35互联做的网站,门户网站大全,什么是静态页面网站,长沙专业做网站Python实现傅里叶级数可视化工具
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有matlab实现#xff0c;我没matlab#xff0c;我有Python#xff0c;所以我用Python实现。 整个工具的实现代码放在最后,界面使用PyQt5开发 起源
傅里叶级数#xff08;Fourier Series#xff09;由法国数学家和物理学家让-巴…Python实现傅里叶级数可视化工具
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有matlab实现我没matlab我有Python所以我用Python实现。 整个工具的实现代码放在最后,界面使用PyQt5开发 起源
傅里叶级数Fourier Series由法国数学家和物理学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶Jean-Baptiste Joseph Fourier在19世纪初提出。他最初是为了研究热传导问题发现任何周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。这一发现对数学、物理学以及工程学等领域产生了深远影响。
思想
傅里叶级数的核心思想是将一个复杂的周期函数分解成无穷多个简单的正弦和余弦函数的叠加。这些正弦和余弦函数称为“基函数”每个基函数都有特定的频率、幅度和相位。
公式
对于一个周期为 T T T 的周期函数 f ( t ) f(t) f(t)其傅里叶级数表示为 f ( t ) a 0 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( 2 π n t T ) b n sin ( 2 π n t T ) ) f(t) a_0 \sum_{n1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) b_n \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \right) f(t)a0n1∑∞(ancos(T2πnt)bnsin(T2πnt)) 其中 a 0 a_0 a0 是直流分量平均值计算公式为 a 0 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t a_0 \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \, dt a0T1∫0Tf(t)dt a n a_n an 和 b n b_n bn 是傅里叶系数计算公式分别为 a n 2 T ∫ 0 T f ( t ) cos ( 2 π n t T ) d t a_n \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt anT2∫0Tf(t)cos(T2πnt)dt b n 2 T ∫ 0 T f ( t ) sin ( 2 π n t T ) d t b_n \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin\left(\frac{2\pi n t}{T}\right) \, dt bnT2∫0Tf(t)sin(T2πnt)dt
想象一首音乐这首音乐是由许多不同频率的音符组成的。傅里叶级数就像是一种工具它可以将这首音乐分解成一个个单独的音符正弦和余弦函数。通过这些音符的频率和振幅可以重建出原来的音乐。
正交函数
在数学中两个函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 在定义域 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上被称为正交的orthogonal如果它们的内积为零。内积通常定义为 ⟨ f , g ⟩ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x \langle f, g \rangle \int_a^b f(x) g(x) \, dx ⟨f,g⟩∫abf(x)g(x)dx当 ⟨ f , g ⟩ 0 \langle f, g \rangle 0 ⟨f,g⟩0 时表示函数 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上是正交的。正交函数有一个重要性质即它们在某种意义上“互不干扰”。
正交函数集
正交函数集是一组两两正交的函数集合。即对于函数集 { ϕ 1 ( x ) , ϕ 2 ( x ) , … , ϕ n ( x ) } \{ \phi_1(x), \phi_2(x), \ldots, \phi_n(x) \} {ϕ1(x),ϕ2(x),…,ϕn(x)}满足 ⟨ ϕ i , ϕ j ⟩ ∫ a b ϕ i ( x ) ϕ j ( x ) d x 0 当 i ≠ j \langle \phi_i, \phi_j \rangle \int_a^b \phi_i(x) \phi_j(x) \, dx 0 \quad \text{当 } i \ne j ⟨ϕi,ϕj⟩∫abϕi(x)ϕj(x)dx0当 ij 如果这组函数不仅仅是正交的并且每个函数的内积等于一个常数通常为1则称为正交规范函数集orthonormal set。
完备正交函数集
完备正交函数集是一个正交函数集其中的函数数目足够多可以表示定义域 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的任意函数。具体来说任何在该定义域上的平方可积函数即满足 ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ 2 d x ∞ \int_a^b |f(x)|^2 \, dx \infty ∫ab∣f(x)∣2dx∞ 的函数都可以表示为这个正交函数集的线性组合。用数学语言来说函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以表示为完备正交函数集 { ϕ n ( x ) } \{\phi_n(x)\} {ϕn(x)} 的线性组合 f ( x ) ∑ n 1 ∞ c n ϕ n ( x ) f(x) \sum_{n1}^{\infty} c_n \phi_n(x) f(x)∑n1∞cnϕn(x)其中系数 c n c_n cn 是通过内积计算得到的 c n ⟨ f , ϕ n ⟩ ⟨ ϕ n , ϕ n ⟩ c_n \frac{\langle f, \phi_n \rangle}{\langle \phi_n, \phi_n \rangle} cn⟨ϕn,ϕn⟩⟨f,ϕn⟩
在均方误差为零的情况下任何与完备正交函数集有相同定义域的函数都可以分解为该函数集中正交函数的代数和
均方误差Mean Squared Error, MSE是用来衡量一个函数 f ( x ) f(x) f(x) 与其近似表示 f ^ ( x ) \hat{f}(x) f^(x) 之间的误差的标准。在函数分解中如果一个函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以通过完备正交函数集 { ϕ n ( x ) } \{\phi_n(x)\} {ϕn(x)} 的代数和精确表示那么均方误差为零。也就是说 MSE 1 b − a ∫ a b ∣ f ( x ) − f ^ ( x ) ∣ 2 d x 0 \text{MSE} \frac{1}{b-a} \int_a^b |f(x) - \hat{f}(x)|^2 \, dx 0 MSEb−a1∫ab∣f(x)−f^(x)∣2dx0当均方误差为零时表示函数 f ( x ) f(x) f(x) 可以精确地分解为完备正交函数集中的函数的代数和 f ( x ) ∑ n 1 ∞ c n ϕ n ( x ) f(x) \sum_{n1}^{\infty} c_n \phi_n(x) f(x)n1∑∞cnϕn(x)这个结论的意义在于完备正交函数集提供了一种强大的工具可以表示定义域 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的任意函数而不会有任何误差。
解释 展开
傅里叶级数是将一个周期函数展开成一系列正弦函数和余弦函数的和其基本形式可以表示为 f ( x ) a 0 ∑ n 1 ∞ ( a n cos ( 2 π n x T ) b n sin ( 2 π n x T ) ) f(x) a_0 \sum_{n1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \right) f(x)a0n1∑∞(ancos(T2πnx)bnsin(T2πnx)) 其中 T T T 是周期 a 0 a_0 a0, a n a_n an, b n b_n bn 是傅里叶系数通过以下公式计算 a 0 1 T ∫ 0 T f ( x ) d x a_0 \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \, dx a0T1∫0Tf(x)dx a n 2 T ∫ 0 T f ( x ) cos ( 2 π n x T ) d x a_n \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \, dx anT2∫0Tf(x)cos(T2πnx)dx b n 2 T ∫ 0 T f ( x ) sin ( 2 π n x T ) d x b_n \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \, dx bnT2∫0Tf(x)sin(T2πnx)dx
具体例子方波函数
方波函数是一个常见的周期函数可以用傅里叶级数展开。假设我们有一个周期为 T 2 π T 2\pi T2π 的方波函数 f ( x ) f(x) f(x)定义如下 { 1 for 0 x π − 1 for π x 2 π \begin{cases} 1 \text{for } 0 x \pi \\ -1 \text{for } \pi x 2\pi \end{cases} {1−1for 0xπfor πx2π 我们将这个函数展开为傅里叶级数。
计算傅里叶系数
计算 ( a_0 ) a 0 1 2 π ∫ 0 2 π f ( x ) d x a_0 \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx a02π1∫02πf(x)dx 由于 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π] 上为 1在 [ π , 2 π ] [\pi, 2\pi] [π,2π] 上为 -1 a 0 1 2 π ( ∫ 0 π 1 d x ∫ π 2 π − 1 d x ) a_0 \frac{1}{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \, dx \int_{\pi}^{2\pi} -1 \, dx \right) a02π1(∫0π1dx∫π2π−1dx) a 0 1 2 π ( π − π ) 0 a_0 \frac{1}{2\pi} \left( \pi - \pi \right) 0 a02π1(π−π)0计算 ( a_n ) a n 1 π ∫ 0 2 π f ( x ) cos ( n x ) d x a_n \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx anπ1∫02πf(x)cos(nx)dx 由于 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数关于 x π x \pi xπ 对称且 ( c o s ( n x ) cos(nx) cos(nx)) 是偶函数奇函数与偶函数的内积为零 a n 0 a_n 0 an0计算 ( b_n ) b n 1 π ∫ 0 2 π f ( x ) sin ( n x ) d x b_n \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx bnπ1∫02πf(x)sin(nx)dx 同样地将积分分为两部分 b n 1 π ( ∫ 0 π sin ( n x ) d x ∫ π 2 π − sin ( n x ) d x ) b_n \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \int_{\pi}^{2\pi} -\sin(nx) \, dx \right) bnπ1(∫0πsin(nx)dx∫π2π−sin(nx)dx) 由于 s i n ( n x ) sin(nx) sin(nx) 在 [ π , 2 π ] [\pi, 2\pi] [π,2π] 上的负值正好抵消 ( [ 0 , π ] ([0, \pi] ([0,π]上的值 b n 1 π ( ∫ 0 π sin ( n x ) d x − ∫ 0 π sin ( n x ) d x ) b_n \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx - \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \right) bnπ1(∫0πsin(nx)dx−∫0πsin(nx)dx) b n 2 π ∫ 0 π sin ( n x ) d x b_n \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx bnπ2∫0πsin(nx)dx 计算这个积分结果是 b n { 4 n π for odd n 0 for even n b_n \begin{cases} \frac{4}{n\pi} \text{for odd } n \\ 0 \text{for even } n \end{cases} bn{nπ40for odd nfor even n
得到傅里叶级数展开
将 ( a_0 ), ( a_n ), ( b_n ) 代入傅里叶级数的基本形式我们得到方波的傅里叶级数展开 f ( x ) ∑ odd n 4 n π sin ( n x ) f(x) \sum_{\text{odd } n} \frac{4}{n\pi} \sin(nx) f(x)odd n∑nπ4sin(nx) 具体地考虑前几项我们可以写成 f ( x ) ≈ 4 π sin ( x ) 4 3 π sin ( 3 x ) 4 5 π sin ( 5 x ) … f(x) \approx \frac{4}{\pi} \sin(x) \frac{4}{3\pi} \sin(3x) \frac{4}{5\pi} \sin(5x) \ldots f(x)≈π4sin(x)3π4sin(3x)5π4sin(5x)…
整个工具的代码实现
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_qt5agg import FigureCanvasQTAgg as FigureCanvas
from matplotlib.figure import Figure
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from PyQt5.QtWidgets import QApplication, QMainWindow, QWidget, QVBoxLayout, QHBoxLayout, QPushButton, QSlider, QLabel, QLineEdit, QGridLayout
from PyQt5.QtCore import Qtplt.rcParams[font.sans-serif] [SimHei]
plt.rcParams[axes.unicode_minus] Falseclass FourierSeriesVisualizer(QMainWindow):def __init__(self):super().__init__()self.setWindowTitle(傅里叶级数可视化工具)self.setGeometry(100, 100, 1200, 800)self.central_widget QWidget(self)self.setCentralWidget(self.central_widget)self.layout QGridLayout(self.central_widget)# 创建二维图形区self.figure_2d, self.ax_2d plt.subplots()self.canvas_2d FigureCanvas(self.figure_2d)self.layout.addWidget(self.canvas_2d, 0, 0)# 创建三维图形区self.figure_3d Figure()self.ax_3d self.figure_3d.add_subplot(111, projection3d)self.canvas_3d FigureCanvas(self.figure_3d)self.layout.addWidget(self.canvas_3d, 0, 1)# 创建控制面板self.control_panel QHBoxLayout()self.label_n QLabel(傅里叶级数次数, self)self.control_panel.addWidget(self.label_n)self.slider_n QSlider(Qt.Horizontal, self)self.slider_n.setRange(1, 50)self.slider_n.setValue(10)self.slider_n.valueChanged.connect(self.update_plot)self.control_panel.addWidget(self.slider_n)self.label_custom_n QLabel(自定义次数, self)self.control_panel.addWidget(self.label_custom_n)self.input_custom_n QLineEdit(self)self.input_custom_n.setPlaceholderText(输入次数)self.control_panel.addWidget(self.input_custom_n)self.button_apply QPushButton(确定, self)self.button_apply.clicked.connect(self.apply_custom_n)self.control_panel.addWidget(self.button_apply)self.button_reset QPushButton(重置, self)self.button_reset.clicked.connect(self.reset)self.control_panel.addWidget(self.button_reset)self.button_dynamic QPushButton(查看傅里叶级数动态拟合过程, self)self.button_dynamic.clicked.connect(self.view_dynamic_process)self.control_panel.addWidget(self.button_dynamic)self.layout.addLayout(self.control_panel, 1, 0, 1, 2)# 初始绘图self.update_plot()def compute_fourier_series(self, t, T, N):f_t np.sign(np.sin(2 * np.pi * t / T))a0 2 * np.mean(f_t)an np.zeros(N)bn np.zeros(N)for n in range(1, N1):an[n-1] 2 * np.mean(f_t * np.cos(2 * np.pi * n * t / T))bn[n-1] 2 * np.mean(f_t * np.sin(2 * np.pi * n * t / T))return a0, an, bndef reconstruct_signal(self, t, T, a0, an, bn, N):f_reconstructed a0 / 2for n in range(1, N1):f_reconstructed an[n-1] * np.cos(2 * np.pi * n * t / T) bn[n-1] * np.sin(2 * np.pi * n * t / T)return f_reconstructeddef update_plot(self):N self.slider_n.value()t np.linspace(0, 2, 500)T 2a0, an, bn self.compute_fourier_series(t, T, N)f_reconstructed self.reconstruct_signal(t, T, a0, an, bn, N)self.ax_2d.clear()self.ax_2d.plot(t, np.sign(np.sin(2 * np.pi * t / T)), label原始信号方波)self.ax_2d.plot(t, f_reconstructed, labelf重构信号傅里叶级数 N{N})self.ax_2d.set_title(方波的傅里叶级数展开)self.ax_2d.set_xlabel(时间)self.ax_2d.set_ylabel(幅度)self.ax_2d.legend()self.ax_2d.grid(True)self.ax_2d.set_ylim(-1.5, 1.5)self.canvas_2d.draw()self.update_3d_plot(a0, an, bn, N, T)def update_3d_plot(self, a0, an, bn, N, T):t np.linspace(0, 2, 500)f_reconstructed self.reconstruct_signal(t, T, a0, an, bn, N)self.ax_3d.clear()self.ax_3d.plot(t, f_reconstructed, zs0, zdiry, label重构信号, colorb)for n in range(1, N1):component an[n-1] * np.cos(2 * np.pi * n * t / T) bn[n-1] * np.sin(2 * np.pi * n * t / T)self.ax_3d.plot(t, component, zsn, zdiry, labelf谐波 {n})self.ax_3d.set_xlabel(时间)self.ax_3d.set_ylabel(谐波)self.ax_3d.set_zlabel(幅度)self.ax_3d.legend(locupper left)self.canvas_3d.draw()def apply_custom_n(self):try:custom_n int(self.input_custom_n.text())if custom_n 0:self.slider_n.setValue(custom_n)except ValueError:passdef reset(self):self.slider_n.setValue(10)self.input_custom_n.clear()def view_dynamic_process(self):for n in range(1, self.slider_n.value() 1):self.slider_n.setValue(n)QApplication.processEvents()self.update_plot()if __name__ __main__:app QApplication(sys.argv)main_window FourierSeriesVisualizer()main_window.show()sys.exit(app.exec_())
