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地毯填补问题

题目描述

相传在一个古老的阿拉伯国家里，有一座宫殿。宫殿里有个四四方方的格子迷宫，国王选择驸马的方法非常特殊，也非常简单：公主就站在其中一个方格子上，只要谁能用地毯将除公主站立的地方外的所有地方盖上，美丽漂亮聪慧的公主就是他的人了。公主这一个方格不能用地毯盖住，毯子的形状有所规定，只能有四种选择（如图）：

并且每一方格只能用一层地毯，迷宫的大小为 $2^k\times 2^k$ 的方形。当然，也不能让公主无限制的在那儿等，对吧？由于你使用的是计算机，所以实现时间为 $1$ 秒。

输入格式

输入文件共 $2$ 行。

第一行一个整数 $k$，即给定被填补迷宫的大小为 $2^k\times 2^k$（$0<k\le 10$）；
第二行两个整数 $x,y$，即给出公主所在方格的坐标（$x$ 为行坐标，$y$ 为列坐标），$x$ 和 $y$ 之间有一个空格隔开。

输出格式

将迷宫填补完整的方案：每一补（行）为 $xyc$（$x,y$ 为毯子拐角的行坐标和列坐标，$c$ 为使用毯子的形状，具体见上面的图 $1$，毯子形状分别用 $1,2,3,4$ 表示，$x,y,c$ 之间用一个空格隔开）。

样例 #1

样例输入 #1

3                          
3 3

样例输出 #1

5 5 1
2 2 4
1 1 4
1 4 3
4 1 2
4 4 1
2 7 3
1 5 4
1 8 3
3 6 3
4 8 1
7 2 2
5 1 4
6 3 2
8 1 2
8 4 1
7 7 1
6 6 1
5 8 3
8 5 2
8 8 1

提示

spj 报错代码解释：

1. $c$ 越界；
2. $x,y$ 越界；
3. $(x,y)$ 位置已被覆盖；
4. $(x,y)$ 位置从未被覆盖。

$\text{upd 2023.8.19}$：增加样例解释。

样例解释

大致思路

当k=1时，我们可以非常容易得到毯子填补的方案。当k=2甚至更大时，我们可以将其划分为四大块，但是公主位只有一个，而对于其他没有公主位的四方格，似乎和原问题形式不一样。但是我们可以对其加以处理，使其四个子问题都具有相同形式——即，我们可以手动为其他三个没有公主位的四方格增加新的“公主位”。例如，当公主位在左上角时，我们可以将剩余三个四方格的交界处用毯子1来补上，这样每个四方格都会被分配到一个公主位，称为特殊的方阵，问题便迎刃而解(如图所示)。因此我们就可以采用分治的方法去不断将正方形划分为4个子正方形，再分别填充，直到小正方形边长为1时，就是公主位了，不用做任何处理。

8x8的方格里,公主在右上角的格子里,然后在左上角的4x4方格中,选右下角,在左下角的方格中,选右上角,在右下角的方格中,选左上角,组成一个L,现在一个8x8的方格被分为四个4x4的方格,每个4x4的方格中,都有一块被挖掉的部分,左上角的4*4方格中被挖掉的部分是它右下角组成L的那一块,右上角的4x4方格中,挖去的是公主的位置,左下角和右下角的方格,挖去的都是L那部分

然后对每个4x4方格,重复以上操作,直到方格划分为2*2的,四个格子中有一个被挖去,另外三个自然组成一个L

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;// 正方形左上角坐标xx和yy，公主坐标x和y，正方形边长k
void work(int xx,int yy,int x,int y,int k){if(k == 1)  return;k/=2;// 左上角if(x < xx+k && y < yy+k){printf("%d %d %d\n",xx+k,yy+k,1);// 递归覆盖左上角work(xx,yy,x,y,k);// 覆盖右下角work(xx+k,yy+k,xx+k,yy+k,k);// 覆盖左下角work(xx+k,yy,xx+k,yy+k-1,k);// 覆盖右上角work(xx,yy+k,xx+k-1,yy+k,k);}// 右上角else if(x < xx+k && y >= yy+k){printf("%d %d %d\n",xx+k,yy+k-1,2);// 递归覆盖左上角work(xx,yy,xx+k-1,yy+k-1,k);// 覆盖右下角work(xx+k,yy+k,xx+k,yy+k,k);// 覆盖左下角work(xx+k,yy,xx+k,yy+k-1,k);// 覆盖右上角work(xx,yy+k,x,y,k);}// 左下角else if(x >= xx+k && y < yy+k){printf("%d %d %d\n",xx+k-1,yy+k,3);// 递归覆盖左上角work(xx,yy,xx+k-1,yy+k-1,k);// 覆盖右下角work(xx+k,yy+k,xx+k,yy+k,k);// 覆盖左下角work(xx+k,yy,x,y,k);// 覆盖右上角work(xx,yy+k,xx+k-1,yy+k,k);}// 右下角else{printf("%d %d %d\n",xx+k-1,yy+k-1,4);// 递归覆盖左上角work(xx,yy,xx+k-1,yy+k-1,k);// 覆盖右下角work(xx+k,yy+k,x,y,k);// 覆盖左下角work(xx+k,yy,xx+k,yy+k-1,k);// 覆盖右上角work(xx,yy+k,xx+k-1,yy+k,k);}
}int main()
{int x,y,k;cin >> k >> x >> y;work(1,1,x,y,(1 << k));return 0;
}