樟木头镇网站建设公司,做网站公司那家好,备案 个人网站建设方案书,北京网站建设设计公司1. B树
1.1 B树的定义
树也称树#xff0c;它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗树时需要指定它的阶数#xff0c;阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点#xff0c;用字母表示阶数。当取时#xff0c;就是我们常见的二叉搜索树。
一颗阶的树定义如下#xff1a;
每…1. B树
1.1 B树的定义
树也称树它是一颗多路平衡查找树。我们描述一颗树时需要指定它的阶数阶数表示了一个结点最多有多少个孩子结点用字母表示阶数。当取时就是我们常见的二叉搜索树。
一颗阶的树定义如下
每个结点最多有个关键字。根结点最少可以只有个关键字。非根结点至少有个关键字。每个结点中的关键字都按照从小到大的顺序排列每个关键字的左子树中的所有关键字都小于该结点而右子树中的所有关键字都大于该结点。所有叶子结点都位于同一层或者说根结点到每个叶子结点的长度都相同。 上图是一颗阶数为的树。在实际应用中的树的阶数都非常大通常大于所以即使存储大量的数据树的高度仍然比较小。每个结点中存储了关键字和关键字对应的数据以及孩子结点的指针。我们将一个和其对应的称为一个记录。为方便描述除非特别说明后续文中就用来代替键值对这个整体。在数据库中我们将树和树作为索引结构可以加快查询速速此时树中的就表示键而表示了这个键对应的条目在硬盘上的逻辑地址。
1.2 B树的插入操作
插入操作是指插入一条记录即的键值对。如果树中已存在需要插入的键值对则用需要插入的替换旧。若树不存在该则一定是在叶子结点中进行插入操作。
根据要插入的的值找到叶子结点并插入判断当前结点的个数是否小于等于若满足则结束否则进行第3步以结点中间的为中心分裂成左右两部分将这个中间的插入到父结点中让这个的左侧指针指向分裂后的左半部分的右侧指针指向分裂后的右半部分然后设置当前结点指向父结点也就是此时所在的结点继续进行第3步下面以阶树为例介绍树的插入操作结点最多有个最少有个。 a在空树中插入 此时根结点就一个此时根结点也是叶子结点 b继续插入和 根结点此时有个 c继续插入 插入后超过了最大允许的关键字个数以值为为中心进行分裂结果如下图所示分裂后当前结点指针指向父结点满足树条件插入操作结束。当阶数为偶数时需要分裂时就不存在排序恰好在中间的那么选择中间位置的前一个或后一个为中心进行分裂即可。 d依次插入同样会造成分裂结果如下图所示。 e依次插入, 结果如下图所示。 f插入值为的记录插入后的结果如下图所示。 当前结点需要以为中心分裂并向父结点插入然后当前结点指向父结点结果如下图示。 父当前即根结点结点插入后导致父结点也需要分裂分裂的结果如下图所示。 分裂后当前结点指向新的根此时无需调整。 g最后再依次插入为的记录结果如下图所示。 在实现树的代码中为了使代码编写更加容易我们可以将结点中存储记录的数组长度定义为而非这样方便底层的结点由于分裂向上插入一个记录时上层有多余位置暂存这个记录。同时每个结点还可以存储它的父结点的引用这样就不必编写递归程序。
一般来说对于确定的和确定类型的记录结点大小是固定的无论它实际存储了多少个记录。但是分配固定结点大小的方法会存在浪费的情况比如为所在的结点还有个的位置没有使用但已不可能再在此插入任何值了因为这个结点的前序是27后继是所有整数值都用完了。
1.3 B树的删除操作
删除操作是指根据删除记录如果树中的记录中不存对应的记录则删除失败。
如果当前需要删除的位于非叶子结点上则用后继这里的后继均指后继记录的意思覆盖要删除的然后在后继所在的子支中删除该后继key。后继一定位于叶子结点上这个过程和二叉搜索树删除结点的方式类似。删除这个记录后执行第2步该结点个数大于等于结束删除操作否则执行第3步如果兄弟结点个数大于则在父结点与兄弟结点夹住的下移到当前结点兄弟结点中的一个上移到父结点删除操作结束否则将父结点中的下移与当前结点及它的兄弟结点中的合并形成一个新的结点。原父结点中的的两个孩子指针就变成了一个孩子指针指向这个新结点。然后当前结点的指针指向父结点重复上第2步。
有些结点它可能即有左兄弟又有右兄弟那么我们任意选择一个兄弟结点进行操作即可。
下面以阶树为例介绍树的删除操作阶树中结点最多有个最少有个 a原始状态 b在上面的树中删除删除后结点中的关键字个数仍然大于等所以删除结束。 c在上述情况下接着删除。从上图可知位于非叶子结点中所以用的后继替换它。图中可以看出的后继为我们用替换然后在原的右孩子结点中删除。删除后的结果如下图所示。 删除后发现当前叶子结点的记录的个数小于而它的兄弟结点中有个记录当前结点还有一个右兄弟选择右兄弟就会出现合并结点的情况不论选哪一个都行只是最后树的形态会不一样而已我们可以从兄弟结点中借取一个。所以父结点中的下移兄弟结点中的上移删除结束。结果如下图所示。 d在上述情况下接着结果如下图。 当删除后当前结点中只而兄弟结点中也仅有个。只能让父结点中的下移和这两个孩子结点中的合并成为一个新的结点当前结点的指针指向父结点。结果如下图所示。 当前结点的个数满足条件故删除结束。 e上述情况下我们接着删除为的记录删除后结果如下图所示。 同理当前结点的记录数小于兄弟结点中没有多余所以父结点中的下移和兄弟这里我们选择左兄弟选择右兄弟也可以结点合并合并后的指向当前结点指针指向父结点。 同理对于当前结点而言只能继续合并了最后结果如下所示。 合并后结点当前结点满足条件删除结束。
B树
2.1 B树的定义 各种资料上树的定义各有不同一种定义方式是关键字个数和孩子结点数相同。这里我们采取维基百科上所定义的方式即关键字个数比孩子结点个数小这种方式是和B树基本等价的。上图就是一颗阶数为的树。
除此之外树还有以下的要求。
树包含种类型结点内部结点也称索引结点和叶子结点。根结点本身既可以是内部结点也可以是叶子结点。根结点的个数最少可以只有个树与树最大的不同是内部结点不保存数据只用于索引所有的数据或者说记录都保存在叶子结点中阶树表示了内部结点最多有个或者说内部结点最多有个子树阶数同时限制了叶子结点最多存储个记录内部结点中的都按照从小到大的顺序排列对于内部结点中的一个左树中的所有都小于它右子树中的都大于等于它。叶子结点中记录也按照大小排列每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针叶子结点本身依自小而大顺序链接。
2.2 B树的插入操作
若为空树创建一个叶子结点然后将记录插入其中此时这个叶子结点也是根结点插入操作结束根据值找到叶子结点向这个叶子结点插入记录。插入后当前结点的个数小于等于则插入结束。否则将这个叶子结点分裂成左右两个叶子结点左叶子结点包含前个记录右结点包含剩下记录将第个记录的进位到父结点中父结点一定是索引类型结点父结点左侧孩子指针向左结点右侧孩子指针向右结点。将当前结点的指针指向父结点然后执行第3步若当前非叶子结点的个数不多于则插入结束。否则将这个索引类型结点分裂成两个索引结点左索引结点包含前个key右结点包含个将第个进位到父结点中父结点的左孩子指向左结点父结点的右孩子指向右结点。将当前结点的指针指向父结点然后重复第3步。
下面是一颗阶树的插入过程阶数的非根结点最少个最多4个。 a空树中插入 b依次插入 c插入 插入后超过了关键字的个数限制所以要进行分裂。在叶子结点分裂时分裂出来的左结点个记录右边个记录中间成为索引结点中的分裂后当前结点指向父结点根结点。结果如下图所示。 当然还有另一种分裂方式给左结点个记录右结点个记录此时索引结点中的就变为。 d插入 e插入插入后如下图所示 当前结点的关键字个数大于进行分裂。分裂成两个结点左结点个记录右结点个记录进到父结点索引类型中将当前结点的指针指向父结点。 当前结点的关键字个数满足条件插入结束。 f插入若干数据后 g在上图中插入结果如下图所示 当前结点的关键字个数超过需要分裂。左结点个记录右结点个记录。分裂后关键字进入到父结点中将当前结点的指针指向父结点结果如下图所示。 当前结点关键字个数超过需要继续分裂。左结点个关键字右结点个关键字进入父结点中将当前结点指向父结点结果如下图所示。 当前结点的关键字个数满足条件插入结束。
2.3 B树的删除操作
如果叶子结点中没有相应的则删除失败。否则执行下面的步骤
删除叶子结点中对应的。删除后若结点的的个数大于等于删除操作结束,否则执行第步若兄弟结点有大于向兄弟结点借一个同时用借到的替换父结点指当前结点和兄弟结点共同的父结点中的删除结束。否则执行第步若兄弟结点中没有富余的则当前结点和兄弟结点合并成一个新的叶子结点并删除父结点中的父结点中的这个两边的孩子指针就变成了一个指针正好指向这个新叶子结点将当前结点指向父结点必为索引结点执行第步以后操作和树完全一样主要是为了更新索引结点若索引结点的的个数大于等于则删除操作结束否则执行第步若兄弟结点有富余父结点下移兄弟结点上移删除结束否则执行第步当前结点和兄弟结点及父结点下移合并成一个新的结点。将当前结点指向父结点重复第步。
注意通过树的删除操作后索引结点中存在的不一定在叶子结点中存在对应的记录。
下面是一颗阶树的删除过程阶数的结点最少个最多个。 a初始状态 b删除删除后结果如下图 删除后叶子结点中的个数大于等于删除结束 c删除删除后的结果如下图所示 删除后当前结点只有个不满足条件而兄弟结点有个可以从兄弟结点借个为的记录同时更新将父结点中的关键字由也变为删除结束。 d删除删除后的结果如下图所示 当前结点关键字个数小于左兄弟结点中的也没有富余的关键字当前结点还有个右兄弟不过选择任意一个进行分析就可以了这里我们选择了左边的所以当前结点和兄弟结点合并并删除父结点中的当前结点指向父结点。 此时当前结点的关键字个数小于兄弟结点的关键字也没有富余所以父结点中的关键字下移和两个孩子结点合并结果如下图所示。
