平方根向下取整的结果相当于使得 a² n 的最大整数 a。 如果想获取使得 a² n² 的最小整数 a 即 n 的实际平方根向上取整的值可以使用 a 1 isqrt(n - 1) 。 math.ldexp(x, i) 返回 x * (2**i) 函数 math.frexp 的反函数。 math.frexp(x) 返回(m, e) 满足x m * 2**e其中 m 是浮点数 e 是整数。 如果 x 为零则返回 (0.0, 0) 否则返回 0.5 abs(m) 1 。 math.fsum(iterable) 返回可迭代对象中的值的精确浮点总计值。 math.prod(iterable, *, start1) 计算输入的 iterable 中所有元素的积默认乘积的start 值为 1。 当可迭代对象为空时返回起始值。 此函数特别针对数字值使用并会拒绝非数字类型。 math.sumprod(p, q) 在 3.12 版本加入. 两个可迭代对象 p 和 q 中的值的乘积的总计值。 如果输入值的长度不相等则会引发 ValueError。 大致相当于 sum(itertools.starmap(operator.mul, zip(p, q, strictTrue))) 对于浮点数或混合整数/浮点数的输入中间的乘积和总计值将使用扩展精度来计算。
3.2 细节
1math.factorial(n)
import timeit
import math# 阶乘的三种实现方式# 1. for循环
def fact_loop(num):if num 0:return 0if num 0:return 1factorial 1for i in range(1, num1):factorial factorial * ireturn factorialprint(fact_loop(15))
# 1307674368000# 2. 递归函数
def fact_recursion(num):if num 0:return 0if num 0:return 1return num * fact_recursion(num - 1)print(fact_recursion(15))
# 1307674368000# 3. math.factorial
print(math.factorial(15))
# 1307674368000timeit.timeit(fact_loop(15), globalsglobals()) # 0.8621199000044726
timeit.timeit(fact_recursion(15), globalsglobals()) # 2.6800807999970857
timeit.timeit(math.factorial(15), setupimport math) # 0.17294190000393428
从执行时间来看递归方法是三种方法中最慢的factorial() 明显比其他方法更快这得益于它的底层用 C 实现。不同CPU可能得到不同的计时结果但耗时大小的顺序应该是一样的。 factorial() 不仅比其他方法快而且更稳定。自己手写函数时需要显式地为异常情况编写代码例如处理负数或小数。但当使用 factorial() 时因为函数会处理所有异常情况建议尽可能使用 factorial()。
2math.ceil(x)、math.floor(x)、math.trunc(x)、math.modf(x)
math.ceil(4.896)
# 5
math.ceil(-7.956)
# -7
math.ceil(4)
# 4
math.ceil(-7)
# -7math.floor(4.896)
# 4
math.floor(-7.956)
# -8
math.floor(4)
# 4
math.floor(-7)
# -7math.trunc(4.9)
# 4
math.trunc(-11.7)
# -11
math.trunc(4)
# 4 import mathmath.modf(-4.123)
# (-0.12300000000000022, -4.0)
3math.isclose()
import mathmath.isclose(6, 7)
# False
math.isclose(6.999999999, 7)
# True
math.isclose(6.999999992, 7)
# False
math.isclose(6.9999999963, 7)
# Truemath.isclose(6, 7, rel_tol0.2)
# True
math.isclose(5.6, 7, rel_tol0.2)
# False
math.isclose(5.61, 7, rel_tol0.2)
# Truemath.isclose(6, 7, abs_tol1.0)
# True
math.isclose(6, 7, abs_tol0.2)
# Falsemath.isclose(1, 11e-08, abs_tol1e-08)
# True
math.isclose(1, 1-1e-08, rel_tol1e-08)
# False
math.isclose(1, 1-1e-081e-09, rel_tol1e-08)
# True
特殊情况
import mathmath.isclose(math.nan, 1e308)
# Falsemath.isclose(math.nan, math.nan)
# Falsemath.isclose(math.inf, 1e308)
# Falsemath.isclose(math.inf, math.inf)
# True
4math.fabs(x)
import mathabs(-1.234)
abs(1)
abs(34j)math.fabs(-1.234)
math.fabs(1)
math.fabs(34j) 在 Python 中复数可以使用 j 或 J 表示虚部。例如3 4j 表示实部为 3虚部为 4 的复数。Python 还提供了一个内置函数 complex 用于创建复数complex(3, 4) 返回值等同于 3 4j。
可以使用 type() 函数来检查一个变量是否为复数类型例如 type(34j) 返回结果为complex。复数的绝对值是一个数的大小不考虑其正负绝对值是一个数的物理意义上的‘长度’或‘大小’不受正负影响。对于一个复数比如 abi,它的绝对值是|abi|sqrt(a^2b^2)。 5math.lcm(x)、math.gcd(x)
import mathmath.lcm(2,3,6)
# 6
math.gcd(15,2)
# 1
math.gcd(15,3)
# 3 6math.fsum(iterable)、math.prod(iterable, start1)
list1 [1.0, 2.0 , 3.3, 4.5]
list2 [2, 2, 2, 2]
math.fsum(list1)
# 29.7
math.prod(list1, start1)
# 29.7
math.prod(list1, start2)
# 59.4
7math.isqrt(x)、math.frexp(x)、math.ldexp(x, i)
import mathmath.frexp(5)
# (0.625, 3)math.ldexp(0.625, 3)
# 5.0math.isqrt(7)
# 2
math.isqrt(9)
# 3
math.frexp(x) 的应用场景包括
将一个浮点数转换为二进制表示时可以使用 math.frexp() 将其分解为尾数和指数的形式方便进行计算和存储。
在科学计算、信号处理等领域中经常需要对浮点数进行归一化处理即将其表示为尾数乘以某个基数的指数形式。此时可以使用 math.frexp() 将浮点数分解为尾数和指数然后将尾数除以基数指数加上相应的偏移量得到归一化后的结果。
在一些算法中需要对浮点数进行比较和排序。由于浮点数的精度有限直接比较可能会出现误差。此时可以使用 math.frexp() 将浮点数分解为尾数和指数然后按照指数大小进行比较和排序可以避免精度误差的影响。
8math.fmod(x,y)
import mathx, y -9, 4x % y
# 3
math.fmod(x, y)
# -1.0
math.remainder(x, y)
# -1.0
下面这个例子中使用 % 时得到了奇怪的结果此时更适合用 math.fmod()。
import mathmath.fmod(-2, 10) # 返回值-2.0
-2 % 10 # 返回值8
math.fmod(10, 1e10) # 返回值10.0
10 % 1e10 # 返回值10.0
math.fmod(-10, 1e10) # 返回值-10.0
-10 % 1e10 # 返回值9999999990.0# 一个使用 % 得到的结果很奇怪的例子
-1e-100 % 1e100 # 返回值1e100
# 事实上返回的结果应该是是1e100-1e-100, 但这个值无法表示成一个浮点数, 近似的表示成了1e100
# the result of Python’s -1e-100 % 1e100 is 1e100-1e-100, which cannot be represented exactly as a float, and rounds to the surprising 1e100.
math.fmod(-1e-100, 1e100) # 返回值-1e-100
# 使用math.fomd得到的结果显然更为合理。
9其他
import mathmath.comb(4, 3)
# 4
math.perm(4, 3)
# 24math.copysign(-2.3, 4.5)
# 2.3
math.copysign(2.3, -4.5)
# -2.3
math.copysign(-2.3, 0)
# 2.3
math.copysign(-2.3, -0)
# 2.3
4. 幂函数 函数 描述 math.pow(x, y) 返回 x 的 y 次幂。 pow(1.0, x) 和 pow(x, 0.0) 总是返回 1.0即使 x 为零或 NaN。 如果 x 和 y 均为有限值x 为负数而 y 不是整数则 pow(x, y) 是未定义的将引发 ValueError。 math.exp(x) 返回 e 的 x 次幂其中 e 2.718281... 是自然对数的基数。 math.exp 通常比 math.e ** x 或 pow(math.e, x) 更精确。 math.exp2(x) 在 3.11 版本加入. 返回 2 的 x 次幂。 math.cbrt(x) 在 3.11 版本加入. 返回 x 的立方根。 math.sqrt(x) 返回 x 的平方根。 math.expm1(x) 返回 e 的 x 次幂减1。对于值较小的浮点数 xe 的 x 次幂减1中的减法运算可能导致明显的精度损失expm1 函数提供了更高的计算精度。
细节
1math.pow(x,y)
Python 中除了math.pow还有两种方法计算幂内置函数 pow(x, y[,z]) 和 x ** y。
内置函数 pow 可接收三个参数The base numberThe power numberThe modulus number
最后一个参数是可选的如果传递了第三个参数 z返回结果将是(x ** y) % z
下面的代码显示了三种函数的使用效果以及耗时情况math.pow 底层基于C实现因而最快。
import mathmath.pow(1, math.nan) # 1.0
math.pow(1, math.inf) # 1.0
math.pow(1, 0) # 1.0math.pow(math.nan, 0) # 1.0
math.pow(math.inf, 0) # 1.0
math.pow(1, 0) # 1.0# math.pow(0, -1) # ValueError: math domain error
math.pow(0, math.nan) # nan
math.pow(0, math.inf) # 0.0
math.pow(0, 0) # 1.0
import math
import timeit# 内置函数 pow(x, y[,z])
pow(2, 3) # 8
pow(2, 3, 3) # 2
pow(-2, 3) # 8
pow(-2, 3, 3) # 1
(-2 ** 3) % 3 # 1# x ** y
2 ** 3 # 8# 比较三种函数耗时
timeit.timeit(9 ** 293)
timeit.timeit(pow(9, 293))
timeit.timeit(math.pow(9, 293), setupimport math)
# 返回结果
# 0.7688344000000029
# 0.8183434000000034
# 0.20894989999999325
2math.exp(x)
import math# 对比 math.exp(x) 与 math.pow(math.e, x)
a math.pow(math.e, 3.5)
b math.exp(3.5)timeit.timeit(math.pow(math.e, 3.5), setupimport math)
timeit.timeit(math.exp(3.5), setupimport math)
# 返回结果
# math.exp 底层用C实现更快
# 0.15435010000010152
# 0.10402529999987564print({:.30f}.format(a))
# 33.115451958692304401665751356632
print({:.30f}.format(b))
# 33.115451958692311507093108957633math.log(a) # 3.4999999999999996
math.log(b) # 3.5
3math.sqrt(x)
import mathmath.sqrt(1024)
# 32.0
5. 对数函数 函数 描述 math.log(x[, base]) 使用一个参数返回 x 的自然对数底为 e 。 使用两个参数返回给定的 base 的对数 x 计算为 log(x)/log(base) 。 math.log2(x) 返回 x 以2为底的对数。这通常比 log(x, 2) 更准确。 math.log10(x) 返回 x 底为10的对数。这通常比 log(x, 10) 更准确。 math.log1p(x) 返回 1x 的自然对数以 e 为底。 以对于 x 接近零时建议使用 math.log1p。
6. 其他重要的数学函数
三角函数 函数 描述 math.sin(x) 返回 x 弧度的正弦值。 math.cos(x) 返回 x 弧度的余弦值。 math.tan(x) 返回 x 弧度的正切值。 math.asin(x) 返回以弧度为单位的 x 的反正弦值。 结果范围 -pi/2 到 pi/2 之间。 math.acos(x) 返回以弧度为单位的 x 的反余弦值。 结果范围 0 到 pi 之间。 math.atan(x) 返回以弧度为单位的 x 的反正切值。 结果范围 -pi/2 到 pi/2 之间。. math.atan2(y, x) 以弧度为单位返回 atan(y/x) 结果范围 -pi 和 pi 。 atan2() 的两个输入的符号都是已知的因此可以正确地计算象限 例如 atan(1) 和 atan2(1,1) 都是 pi/4 但 atan2(-1, -1) 是 -3*pi/4 。 math.dist(p, q) 返回 p 与 q 两点之间的欧几里得距离两个点必须具有相同的维度。 大致相当于sqrt(sum((px - qx) ** 2.0 for px, qx in zip(p, q))) math.hypot(*coordinates) 返回欧几里得范数。 相当于sqrt(sum(x**2 for x in coordinates)) 对于一个二维点 (x, y)等价于 sqrt(x*x y*y) 。
细节
1math.atan2(y, x)
import mathmath.atan(1) # 0.7853981633974483
math.atan2(1, 1) # 0.7853981633974483
math.atan2(-1, -1) # -2.356194490192345math.radians(45) # 0.7853981633974483
math.radians(-135) # -2.356194490192345
2math.dist、math.hypot
import math# math.dist(p, q)
list1 [-3, 4, 5]
list2 [4, 5, 7]
math.dist(list1, list2)
# 7.348469228349534
math.sqrt(math.fsum([math.pow(x-y, 2) for x, y in zip(list1,list2)]))
# 7.3484692283495345list3 [-3, 4, 5, 9]
list4 [4, 5, 7, 2]
math.dist(list3, list4) # 10.14889156509222# math.hypot(*coordinates)
math.hypot(3, 4)
# 5.0coordinates_list [6, 7, 8]
math.hypot(*coordinates_list)
# 12.206555615733702
math.sqrt(math.fsum(map(lambda x: math.pow(x, 2), coordinates_list)))
# 12.206555615733702
角度转换 函数 描述 math.degrees(x) 将角度 x 从弧度转换为度数。 math.radians(x) 将角度 x 从度数转换为弧度。
这两个函数在处理几何问题时是非常实用的。
import mathmath.radians(60)
# 1.047197551196597660 / 180 * math.pi
# 1.0471975511965976math.degrees(1.0471975511965976)
# 59.99999999999999
双曲函数 函数 描述 math.sinh(x) 返回 x 的双曲正弦值。 math.cosh(x) 返回 x 的双曲余弦值。 math.tanh(x) 返回 x 的双曲正切值。 math.acosh(x) 返回 x 的反双曲正弦值。 math.asinh(x) 返回 x 的反双曲余弦值。 math.atanh(x) 返回 x 的反双曲正切值。
7. Python 标准库cmath
复数是实数和虚数的组合形如 a bi其中a是实数bi是虚数虚数是平方后得到负数。 Python math 模块中的函数不能处理复数不过Python 提供了一个专门处理复数的模块 cmath 模块cmath 实现了许多相同的函数但可应用于复数。 8. Numpy
Python 标准库 math 和 NumPy 库都可以用于数学计算。二者有一些相似之处NumPy 有一个函数子集类似于 math用于处理数学计算。NumPy 和 math 都提供了处理三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数和算术计算的函数。
Python math 模块更适合处理标量值而 NumPy 更适合处理数组、向量甚至矩阵。当处理标量值时math 可能比 NumPy 对应函数更快因为 NumPy 函数在底层会将值转换为数组以便对它们执行计算但 NumPy 在处理 n 维数组时要快得多。
9. 参考链接
15.深入探究math.fmod与“%”求模运算符的区别您注意到了吗 - 数据类型六 - 代码先锋网
