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1、基本统计量 总体#xff1a;研究对象的某个感兴趣的指标。样本#xff1a;从总体中随机抽取的独立个体X1,X2,…,Xn#xff0c;一般称(X1,…,Xn)为一个样本#xff0c;可以看成一个n维随机向量#xff0c;它的每一取组值(x1,…,xn)称为样本的观测值。统计…一、基本知识
1、基本统计量 总体研究对象的某个感兴趣的指标。样本从总体中随机抽取的独立个体X1,X2,…,Xn一般称(X1,…,Xn)为一个样本可以看成一个n维随机向量它的每一取组值(x1,…,xn)称为样本的观测值。统计量样本是总体的代表抽取后不直接利用样本的观测值进行推断而是把样本所包含的有关信息集中起来进行研究即针对研究的目的构造样本的某种函数称为样本函数只包含样本信息的样本函数就是统计量。根据研究目的下面介绍常见的统计量。 平均值、中位数、众数、方差、均方差标准差、极差就不介绍了。
分位数满足的Zα称为分布函数F的α分位数。偏度反映数据分布对称性指标。 当P10是称为右偏即数据位于均值右边的居多当P10是左偏即数据位于均值左边的居多当P1≈0时数据分布关于均值对称。峰度。计算正态分布的峰度值为3均匀分布的峰度是1.8若P23表示数据分布有沉重的尾巴即很多数据离均值较远。k阶原点矩k阶中心矩变异系数Coefficient of Variation两组变量量纲不同时的差异程度比较常常用于反映重要程度的权系数。
二、统计回归模型基础
1、回归模型
处于同一个大系统下各个变量它们相依存相互制约却又不能判定为确定的函数关系这类关系称为相关关系。例如作物的产量与施肥量相关人的身高与体重相关。
一般地考虑多个变量的情形将考察的目标的变量Y称为因变量而影响它的其它各个变量称为自变量或可控变量。在给定可控变量X1,X2,…,Xp的一组观测值x1,x2,…,xp若Y的条件数学期望存在称其为Y关于X1,X2,…,Xp的回归函数。
称为Y对X1,…,Xp的回归方程。
【2.1】称为Y对X1,…,Xp的回归模型。特别当时称【2.1】为正态回归模型其中ε表示模型的拟合误差又称为残差或随机扰动项。理想的模型应当是越小越好。
回归函数μ(x1,…,xp)是确定性的函数一般不知道只能通过经验公式S(x1,…,xp)来作为其估计函数记为习惯上称为经验回归方程。 回归与拟合的区别 回归和拟合是统计学中常用的两个概念它们有一些相似之处但也有一些不同之处。 回归是指通过分析数据的关系建立一个模型来描述自变量和因变量之间的关系。回归分析的目标是预测因变量的值并评估自变量对因变量的影响程度。回归可以用于解决预测和关联分析等问题。 拟合是指将一个数学模型与已有的数据拟合以找到最能代表这些数据的模型参数。拟合的目标是通过调整模型的参数值使得模型的预测值与实际观测值之间的误差最小化。拟合可以用于寻找最佳拟合曲线或曲面等。 总的来说回归和拟合都是通过建立数学模型来描述数据的变化趋势和关系。回归更关注变量之间的关系和预测能力而拟合更关注模型与数据之间的拟合程度。 2、线性回归模型和多项式回归模型
【2.2】
为p元线性回归模型其中是回归系数。
【2.3】
为p阶多项式回归。
由于【2.2】有较好的检验和误差分析常常把【2.3】转化为【2.2】就将p阶多项式回归转换为p元线性回归。
3、回归系数求解 回归模型的系数采用最小二乘估计法对Y,X1,…,Xp作了n次观测得到系列观测值 构造函数 为了求即求关于β0,β1,…,βp的最小值
记 称SST为总偏差平方和(即y1,y2,…,yn之间的误差)
称SSE为残差平方和即预测值与真实值之间的误差
称SSR为回归平方和即回归自变量引起的误差
为观测值对应的理论值。
在假设H0不全为0成立的情况下可以推出且相互独立。
建模的目的主要是用自变量x的变化来解释因变量y的变化即希望SST值主要是SSR引起的SSE很小而由概率统计知识知道
【2.4】
给定显著水平α查F分布临界值若由【2.4】算出来的F值满足FFα(p,n-p-1)就认为SSR远远大于SSE即模型有效。
同时由于
即在模型有效时可以用SSE/(n-p-1)来作为σ2的无偏估计值。 显著水平 在统计学中显著水平significance level指的是在假设检验中作为判断标准的阈值。它用来评估统计检验结果是否足够显著即对于给定的观察数据是否可以拒绝原假设。 一般来说显著水平通常以 αalpha表示取值范围在0到1之间。常见的显著水平有0.05或5%和0.01或1%等。α的选择通常取决于具体情况和研究的要求。 在进行假设检验时我们首先设定一个原假设null hypothesis通常表示没有效应或没有关系然后根据观察数据计算统计量并计算出相应的p值p-value。p值表示观察数据达到或超过统计量所示的极端情况的概率。 然后我们将p值与预先设定的显著水平进行比较。如果p值小于或等于显著水平通常就拒绝原假设认为观察数据具有统计显著性。反之如果p值大于显著水平就无法拒绝原假设没有足够的证据表明观察结果是显著的。 显著水平的选择需要权衡研究的目的、统计方法和实际需求。通常较低的显著水平要求有更强的证据才能拒绝原假设但也可能增加犯第一类错误拒绝真实的原假设。而较高的显著水平则减少了犯第一类错误的可能性但也增加了犯第二类错误接受错误的原假设的风险。 4、回归显著性检验
1回归方程显著性检验问题软件计算R2和F值 在回归方程的显著性检验中R方R-Squared和F值F-value是常用的统计指标。 R方是衡量回归方程对观察数据的拟合程度的一个度量。它的取值范围在0到1之间越接近1表示回归方程能够很好地解释观察数据的变异。R方可以解释因变量的变异中由回归方程中的自变量解释的比例。然而它并不能直接说明回归方程是否显著。 F值是用于检验回归方程的整体显著性的统计量。它基于回归方程中解释的变异与未解释的变异之间的比例。F值的计算涉及一系列步骤其中包括计算均方差、残差平方和、回归平方和等。F值的计算结果会与自由度相关并进行与显著水平的比较。 在实际应用中许多统计软件如R、Python中的statsmodels和scikit-learn、SPSS、Excel等都可以计算回归方程的R方和F值。这些软件会自动给出关于回归方程显著性的统计结果和相应的p值。一般来说如果F值的p值小于预先设定的显著水平如0.05则可以认为回归方程是显著的即至少有一个自变量对因变量的解释能力是统计显著的。 需要注意的是R方和F值虽然是回归分析的重要指标但不应作为唯一的判断依据。在实际应用中还应综合考虑其他指标、模型的实际意义以及研究的背景和目的。 2回归系数显著性检验问题T检验 T检验是用于检验回归模型中回归系数的显著性的一种统计方法。它通过计算回归系数的估计值与其标准误之比得到T值并与自由度相关的T分布进行比较来判断回归系数的显著性。 在回归模型中每个自变量都有一个相应的回归系数用于衡量该自变量对因变量的影响程度。T检验用于检验每个回归系数是否显著不等于零即判断自变量是否对因变量的解释能力是统计显著的。 T检验中使用的统计量是T值它的计算公式为回归系数的估计值与其标准误之比。T值的计算结果与自由度相关并与T分布进行比较。一般而言如果T值的绝对值较大那么说明回归系数显著不等于零即自变量对因变量的解释能力是统计显著的。 在实际应用中许多统计软件如R、Python中的statsmodels和scikit-learn、SPSS、Excel等都可以计算回归系数的T值和相应的p值。p值是在零假设成立的情况下观察到的T值或更极端结果的概率。一般而言如果回归系数的p值小于预先设定的显著水平如0.05则可以认为该回归系数是显著的。 需要注意的是T检验只能检验单个系数的显著性而不能判断多个系数之间的比较。此外在进行T检验时还应满足检验的前提条件如误差项的正态性、方差齐性等。此外通过T检验得出的显著性是基于样本数据的推断仍需要根据具体研究的背景和目的判断其实际意义和重要性。 3回归方程“最优”问题经验调整 在回归分析中经验调整empirical adjustment是一种通过对回归方程进行调整以获得更好拟合和更准确的预测的方法。 回归方程的拟合程度可以由R方值R-squared来衡量R方值越接近1表示模型对数据的解释能力越强。然而仅仅使用R方值来选择最佳模型可能存在问题因为一个复杂的模型可以通过增加自由度而提高拟合程度但可能过度拟合了数据导致在新数据上表现不佳。 经验调整的目标是在保持模型解释力的同时尽量避免过度拟合。一种常见的经验调整方法是利用特定的准则来选择自变量的子集例如AIC赤池信息准则或BIC贝叶斯信息准则等。这些准则考虑了模型的拟合程度和模型的复杂度鼓励选择较简单的模型以避免过度拟合。 另一个常用的经验调整方法是交叉验证cross-validation。交叉验证将数据集分为训练集和验证集使用训练集来拟合模型并使用验证集评估模型的预测性能。通过比较不同模型的平均误差或其他性能指标可以选择具有较好预测性能的模型。 需要注意的是经验调整不是一种唯一的方法适用于所有情况。选择最佳的经验调整方法将取决于具体的数据特征、研究目标和背景知识。在进行经验调整时应该根据问题的要求和假设仔细选择模型和调整方法同时要避免过度调整或过度拟合的问题。 要注意的是给定显著水平α计算F值与临界值比较即可计算R值与临界值关于t检验也可以由系数的1-a置信区间估计来完成若置信区间内包含0则相应的系数显著为0否则就不显著。很多统计参考书称R为可决系数即可解释机会
