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在数据科学、工程优化和其他科学计算领域中#xff0c;向量和矩阵的运算是核心组成部分。MAPL作为一种数学规划语言#xff0c;为这些领域的专业人员提供了强大的工具#xff0c;通过向量式和矩阵式变量声明以及丰富的内置数学运算支持#xff0c;大大简化了数学建模…前言
在数据科学、工程优化和其他科学计算领域中向量和矩阵的运算是核心组成部分。MAPL作为一种数学规划语言为这些领域的专业人员提供了强大的工具通过向量式和矩阵式变量声明以及丰富的内置数学运算支持大大简化了数学建模和优化问题的处理。在本文中我们将探索MAPL的这些特性并且通过示例来展示如何有效使用这些工具。
介绍与应用
矩阵和向量变量声明
在MAPL中向量和矩阵变量的声明非常直观。例如使用var X(3,2)可以创建一个3行2列的矩阵而使用var Y(3)会创建一个包含3个元素的列向量。对这些变量的操作如索引X[1,0]和赋予初值都可以使用易于理解的语法来完成。
var X(3,2) 0 integer;print Structure of X is:;
print X;print ----------------;
print Sample Entries:;
print X[0,0];
print X[1,1];
print X[2,1];结果如下
Structure of X is:
[[ X0, X1],[ X2, X3],[ X4, X5]]
----------------
Sample Entries:[0, 0] - integer [LB, UB, SOLN-VAl] [0.000000, inf, 0.000000[1, 1] - integer [LB, UB, SOLN-VAl] [0.000000, inf, 0.000000][2, 1] - integer [LB, UB, SOLN-VAl] [0.000000, inf, 0.000000]张量运算支持
张量运算是MAPL中一项强大的特性它允许我们使用类似于线性代数中的标准操作符例如
加法和减法-逐元素进行操作要求操作数尺寸相同。乘法*支持标量和矩阵的乘法以及矩阵与向量之间的乘法必须满足传统的行列匹配规则。转置快速提供变量的转置形式仅适用于矩阵。点乘.*逐元素乘法用于两个相同尺寸的矩阵或向量。| 类型 | 操作符 | 说明 | 是否支持标量 | 用例 | | ---------- | ------ | ------------------------- | ------------ | ----------------- | | 一元操作符 | | 向量/矩阵加法 | 是 | XY | | | - | 向量/矩阵减法或者求反 | 是 | X-Y or -X | | | .* | 逐元素乘法 | 否 | X.*Y | | | * | 向量/矩阵乘法 | 是 | X*Y | | | | 矩阵转置 | 否 | X | | | / | 向量/矩阵逐元素除以某标量 | 是 | X/2 | | 二元操作符 | ^ | 逐元素的p次幂 | 是 | X^2 | | 索引操作符 | [] | 获取指定位置的值 | 否 | X[3], Y[3,5] |
这些运算符为建模提供了极大的灵活性和表现力支持以直观和自然的方式表达数学关系。
映射函数
映射函数是处理张量式变量必不可少的一部分使建模张量间的函数变换更方便。MAPL提供了一系列映射函数如exp、log和sin等它们可以逐元素应用于向量或矩阵。例如对于一个矩阵Aexp(A)会计算A中每个元素的指数值。
clear model;
var x(3,2) 0;A exp(x);print A;运行上述代码结果如下
[[e^(x0), e^(x1)],[e^(x2), e^(x3)],[e^(x4), e^(x5)]]混合计算和表达式引用
MAPL不仅支持张量间的运算还支持张量和标量之间的混合计算。此外它允许用户为复杂的表达式命名以便于后续引用这样可以避免重复的计算并使模型清晰易于管理。
var x 0;
var y(3,4);A x y;
B y x;
C x - y;
D y - x;
E -y;
F x*y;print y;
print A;
print B;
print C;
print D;
print E;
print F;输出如下
[[ y0, y1, y2, y3],[ y4, y5, y6, y7],[ y8, y9, y10, y11]][[ xy0, xy1, xy2, xy3],[ xy4, xy5, xy6, xy7],[ xy8, xy9, xy10, xy11]][[ y0x, y1x, y2x, y3x],[ y4x, y5x, y6x, y7x],[ y8x, y9x, y10x, y11x]][[ x-y0, x-y1, x-y2, x-y3],[ x-y4, x-y5, x-y6, x-y7],[ x-y8, x-y9, x-y10, x-y11]][[ y0-x, y1-x, y2-x, y3-x],[ y4-x, y5-x, y6-x, y7-x],[ y8-x, y9-x, y10-x, y11-x]][[ -y0, -y1, -y2, -y3],[ -y4, -y5, -y6, -y7],[ -y8, -y9, -y10, -y11]][[ x*y0, x*y1, x*y2, x*y3],[ x*y4, x*y5, x*y6, x*y7],[ x*y8, x*y9, x*y10, x*y11]]
一个完整示例
带资源上限约束的二分匹配问题也称为加权二分匹配问题或指派问题是图论中的一个经典问题它的目的是在二分图中找到最优的匹配使得匹配的总权重最大同时不超过给定的资源上限。 线性数学建模如下 向量形式 代码建模如下可复制在云上平台直接运行
########################################
#
# 向量式建模案例
# Weighted Bipartite Matching
#
######################################### 1.读取权重及损耗矩阵
param W read_csv(weight.data);
param C read_csv(cost.data);param m W.row;
param n W.col;############## 2.问题建模 ###############
# 定义矩阵形式变量X表示可行的匹配
var X(m, n) binary; # 3.二分匹配问题建模
maximize sum(W.*X);# A集合的资源上限约束
s.t. (C.*X)*ones(n,1) 10;
# B集合的资源上限约束
s.t. ones(1,m)*(C.*X) 10;# 集合A中每个节点最多匹配一次
s.t. X * ones(n, 1) 1;
# 集合B中每个节点最多匹配一次
s.t. ones(1, m) * X 1;############## 问题求解 #################
# 3.调用mindopt求解
option solver mindopt;
solve;############## 结果分析 #################
# 输出最优目标函数值
param obj sum(W.*X);
print Optimal obj is: {:.2f} % obj;# 输出最优匹配
print Optimal X is;
print X;
#######################################输出结果如下
Running mindoptampl
wantsol1
MindOpt Version 1.0.1 (Build date: 20231114)
Copyright (c) 2020-2023 Alibaba Cloud.Start license validation (current time : 05-FEB-2024 10:34:07).
License validation terminated. Time : 0.008sModel summary.- Num. variables : 50- Num. constraints : 30- Num. nonzeros : 200- Num. integer vars. : 50- Bound range : [1.0e00,1.0e01]- Objective range : [4.0e-01,9.8e00]Branch-and-cut method started.
Original model: nrow 30 ncol 50 nnz 200
Tolerance: primal 1e-06 int 1e-06 mipgap 0.0001 mipgapAbs 1e-06
Limit: time 1.79769313486232e308 node -1 stalling -1 solution -1
presolver terminated; took 1 ms
presolver terminated; took 3 ms
Parallelism: root8, tree10accept new sol: obj 0 bnd vio 0 int vio 0 mipgap inf time 0accept new sol: obj -42.8999996185303 bnd vio 0 int vio 0 mipgap 4.55011660905533 time 0
Model summary.- Num. variables : 48- Num. constraints : 15- Num. nonzeros : 96- Bound range : [1.0e00,1.0e00]- Objective range : [4.0e-01,9.8e00]- Matrix range : [1.0e00,1.0e00]Presolver started.
Presolver terminated. Time : 0.002sSimplex method started.
Model fingerprint: gZ3Fmb392Y3JmZIteration Objective Dual Inf. Primal Inf. Time0 -2.38100e02 0.0000e00 8.1000e01 0.03s 6 -4.29000e01 0.0000e00 0.0000e00 0.03s
Postsolver started.
Simplex method terminated. Time : 0.007sRoot relaxation: -42.8999996185303 iteration 6 time 0.03
Branch-and-cut method terminated. Time : 0.548sOPTIMAL; objective 42.90Completed.Optimal obj is: 42.90
Optimal Matching X is
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]]完整案例介绍案例1加权二分匹配(Weighted Bipartite Matching) 详细语法向量化建模 结论:
MAPL作为一种先进的建模语言通过支持向量和矩阵的声明以及丰富的运算操作符和映射函数为用户处理多维数据提供了强大的工具集。无论是在学术研究还是工业应用中MAPL的这些特点都显著地提高了数学建模的效率和便捷性。
