网站建设花都,域名购买哪个网站最好,百度热门关键词排名,郑州网站建设快速排名熊掌微分流形学习之一#xff1a;基本定义引入 引言一、微分流形的历史简介二、拓扑空间三、微分流形 引言
本文是作者在学习微分流形的时候的笔记#xff0c;尽量严格完整#xff0c;并带有一定理解#xff0c;绝不是结论的简单罗列。如果读者知道数学分析中的 ϵ − δ \ep… 微分流形学习之一基本定义引入 引言一、微分流形的历史简介二、拓扑空间三、微分流形 引言
本文是作者在学习微分流形的时候的笔记尽量严格完整并带有一定理解绝不是结论的简单罗列。如果读者知道数学分析中的 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ 语言将会是有益的。由于本人学识有限如有不足之处还请各位专家批评指正。 一、微分流形的历史简介
几何学是一门古老的学科早在古希腊时期就已经自成体系欧几里德的公理化著作《几何原本》约公元前300年写成更是成为传世佳作而为后人吸取其中的养分。直到17世纪笛卡尔提出了笛卡尔坐标系开创了解析几何的先河。随着19世纪的到来几何学进入了黄金时代。这一时期几何学发生了巨大变化并向欧式几何发起了挑战逐渐形成了非欧几何。而“黎曼式的非欧几何”——黎曼几何则对几何学观念进行了全面革新。
值得指出的是“黎曼式非欧几何”严格来说并不能完全概括黎曼几何正如胡作玄先生在《近代数学史》中指出的“黎曼不仅仅提出黎曼式的非欧几何同时发展了高斯的曲面论创立了内蕴几何学以流形为研究对象从此几何学由图形的研究转变为队空间的研究而且这空间不再局限于现实的三维空间而成为任意维度的这导致后期的高维几何学的发展。”
二、拓扑空间
我们知道一个定义在拓扑空间上的函数映射是可以讨论连续性的而连续性是分析数学的基础也是后面将要讲到的微分流形的基础因此我们先来看一下拓扑空间的定义。
定义 一个集合 X X X 的幂集为其所有子集构成之全体记作 P ( X ) \mathscr{P}(X) P(X) 或 2 X 2^X 2X本文以 P ( X ) \mathscr{P}(X) P(X) 为准。
例如 X { a , b } X\{ a, b \} X{a,b} 那么 P ( X ) { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{P}(X)\{ \varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} P(X){∅,{a},{b},{a,b}} 。
值得一提的是全文涉及的集合 X X X 可以是集合论范畴里面讨论的非常一般的没有特殊指代的形式化的集合而不仅仅是像数集 R n \mathbb{R}^n Rn 这样一类特殊的集合。
定义 给定集合 X X X 和它的一个子集族 T \mathscr{T} T 如果 T \mathscr{T} T 满足下述三个条件 1 1 1- 3 3 3则称 T \mathscr{T} T 为 X X X 上的一个拓扑 T \mathscr{T} T 中的每个集合元素称为 X X X 的开集并将 ( X , T ) (X,\mathscr{T}) (X,T) 称为拓扑空间。 ∅ ∈ T , X ∈ T \varnothing \in \mathscr{T}, \; X \in \mathscr{T} ∅∈T,X∈T若 U 1 , U 2 ∈ T U_1, U_2 \in \mathscr{T} U1,U2∈T则 U 1 ∩ U 2 ∈ T U_1 \cap U_2 \in \mathscr{T} U1∩U2∈T设 Λ \Lambda Λ 为指标集如果集族 { U λ ∣ λ ∈ Λ } ⊆ T \{ U_{\lambda} | \lambda \in \Lambda \} \subseteq \mathscr{T} {Uλ∣λ∈Λ}⊆T 那么 ⋃ λ ∈ Λ U λ ∈ T \bigcup _{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} \in \mathscr{T} ⋃λ∈ΛUλ∈T
由定义知拓扑空间是一个全集 X X X 与它的某些满足上述规则的子集构成的子集族 T \mathscr{T} T 所共同刻画的。拓扑 T \mathscr{T} T 的开集满足有限交运算和任意并运算的封闭性。如此定义之于初学者而言势必有些抽象我们可以举几个例子。
比如取 X R X\mathbb{R} XR 则实数集的拓扑为 T { G ⊆ R ∣ G ∪ k ≥ 1 ( a k , b k ) , − ∞ ≤ a k b k ≤ ∞ ; ( a i , b i ) ∩ ( a j , b j ) ∅ 如果 i ≠ j } ⋃ { ∅ } \mathscr{T} \{ G \subseteq R \;|\; G \cup_{k\geq 1} (a_k, b_k) , \; -\infty \leq a_kb_k \leq \infty ; \\ (a_i, b_i) \cap (a_j, b_j) \varnothing \text{ 如果 } i \neq j \} \bigcup \{ \varnothing \} T{G⊆R∣G∪k≥1(ak,bk),−∞≤akbk≤∞;(ai,bi)∩(aj,bj)∅ 如果 ij}⋃{∅} 即 R \mathbb{R} R 中的开集除了空集外其余非空开集都是可数个含有限个互不相交的开区间的并。这也是 R \mathbb{R} R 上的通常拓扑我们还可以在其上赋予其它类型的拓扑比如平凡拓扑、离散拓扑、下限拓扑Sorgenfrey 直线等等。而数学分析里面讨论函数极限、连续等所涉及的拓扑则是 R \mathbb{R} R 的通常拓扑。下面来看看平凡拓扑、离散拓扑的定义。
定义 我们将 ( X , T ) (X, \mathscr{T}) (X,T) 称为平凡拓扑空间如果 T { ∅ , X } \mathscr{T}\{ \varnothing, X \} T{∅,X} 。
定义 我们将 ( X , T ) (X, \mathscr{T}) (X,T) 称为离散拓扑空间如果 T P ( X ) \mathscr{T}\mathscr{P}(X) TP(X) 。
易验证上面两个定义中的集族 T \mathscr{T} T 皆满足拓扑空间之定义不再赘述。如果我们将开集的补集称为闭集那么闭集满足的性质 2 2 2- 3 3 3 正好跟开集的反过来即闭集满足有限并和任意交的封闭性。容易发现平凡拓扑和离散拓扑的任何开集也同样是闭集这是其它拓扑所不具备的性质。平凡拓扑因包含元素最少我们也可以称之为集合 X X X 上的最粗拓扑而离散拓扑包含的元素最多也被称为 X X X 上的最细拓扑。
除了方便讨论函数的连续性外拓扑空间自身还有许多重要的性质。比如流形定义中所要涉及的 Hausdorff 性质也被称为 T2 分离性。引入 Hausdorff 性质也是为了研究拓扑空间的可度量性因为 Hausdorff 性质是可度量性的必要条件。我们将满足 Hausdorff 性质的拓扑空间称为 Hausdorff 空间如果一个拓扑空间不是 Hausdorff 空间那么该空间一定是不可度量的即该空间不存在一个二元函数 ρ ( x , y ) \rho(x, y) ρ(x,y)同时满足正定、对称和三角不等式三个性质。为了保证流形具有较好的性质我们往往要加上这个硬性条件定义如下
定义 如果拓扑空间 ( X , T ) (X, \mathscr{T}) (X,T) 满足对于 ∀ x , y ∈ X \forall x, y \in X ∀x,y∈X x ≠ y x\neq y xy存在包含 x x x 的开集 U x U_x Ux 与包含 y y y 的开集 U y U_y Uy使得 U x ∩ U y ∅ U_x \cap U_y \varnothing Ux∩Uy∅则称 X X X 是 Hausdorff 的 ( X , T ) (X, \mathscr{T}) (X,T) 为 Hausdorff 空间。
Hausdorff 性质保证了集合 X X X 里的任意两个元素 x , y x,y x,y 在 X X X 的拓扑中是可以区分开的。我们来看几个 Hausdorff 空间的例子。
例如实数集 R \mathbb{R} R 上面配备了通常拓扑则该拓扑空间是 Hausdorff 空间。这是因为任意两个包含 x x x 和 y y y 的且不相交的开区间可以由下式来构造 U x ( x − y − x 2 , x y − x 2 ) , U_x \left (x-\frac{y-x}{2}, x\frac{y-x}{2} \right) , Ux(x−2y−x,x2y−x), U y ( y − y − x 2 , y y − x 2 ) . U_y \left (y-\frac{y-x}{2}, y\frac{y-x}{2} \right) . Uy(y−2y−x,y2y−x). 为了快速过度到微分流形的概念上我们最后引入拓扑空间同胚的概念这也是拓扑学里最非常重要的概念之一。为此我们先给出拓扑空间连续函映射的定义。
定义 给定 ( X , T X ) (X, \mathscr{T}_X) (X,TX) 和 ( Y , T Y ) (Y, \mathscr{T}_Y) (Y,TY) 两个拓扑空间称映射 f : X → Y f: X \rightarrow Y f:X→Y 是连续的如果对于 Y Y Y 中任意的开集 U ∈ T Y U \in \mathscr{T}_Y U∈TY其在 f f f 下的原像 f − 1 ( U ) f^{-1}(U) f−1(U) 是 X X X 中的一个开集即 f − 1 ( U ) ∈ T X f^{-1}(U) \in \mathscr{T}_X f−1(U)∈TX。
值得注意的是给定的拓扑不同同样的函数 f f f 可能具有连续或不连续等不同性质。现在考虑实数集上的通常拓扑 T \mathscr{T} T取 ( X , T X ) ( R , T ) (X, \mathscr{T}_X)(\mathbb{R}, \mathscr{T}) (X,TX)(R,T) ( Y , T Y ) ( R , T ) (Y, \mathscr{T}_Y)(\mathbb{R}, \mathscr{T}) (Y,TY)(R,T)记 f ( x ) x f(x)x f(x)x则 f f f 显然是 X → Y X\rightarrow Y X→Y 的连续映射因为 Y R Y\mathbb{R} YR f f f 也被称为连续函数。事实上对于任意的 R \mathbb{R} R 中的开集 G ∪ k ≥ 1 ( a k , b k ) G \cup_{k\geq 1} (a_k, b_k) G∪k≥1(ak,bk)则 f − 1 ( G ) ∪ k ≥ 1 f − 1 ( ( a k , b k ) ) ∪ k ≥ 1 ( a k , b k ) G f^{-1}(G)\cup_{k\geq 1}f^{-1}((a_k, b_k))\cup_{k\geq 1} (a_k, b_k)G f−1(G)∪k≥1f−1((ak,bk))∪k≥1(ak,bk)G 为开集由恒等映射可直接得出 f − 1 ( G ) G f^{-1}(G)G f−1(G)G此处为了强调一般的计算过程所以将中间两步给予保留。
这也是一个拓扑味道很浓的连续性的定义这样定义的连续性才具有更广泛的适用性。事实上我们通过数学分析方式证明的 f ( x ) x f(x)x f(x)x 的连续性与上面通过拓扑方式证明的连续性在本质上是一致的但数学分析为何不沿用拓扑的方式来定义连续性呢主要是我们在数学分析当中涉及的空间 R n \mathbb{R}^n Rn 其自身是具备更多更好的性质的比如 R n \mathbb{R}^n Rn 可以度量化即具有通常的距离 ρ ∥ x − y ∥ ( x 1 − y 1 ) 2 ⋯ ( x n − y n ) 2 \rho \| x-y \|\sqrt{(x_1-y_1)^2\cdots (x_n-y_n)^2} ρ∥x−y∥(x1−y1)2⋯(xn−yn)2 因此我们可以通过距离的方式来刻画函数的极限与连续性而且也很直观。只有拓扑方式的连续性定义才能将函数的连续性推广到不可度量的拓扑空间中并带来更统一的观点。
我们再来考虑实数集上的平凡拓扑 T 1 \mathscr{T}_1 T1 和通常拓扑 T \mathscr{T} T取 ( X , T X ) ( R , T 1 ) (X, \mathscr{T}_X)(\mathbb{R}, \mathscr{T}_1) (X,TX)(R,T1) ( Y , T Y ) ( R , T ) (Y, \mathscr{T}_Y)(\mathbb{R}, \mathscr{T}) (Y,TY)(R,T)记 f ( x ) x f(x)x f(x)x则 f : X → Y f: X \rightarrow Y f:X→Y 是不连续的因为 f − 1 ( ( 0 , 1 ) ) ( 0 , 1 ) f^{-1}((0, 1))(0, 1) f−1((0,1))(0,1) 不是 ( R , T 1 ) (\mathbb{R}, \mathscr{T}_1) (R,T1) 的开集其开集仅 ∅ \varnothing ∅ 和 R \mathbb{R} R 两个。
综上我们知道连续性跟拓扑是有很大关系的同一个函数如果更换了拓扑那么它的连续性质就可能会改变。接下来可以给出同胚的概念了。
定义 设 ( X , T X ) (X, \mathscr{T}_X) (X,TX) 和 ( Y , T Y ) (Y, \mathscr{T}_Y) (Y,TY) 是两个拓扑空间映射 f : X → Y f: X \rightarrow Y f:X→Y 若满足下述三个性质 f f f 是一个双射 f f f 是连续的 f − 1 f^{-1} f−1 是连续的
则称 f f f 为这两个拓扑空间的同胚映射homeomorphism而称 ( X , T X ) (X, \mathscr{T}_X) (X,TX) 和 ( Y , T Y ) (Y, \mathscr{T}_Y) (Y,TY) 是同胚的homeomorphic记作 X ≅ Y X \cong Y X≅Y。
由定义知同胚是一个等价关系即满足自反、对称和传递性。同胚的性质告诉我们哪些拓扑空间是同一类哪些又是不同类的。而同胚的两个拓扑空间在拓扑意义下是完全相同的具有一样的拓扑性质。
比如赋予通常拓扑的实数集构成的拓扑空间 ( R , T ) (\mathbb{R}, \mathscr{T}) (R,T)与 R \mathbb{R} R 的开区间诱导的子拓扑空间 ( ( a , b ) , T ∣ ( a , b ) ) ((a,b), \mathscr{T}|_{(a,b)}) ((a,b),T∣(a,b)) 是同胚的。下面给出分析化的证明“诱导的子拓扑空间”将在证明之后给出定义。
令 f ( x ) a e − x b e x e − x e x f(x)\frac{a e^{-x}be^x}{e^{-x} e^{x}} f(x)e−xexae−xbex 则 f ( x ) f(x) f(x) 是一个单射用反证法说明设有两个数 x , y ∈ R x, y \in \mathbb{R} x,y∈R 使得 f ( x ) f ( y ) f(x)f(y) f(x)f(y)可得 ( a b e 2 x ) ( 1 e 2 y ) ( a b e 2 y ) ( 1 e 2 x ) (abe^{2x})(1e^{2y})(abe^{2y})(1e^{2x}) (abe2x)(1e2y)(abe2y)(1e2x) 化简得到 a ( e 2 y − e 2 x ) b ( e 2 y − e 2 x ) a(e^{2y}-e^{2x})b(e^{2y}-e^{2x}) a(e2y−e2x)b(e2y−e2x)由于 a b ab ab可得 x y xy xy。
我们说明 f ( x ) f(x) f(x) 也是一个满射任取 y ∈ ( a , b ) y \in (a,b) y∈(a,b)如果存在 x ∈ R x \in \mathbb{R} x∈R 使得 f ( x ) y f(x) y f(x)y则 a b e 2 x y y e 2 x abe^{2x}yye^{2x} abe2xyye2x进一步解得 x ln ( y − a ) − ln ( b − y ) 2 x \frac{\ln(y-a) - \ln(b-y)}{2} x2ln(y−a)−ln(b−y) 因此 f ( x ) f(x) f(x) 是满射从而 f f f 是 R → ( a , b ) \mathbb{R}\rightarrow (a,b) R→(a,b) 的双射。根据数学分析知 f ( x ) f(x) f(x) 是一个初等函数因此在其定义域区间内是连续的。反过来易知 f − 1 ( x ) 1 2 ln ( x − a b − x ) f^{-1}(x) \frac{1}{2}\ln \left(\frac{x-a}{b-x} \right) f−1(x)21ln(b−xx−a) 其在 ( a , b ) (a, b) (a,b) 上显然是连续的。
综合上述讨论在 R \mathbb{R} R 的通常拓扑 T \mathscr{T} T 下 R \mathbb{R} R 和 ( a , b ) (a, b) (a,b) 是同胚的其中 ( a , b ) (a,b) (a,b) 的拓扑为由 T \mathscr{T} T 所诱导。
定义 设 ( X , T ) (X,\mathscr{T}) (X,T) 为拓扑空间 Y ⊆ X Y\subseteq X Y⊆X 为非空子集记 T ∣ Y { Y ∩ U ∣ U ∈ T } \mathscr{T}|_{Y}\{ Y\cap U| \; U \in \mathscr{T} \} T∣Y{Y∩U∣U∈T} 为 Y Y Y 的子集族则 T ∣ Y \mathscr{T}|_{Y} T∣Y 为 Y Y Y 上的一个拓扑称为由 T \mathscr{T} T 诱导的拓扑或子拓扑 ( Y , T ∣ Y ) (Y, \mathscr{T}|_{Y}) (Y,T∣Y) 称为 ( X , T ) (X, \mathscr{T}) (X,T) 的诱导拓扑空间或子拓扑空间。
可以说子拓扑空间自然地继承了原拓扑空间的很多性质方便讨论某些具体情形。
由以上讨论知 ( R , T ) (\mathbb{R}, \mathscr{T}) (R,T) 和 ( ( a , b ) , T ∣ ( a , b ) ) ((a,b), \mathscr{T}|_{(a,b)}) ((a,b),T∣(a,b)) 是同胚的因此它们两者在拓扑意义下是没有任何区别的。我们可以理解为区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 可以经过连续形变最后拉伸成 R \mathbb{R} R实值线 R \mathbb{R} R 也可以连续压缩成 ( a , b ) (a,b) (a,b) 其实我们讨论的对象一直没有实质改变。若要问实质改变是怎样的我们也可以拿一把剪刀将区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 剪断那么这样的操作就不再是连续变化的而是瞬间给出了明显的改变这样得到的两个区间 ( a , r ) (a, r) (a,r) 和 ( r , c ) (r, c) (r,c)其并集 ( a , r ) ∪ ( r , c ) (a, r) \cup (r, c) (a,r)∪(r,c) 将不再与 R \mathbb{R} R 同胚了。是因为剪掉之后的并集 ( a , r ) ∪ ( r , c ) (a, r) \cup (r, c) (a,r)∪(r,c) 不连通而 R \mathbb{R} R 是连通的且连通性是拓扑不变量故两者一定不同胚同胚的两个拓扑空间其拓扑不变量也必须是相同的。
有读者可能会问为什么剪断之后的区间是 ( a , r ) (a, r) (a,r) 和 ( r , c ) (r, c) (r,c)而不是别的其他情况比如 ( a , r ] (a, r] (a,r] 和 ( r , b ) (r,b) (r,b) 这是因为考虑到实际生活中剪开的纸带是不能再拼回去的所以就将中间的数字 r r r 也一并剪掉。
同胚可能还可以通过构造相关函数来判断但不同胚怎样判断呢我们肯定不可能通过构造去逐个说明函数 f f f 不满足同胚的定义如前所述正确的方法就是去探寻拓扑空间的不变量通过不变量的不一致来反推两拓扑空间的不同胚。由于拓扑不变量贯穿拓扑学的始终内容繁多遂不在此处详细论述了。
有了以上基础我们可以引入微分流形的定义了。
三、微分流形
令 ( M , M ) (M, \mathscr{M}) (M,M) 是一个 Hausdorff 拓扑空间设 f : M → R f: M \rightarrow \mathbb{R} f:M→R 为 M M M 到 R \mathbb{R} R 的实值函数在定义微分流形之前先来看看这个问题如何讨论 f f f 在 M M M 上的导数呢我们知道仅仅通过拓扑空间的框架是无法实现求导的。
注意到导数是局部定义的比如我们可以取 f ( x , y ) ∣ x ⋅ y ∣ f(x, y)|x\cdot y| f(x,y)∣x⋅y∣ 是定义在单位圆周 M { ( x , y ) ∣ x cos ( θ ) , y sin ( θ ) , 0 ≤ θ 2 π } M \{ (x,y) | \; x\cos(\theta), y\sin(\theta), 0\leq \theta 2\pi \} M{(x,y)∣xcos(θ),ysin(θ),0≤θ2π} 上的二元连续函数那么如何考虑 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在单位圆周 M M M 上的导数呢
不妨固定单位圆上的一个点 ( x 0 , y 0 ) ( 0 , 1 ) (x_0, y_0) (0, 1) (x0,y0)(0,1)记单位圆周上动点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 到 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 的小弧线距离为 l ( x , y ) ( 0 , 1 ) ⌢ 0 l_{\overset{\frown}{(x,y) (0,1)}} 0 l(x,y)(0,1)⌢0则 ∂ f ( x , y ) ∂ M ∣ ( 0 , 1 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) f ( x , y ) − f ( 0 , 1 ) l ( x , y ) ( 0 , 1 ) ⌢ lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) f ( x , y ) − f ( 0 , 1 ) x 2 ( y − 1 ) 2 lim θ → π / 2 ∣ sin ( θ ) cos ( θ ) ∣ cos 2 ( θ ) ( sin ( θ ) − 1 ) 2 lim θ → π / 2 sin ( θ ) 1 sin ( θ ) 2 1 \begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial M} \bigg|_{(0,1)} \lim_{(x,y)\rightarrow (0,1)} \frac{f(x,y)-f(0,1)}{l_{\overset{\frown}{(x,y) (0,1)}}} \\ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,1)} \frac{f(x,y)-f(0,1)}{\sqrt{x^2(y-1)^2}} \\ \lim_{\theta\rightarrow \pi/2} \frac{|\sin(\theta)\cos(\theta)|}{\sqrt{\cos^2(\theta)(\sin(\theta)-1)^2}} \\ \lim_{\theta\rightarrow \pi/2} \frac{\sin(\theta)\sqrt{1\sin(\theta)}}{\sqrt{2}} \\ 1 \end{align} ∂M∂f(x,y) (0,1)(x,y)→(0,1)liml(x,y)(0,1)⌢f(x,y)−f(0,1)(x,y)→(0,1)limx2(y−1)2 f(x,y)−f(0,1)θ→π/2limcos2(θ)(sin(θ)−1)2 ∣sin(θ)cos(θ)∣θ→π/2lim2 sin(θ)1sin(θ) 1 其中 ∂ M \partial M ∂M 表示沿着曲线 M M M 的方向求偏导。在求导过程中我们做了参数变换并且涉及 M M M 上 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 点的邻域 U ( 0 , 1 ) U_{(0,1)} U(0,1)即包含 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 点的 M M M 中的开集。由子拓扑的定义该邻域 U ( 0 , 1 ) U_{(0,1)} U(0,1) 可以表示为 M ∩ D ( 0 , 1 ) M\cap D_{(0,1)} M∩D(0,1)其中 D ( 0 , 1 ) D_{(0,1)} D(0,1) 为 R 2 \mathbb{R}^2 R2 中以 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 为圆心的任何一个充分小的开圆盘不包含圆周的圆盘。
重要的是通过参数变换我们能将邻域 U ( 0 , 1 ) U_{(0,1)} U(0,1) 映射成 R \mathbb{R} R 中的开区间 I I I而且 U ( 0 , 1 ) ≅ I U_{(0,1)} \cong I U(0,1)≅I。即存在 ϕ : θ ↦ ( cos ( θ ) , sin ( θ ) ) \phi: \theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta)) ϕ:θ↦(cos(θ),sin(θ))将开区间 ( π 2 − ϵ , π 2 ϵ ) (\frac{\pi}{2}-\epsilon, \frac{\pi}{2}\epsilon) (2π−ϵ,2πϵ) 映射到从点 ( cos ( π 2 − ϵ ) , sin ( π 2 − ϵ ) ) (\cos(\frac{\pi}{2}-\epsilon), \sin(\frac{\pi}{2}-\epsilon)) (cos(2π−ϵ),sin(2π−ϵ)) 到点 ( cos ( π 2 ϵ ) , sin ( π 2 ϵ ) ) (\cos(\frac{\pi}{2}\epsilon), \sin(\frac{\pi}{2}\epsilon)) (cos(2πϵ),sin(2πϵ)) 的单位圆的弧线部分 U ( 0 , 1 ) U_{(0,1)} U(0,1)。显然映射 ϕ \phi ϕ 是一双射而且由 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ 语言明显可证 ϕ ( θ ) \phi(\theta) ϕ(θ) 也是连续的。
对于 ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ−1计算可得 ϕ − 1 ( x , y ) arccos ( x ) \phi^{-1}(x,y)\arccos(x) ϕ−1(x,y)arccos(x)其中 x x x 的取值范围为开区间 ( cos ( π 2 ϵ ) , cos ( π 2 − ϵ ) ) (\cos(\frac{\pi}{2}\epsilon), \cos(\frac{\pi}{2}-\epsilon)) (cos(2πϵ),cos(2π−ϵ))同样由 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ 语言可得 ϕ − 1 ( x , y ) \phi^{-1}(x,y) ϕ−1(x,y) 的连续性。
因此我们得到 U ( 0 , 1 ) ≅ ( π 2 − ϵ , π 2 ϵ ) ⊆ R U_{(0,1)} \cong (\frac{\pi}{2}-\epsilon, \frac{\pi}{2}\epsilon) \subseteq \mathbb{R} U(0,1)≅(2π−ϵ,2πϵ)⊆R。同胚的好处就在于我们可以将定义在弯曲图形单位圆 M M M 上某点不知如何求导的函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 拉回到了一个定义在平直的开区间上可以求导的一元函数 f ( θ ) f(\theta) f(θ)。那么我们可以将这个思路进行简单推广。
也即先找到在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处的单位圆 M M M 中的开邻域 U ( x 0 , y 0 ) U_{(x_0,y_0)} U(x0,y0)然后继续找到从 U ( x 0 , y 0 ) U_{(x_0,y_0)} U(x0,y0) 到 R \mathbb{R} R 中一开集的同胚映射 ψ : U ( x 0 , y 0 ) → ψ ( U ( x 0 , y 0 ) ) \psi: U_{(x_0,y_0)} \rightarrow \psi(U_{(x_0,y_0)}) ψ:U(x0,y0)→ψ(U(x0,y0))则 f ∘ ψ − 1 : ψ ( U ( x 0 , y 0 ) ) → R f \circ \psi^{-1}: \; \psi(U_{(x_0,y_0)})\rightarrow \mathbb{R} f∘ψ−1:ψ(U(x0,y0))→R 成为定义在 R \mathbb{R} R 中开集 ψ ( U ( x 0 , y 0 ) ) \psi(U_{(x_0,y_0)}) ψ(U(x0,y0)) 上的函数自然能够讨论微分了。我们取 ψ ϕ − 1 \psi\phi^{-1} ψϕ−1 ( x 0 , y 0 ) ( 0 , 1 ) (x_0,y_0)(0,1) (x0,y0)(0,1) 则 f ∘ ψ − 1 ( θ ) ∣ sin ( θ ) cos ( θ ) ∣ f\circ \psi^{-1}(\theta) |\sin(\theta)\cos(\theta)| f∘ψ−1(θ)∣sin(θ)cos(θ)∣。其中函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 与 f ∘ ψ − 1 ( θ ) f\circ \psi^{-1}(\theta) f∘ψ−1(θ) 在各自相应的邻域内虽具有相同的值域但不是相同的函数因为两者的定义域不同故不能将 f ∘ ψ − 1 ( θ ) f\circ \psi^{-1}(\theta) f∘ψ−1(θ) 的导数当做就是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 的相应方向导数。
基于此我们可以正确地对 f f f 来求在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 处沿 M M M 的方向导数 ∂ f ( x , y ) ∂ M ∣ ( x 0 , y 0 ) lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) l ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ⌢ lim θ → θ 0 f ∘ ψ − 1 ( θ ) − f ∘ ψ − 1 ( θ 0 ) l ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ⌢ ( θ ) \begin{align} \frac{\partial f(x,y)}{\partial M} \bigg|_{(x_0,y_0)} \lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{l_{\overset{\frown}{(x,\;\;\;y) (x_0,y_0)}}} \\ \lim_{\theta \rightarrow \theta_0} \frac{f \circ\psi^{-1}(\theta)-f\circ\psi^{-1}(\theta_0)}{l_{\overset{\frown}{(x,\;\;\; y) (x_0,y_0)}}(\theta)} \end{align} ∂M∂f(x,y) (x0,y0)(x,y)→(x0,y0)liml(x,y)(x0,y0)⌢f(x,y)−f(x0,y0)θ→θ0liml(x,y)(x0,y0)⌢(θ)f∘ψ−1(θ)−f∘ψ−1(θ0) 结合上面的所有讨论我们可以给出流形的定义。
定义 设 ( M , M ) (M, \mathscr{M}) (M,M) 是一个 Hausdorff 拓扑空间若 M M M 的每一个点 p p p 都有一个邻域 U ⊆ M U \subseteq M U⊆M 以及映射 ϕ : U → ϕ ( U ) \phi: U \rightarrow \phi(U) ϕ:U→ϕ(U)使得 ϕ \phi ϕ 是从开集 U U U 到 ϕ ( U ) ⊆ R n \phi(U)\subseteq \mathbb{R}^n ϕ(U)⊆Rn 的同胚则称 ( M , M ) (M, \mathscr{M}) (M,M)或 M M M是一个 n n n 维拓扑流形。
拓扑流形实际上是在每一个局部都跟 R n \mathbb{R}^n Rn 的一个开子集是同胚的。或者说拓扑流形是将 R n \mathbb{R}^n Rn 中不同的碎块部分连续拼接之后得到的结果。因此在每一个局部拓扑流形都可以建立相应的 n n n 维局部坐标系。
我们称 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 为流形 M M M 的坐标卡将 ϕ ( p ) \phi(p) ϕ(p) 称为点 p ∈ U p\in U p∈U 的坐标。拓扑流形并没有规定微分结构如果要考虑该结构我们先从外部函数 f : M → R f:M\rightarrow \mathbb{R} f:M→R 来看结合前文就应该要求 f ∘ ϕ − 1 f\circ \phi^{-1} f∘ϕ−1 可微若还有坐标卡 ( V , ψ ) (V, \psi) (V,ψ)同样也要要求 f ∘ ψ − 1 f\circ \psi^{-1} f∘ψ−1 可微问题的关键就在于两者定义域的公共部分 U ∩ V U \cap V U∩V如何保证 f ∘ ϕ − 1 f\circ \phi^{-1} f∘ϕ−1 和 f ∘ ψ − 1 f\circ \psi^{-1} f∘ψ−1 都在 U ∩ V U \cap V U∩V 上可微呢 做法是这样的 f ∘ ψ − 1 f ∘ ϕ − 1 ∘ ϕ ∘ ψ − 1 f\circ \psi^{-1} f\circ\phi^{-1} \circ\ \phi \circ \psi^{-1} f∘ψ−1f∘ϕ−1∘ ϕ∘ψ−1 由 f ∘ ϕ − 1 f\circ\phi^{-1} f∘ϕ−1 可微只需要保证 ϕ ∘ ψ − 1 \phi \circ \psi^{-1} ϕ∘ψ−1 可微就能说明 f ∘ ψ − 1 f\circ \psi^{-1} f∘ψ−1 可微。实际上 ϕ ∘ ψ − 1 : ψ ( U ∩ V ) → ϕ ( U ∩ V ) \phi \circ \psi^{-1}: \psi(U\cap V) \rightarrow \phi(U\cap V) ϕ∘ψ−1:ψ(U∩V)→ϕ(U∩V) 是 R n \mathbb{R}^n Rn 中的开集到 R n \mathbb{R}^n Rn 中的开集的向量值函数其可微性是数学分析里面所讨论过的熟悉对象。至此我们可以给出微分流形的定义首先给出 C r C^r Cr 相关的概念。
我们知道向量值函数 ϕ ∘ ψ − 1 ( x ) \phi \circ \psi^{-1}(x) ϕ∘ψ−1(x) 的可微性归结为每个分量函数 ( ϕ ∘ ψ − 1 ) i ( x ) (\phi \circ \psi^{-1})^i(x) (ϕ∘ψ−1)i(x) 的可微性。若 ( ϕ ∘ ψ − 1 ) i ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (\phi \circ \psi^{-1})^i(x_1, x_2, \cdots, x_n) (ϕ∘ψ−1)i(x1,x2,⋯,xn) 有连续的 r r r 阶 r ≥ 1 r\geq 1 r≥1偏导数则称 ϕ ∘ ψ − 1 \phi \circ \psi^{-1} ϕ∘ψ−1 是 C r C^r Cr 的这里 1 ≤ i ≤ n 1\leq i \leq n 1≤i≤n且 r r r 阶偏导是指所有可能的 r r r 阶偏导。若 ( ϕ ∘ ψ − 1 ) i ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (\phi \circ \psi^{-1})^i(x_1, x_2, \cdots, x_n) (ϕ∘ψ−1)i(x1,x2,⋯,xn) 有连续的任意次偏导则称 ϕ ∘ ψ − 1 \phi \circ \psi^{-1} ϕ∘ψ−1 是光滑的或 C ∞ C^\infty C∞ 的。若 ( ϕ ∘ ψ − 1 ) i ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) (\phi \circ \psi^{-1})^i(x_1, x_2, \cdots, x_n) (ϕ∘ψ−1)i(x1,x2,⋯,xn) 在每一点的邻域内都能展开成收敛的幂级数则称 ϕ ∘ ψ − 1 \phi \circ \psi^{-1} ϕ∘ψ−1 是实解析的或称为 C ω C^{\omega} Cω 的。
进一步若用 C n \mathbb{C}^n Cn 替换 R n \mathbb{R}^n Rn并要求 ( ϕ ∘ ψ − 1 ) i ( z 1 , z 2 , ⋯ , z n ) (\phi \circ \psi^{-1})^i(z_1, z_2, \cdots, z_n) (ϕ∘ψ−1)i(z1,z2,⋯,zn) 在每一点的充分小的圆盘内能展开成收敛的幂级数实际上就是在其特定的定义域内复解析或全纯则称 ϕ ∘ ψ − 1 \phi \circ \psi^{-1} ϕ∘ψ−1 是复解析的或称为 C ω C^{\omega} Cω 的。
定义 设 M M M 是一个拓扑流形 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 和 ( V , ψ ) (V, \psi) (V,ψ) 是它的两个坐标卡。若当 U ∩ V ≠ ∅ U \cap V \neq \varnothing U∩V∅ 时 ϕ ∘ ψ − 1 \phi \circ \psi^{-1} ϕ∘ψ−1 和 ψ ∘ ϕ − 1 \psi \circ \phi^{-1} ψ∘ϕ−1 都是 C r C^r Cr 的其中 r r r 是正整数或 ∞ \infty ∞或 ω \omega ω则称坐标卡 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 和 ( V , ψ ) (V, \psi) (V,ψ) 是 C r C^r Cr 相关的。
注意当 U ∩ V ∅ U \cap V \varnothing U∩V∅ 时规定 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 和 ( V , ψ ) (V, \psi) (V,ψ) 对于任何取值的 r r r 都是 C r C^r Cr 相关的。接下来我们给出微分结构的定义。
定义 设 M M M 是一个拓扑流形假定 A { ( U α , ϕ α ) : α ∈ I } \mathscr{A}\{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) : \alpha \in I \} A{(Uα,ϕα):α∈I} 是 M M M 的坐标卡之集且满足下面的条件 { U α : α ∈ I } \{ U_{\alpha} : \alpha \in I \} {Uα:α∈I} 构成流形 M M M 的一个开覆盖属于 A \mathscr{A} A 的任意两个坐标卡都是 C r C^r Cr 相关的 A \mathscr{A} A 是 C r C^r Cr 极大的就是若 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 是 M M M 的一个坐标卡且 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 与 A \mathscr{A} A 中每一个元素都是 C r C^r Cr 相关的则 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 必属于 A \mathscr{A} A
则称坐标卡集 A \mathscr{A} A 为流形 M M M 上的一个 C r C^r Cr 微分结构。当 r ∞ r\infty r∞ 时 A \mathscr{A} A 称为 M M M 上的一个光滑结构当 r ω r\omega rω 时 A \mathscr{A} A 称为 M M M 上的一个解析结构当 r 0 r0 r0 时 A \mathscr{A} A 恰为拓扑流形 M M M 上的坐标卡之全体或称为连续结构当 r ≥ 1 r\geq 1 r≥1 时 M M M 上的 C r C^r Cr 微分结构 A \mathscr{A} A 只能是 M M M 上的坐标卡集的一个子集。
实际上我们可以通过上述定义中的条件 1 和条件 2 推出 条件 3也就是说条件 3 是多余的。思路就是找到 M M M 上的一组坐标卡 { ( U α , ϕ α ) : α ∈ I } \{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) : \alpha \in I \} {(Uα,ϕα):α∈I}使得 { U α : α ∈ I } \{ U_{\alpha} : \alpha \in I \} {Uα:α∈I} 构成 M M M 的开覆盖并且这组坐标卡是 C r C^r Cr 相关的则在 M M M 上唯一确定了包含 { ( U α , ϕ α ) : α ∈ I } \{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) : \alpha \in I \} {(Uα,ϕα):α∈I} 在内的 C r C^r Cr 微分结构。证明细节留给读者完成。加上条件 3 也是为了强调 C r C^r Cr 微分结构的这一重要特征。
定义 设 M M M 是一个 n n n 维拓扑流形若在 M M M 上指定了一个 C r C^r Cr 微分结构 A \mathscr{A} A则称 ( M , A ) (M, \mathscr{A}) (M,A) 为一个 n n n 维 C r C^r Cr 微分流形。属于 A \mathscr{A} A 的坐标卡 ( U , ϕ ) (U, \phi) (U,ϕ) 称为该微分流形的容许坐标卡。
当 r k rk rk 时就得到一个 C k C^k Ck 流形当 r ∞ r\infty r∞ 时得到一个光滑流形当 r ω r\omega rω 时得到一个解析流形根据背景空间是 R n \mathbb{R}^n Rn 或者 C n \mathbb{C}^n Cn 的不同分别叫做实解析流形和复解析流形复流形。
根据 C r C^r Cr 相关性我们知道定义在 C r C^r Cr 流形上的函数 f f f 的可微性是与容许坐标卡的选取无关的。这显然由该式可知 f ∘ ψ − 1 f ∘ ϕ − 1 ∘ ϕ ∘ ψ − 1 f\circ \psi^{-1} f\circ\phi^{-1} \circ\ \phi \circ \psi^{-1} f∘ψ−1f∘ϕ−1∘ ϕ∘ψ−1 f ∘ ψ − 1 f\circ \psi^{-1} f∘ψ−1 与 f ∘ ϕ − 1 f\circ\phi^{-1} f∘ϕ−1 具有相同的 C r C^r Cr 微分性质。下面我们来列举微分流形的一些例子。
例如 R n \mathbb{R}^n Rn 是一个 n n n 维光滑流形。只需取 U R n U\mathbb{R}^n URn ϕ : U → R n \phi: U\rightarrow \mathbb{R}^n ϕ:U→Rn 为恒等映射则 R n \mathbb{R}^n Rn 上由 { ( U , ϕ ) } \{ (U, \phi) \} {(U,ϕ)} 生成的光滑结构称为 R n \mathbb{R}^n Rn 的标准光滑结构。
在 R \mathbb{R} R 上我们来定义两个微分结构首先有 ( R , ϕ ) (\mathbb{R}, \phi) (R,ϕ)其中 ϕ \phi ϕ 是恒等函数该坐标卡生成 R \mathbb{R} R 的标准光滑结构 A 1 \mathscr{A}_1 A1。另取 ( R , ψ ) (\mathbb{R}, \psi) (R,ψ)其中同胚 ψ \psi ψ 定义为 ψ ( x ) x 3 \psi(x)x^3 ψ(x)x3该坐标卡生成 R \mathbb{R} R 的标准光滑结构 A 2 \mathscr{A}_2 A2。易知这两个坐标卡是不相容的是因为 ϕ ∘ ψ − 1 ( x ) x 3 \phi \circ \psi^{-1}(x)\sqrt[3]{x} ϕ∘ψ−1(x)3x 在 x 0 x0 x0 处是不可导的因此不是 C ∞ C^{\infty} C∞ 相容的是两个不同的 C r C^r Cr 结构。
比如 n n n 维球面 S n { x ∈ R n 1 ∣ ∣ x ∣ 1 } S^n \{ x\in \mathbb{R}^{n1} | |x|1 \} Sn{x∈Rn1∣∣x∣1} 是一个 n n n 维光滑流形。考虑 S n S^n Sn 继承自欧式空间 R n 1 \mathbb{R}^{n1} Rn1 的子拓扑则相容性考虑球极投影。
取 P ( 0 , 0 , ⋯ , 1 ) P(0,0,\cdots, 1) P(0,0,⋯,1) Q ( 0 , 0 , ⋯ , − 1 ) Q(0,0,\cdots,-1) Q(0,0,⋯,−1) 是北极和南极点 U S n − P US^n - {P} USn−P V S n − Q VS^n-Q VSn−Q任取 x ∈ U x\in U x∈U球极投影是连接 x x x 和 P P P 的直线与 y n 1 0 y_{n1}0 yn10 平面相交的位置。可取投影 ϕ : U → R n { y ∈ R n 1 ∣ y n 1 0 } \phi: U\rightarrow \mathbb{R}^n\{ y\in \mathbb{R}^{n1} | \; y_{n1}0\} ϕ:U→Rn{y∈Rn1∣yn10} ϕ ( x ) λ x ( 1 − λ ) P \phi(x)\lambda x(1-\lambda)P ϕ(x)λx(1−λ)P 满足 0 y n 1 λ x n 1 ( 1 − λ ) P n 1 0y_{n1}\lambda x_{n1}(1-\lambda)P_{n1} 0yn1λxn1(1−λ)Pn1得到 λ x n 1 ( 1 − λ ) 0 \lambda x_{n1}(1-\lambda)0 λxn1(1−λ)0故 λ 1 1 − x n 1 \lambda\frac{1}{1-x_{n1}} λ1−xn11从而球极投影为 ϕ ( x ) x 1 − x n 1 − x n 1 1 − x n 1 P \phi(x)\frac{x}{1-x_{n1}}-\frac{x_{n1}}{1-x_{n1}}P ϕ(x)1−xn1x−1−xn1xn1P 反之求 ψ : V → R n \psi: V\rightarrow \mathbb{R}^n ψ:V→Rn 也可类似作出。考虑球极投影 ψ ( x ) λ x ( 1 − λ ) Q \psi(x) \lambda x (1-\lambda)Q ψ(x)λx(1−λ)Q 由 0 y n 1 λ x n 1 ( 1 − λ ) Q n 1 0y_{n1}\lambda x_{n1}(1-\lambda)Q_{n1} 0yn1λxn1(1−λ)Qn1 得 λ 1 1 x n 1 \lambda\frac{1}{1x_{n1}} λ1xn11故有 ψ ( x ) x 1 x n 1 x n 1 1 x n 1 Q \psi(x)\frac{x}{1x_{n1}}\frac{x_{n1}}{1x_{n1}}Q ψ(x)1xn1x1xn1xn1Q 显然 ϕ : U → R n \phi:U\rightarrow \mathbb{R}^n ϕ:U→Rn 和 ψ : V → R n \psi:V\rightarrow \mathbb{R}^n ψ:V→Rn 既单且满同时连续。
再考虑逆映射 ϕ − 1 ( y ) : R n → U \phi^{-1}(y): \mathbb{R}^n \rightarrow U ϕ−1(y):Rn→U显然连接 P P P 和平面 y n 1 0 y_{n1}0 yn10 上点 y y y 的直线会穿过球面的一点 x x x故有 ∣ λ P ( 1 − λ ) y ∣ 2 1 |\lambda P(1-\lambda)y|^21 ∣λP(1−λ)y∣21化简得 ( 1 − λ ) 2 ∑ i 1 n y i 2 λ 2 1 (1-\lambda)^2 \sum_{i1}^{n} y_i^2 \lambda^21 (1−λ)2i1∑nyi2λ21 解得 λ ∑ i 1 n y i 2 − 1 1 ∑ i 1 n y i 2 \lambda\frac{\sum_{i1}^{n} y_i^2-1}{1\sum_{i1}^{n} y_i^2} λ1∑i1nyi2∑i1nyi2−1故 ϕ − 1 ( y ) λ P ( 1 − λ ) y 2 1 ∑ i 1 n y i 2 y ∑ i 1 n y i 2 − 1 1 ∑ i 1 n y i 2 P \phi^{-1}(y)\lambda P(1-\lambda)y\frac{2}{1\sum^{n}_{i1}y_i^2}y\frac{\sum_{i1}^{n} y_i^2-1}{1\sum_{i1}^{n} y_i^2}P ϕ−1(y)λP(1−λ)y1∑i1nyi22y1∑i1nyi2∑i1nyi2−1P 同理可得 ψ − 1 ( y ) : R n → V \psi^{-1}(y): \mathbb{R}^n \rightarrow V ψ−1(y):Rn→V ψ − 1 ( y ) λ Q ( 1 − λ ) y 2 1 ∑ i 1 n y i 2 y ∑ i 1 n y i 2 − 1 1 ∑ i 1 n y i 2 Q \psi^{-1}(y)\lambda Q(1-\lambda)y\frac{2}{1\sum^{n}_{i1}y_i^2}y\frac{\sum_{i1}^{n} y_i^2-1}{1\sum_{i1}^{n} y_i^2}Q ψ−1(y)λQ(1−λ)y1∑i1nyi22y1∑i1nyi2∑i1nyi2−1Q 因此 ϕ − 1 \phi^{-1} ϕ−1 和 ψ − 1 \psi^{-1} ψ−1 连续故 ϕ \phi ϕ 和 ψ \psi ψ 系同胚 S n S^n Sn 为拓扑流形。
由于 ϕ ∘ ψ − 1 ( y ) ϕ ∘ ψ − 1 ∘ ψ ( x ) ϕ ( x ) \phi\circ \psi^{-1}(y)\phi\circ \psi^{-1}\circ \psi(x)\phi(x) ϕ∘ψ−1(y)ϕ∘ψ−1∘ψ(x)ϕ(x) y ψ ( x ) y\psi(x) yψ(x)因此复合映射 ϕ ∘ ψ − 1 ( y ) \phi\circ \psi^{-1}(y) ϕ∘ψ−1(y) 将 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 映射为 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)。
我们记 ∑ i 1 n y i 2 ∣ y ∣ 2 \sum^{n}_{i1}y_i^2|y|^2 ∑i1nyi2∣y∣2结合上面计算得到的 x n 1 1 − ∣ y ∣ 2 1 ∣ y ∣ 2 x_{n1}\frac{1-|y|^2}{1|y|^2} xn11∣y∣21−∣y∣2代入 ϕ ∘ ψ − 1 ( y ) \phi\circ \psi^{-1}(y) ϕ∘ψ−1(y) 得 ϕ ∘ ψ − 1 ( y ) ( 2 1 ∣ y ∣ 2 y ∣ y ∣ 2 − 1 1 ∣ y ∣ 2 Q ) 1 ∣ y ∣ 2 2 ∣ y ∣ 2 − 1 − ∣ y ∣ 2 2 ∣ y ∣ 2 P y ∣ y ∣ 2 ∣ y ∣ 2 − 1 2 ∣ y ∣ 2 Q − 1 − ∣ y ∣ 2 2 ∣ y ∣ 2 P y ∣ y ∣ 2 \begin{align} \phi\circ \psi^{-1}(y) \\ \left(\frac{2}{1|y|^2}y\frac{|y|^2-1}{1|y|^2}Q \right)\frac{1|y|^2}{2|y|^2} - \frac{1-|y|^2}{2|y|^2}P \\ \frac{y}{|y|^2}\frac{|y|^2-1}{2|y|^2}Q-\frac{1-|y|^2}{2|y|^2}P \\ \frac{y}{|y|^2} \end{align} ϕ∘ψ−1(y)(1∣y∣22y1∣y∣2∣y∣2−1Q)2∣y∣21∣y∣2−2∣y∣21−∣y∣2P∣y∣2y2∣y∣2∣y∣2−1Q−2∣y∣21−∣y∣2P∣y∣2y 因此易得 ϕ ∘ ψ − 1 : ψ ( U ∩ V ) R n \ { 0 } → ϕ ( U ∩ V ) R n \ { 0 } \phi \circ \psi^{-1}: \psi(U\cap V)\mathbb{R}^n \backslash \{\bold{0}\} \rightarrow \phi(U\cap V)\mathbb{R}^n \backslash \{\bold{0}\} ϕ∘ψ−1:ψ(U∩V)Rn\{0}→ϕ(U∩V)Rn\{0} 是一个光滑映射。同理易得此时 x n 1 ∣ y ∣ 2 − 1 1 ∣ y ∣ 2 x_{n1}\frac{|y|^2-1}{1|y|^2} xn11∣y∣2∣y∣2−1 ψ ∘ ϕ − 1 ( y ) 2 y ( ∣ y ∣ 2 − 1 ) P 2 ∣ y ∣ 2 ∣ y ∣ 2 − 1 2 ∣ y ∣ 2 Q y ∣ y ∣ 2 \begin{align} \psi \circ \phi^{-1}(y) \\ \frac{2y(|y|^2-1)P}{2|y|^2} \frac{|y|^2-1}{2|y|^2}Q \\ \frac{y}{|y|^2} \end{align} ψ∘ϕ−1(y)2∣y∣22y(∣y∣2−1)P2∣y∣2∣y∣2−1Q∣y∣2y 显然 ψ ∘ ϕ − 1 \psi \circ \phi^{-1} ψ∘ϕ−1 也是一个光滑映射因此 A { ( U , ϕ ) , ( V , ψ ) } \mathscr{A}\{ (U,\phi), (V, \psi) \} A{(U,ϕ),(V,ψ)} 是 C ∞ C^{\infty} C∞ 相容的确定了 S n S^n Sn 上的一个 C ∞ C^{\infty} C∞ 微分结构故球面 S n S^{n} Sn 是光滑流形。
另一个不能绕开的例子则是 n n n 维实射影空间 R P n RP^n RPn。实射影空间是 R n 1 \mathbb{R}^{n1} Rn1 中过原点的一切直线之集也可以说是 R n 1 \mathbb{R}^{n1} Rn1 中全体一维线性子空间组成的集合。
在 R n 1 \ { 0 } \mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} Rn1\{0} 中记 x ∼ y x \sim y x∼y 为存在非零实数 λ \lambda λ使得 x λ y x \lambda y xλy则 R P n R n 1 \ { 0 } / ∼ RP^n\mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} / \sim RPnRn1\{0}/∼即实射影空间是等价关系 ∼ \sim ∼ 下的等价类之集。
令 π : R n 1 \ { 0 } → R P n \pi:\mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} \rightarrow RP^n π:Rn1\{0}→RPn 为投影即 π ( u ) [ u ] \pi(u)[u] π(u)[u]将非零向量 u u u 投影为 u u u 所张成的一维线性子空间直线。我们在 R P n RP^n RPn 中可取商拓扑即 U U U 是 R P n RP^n RPn 中的开子集当且仅当其完全逆像 π − 1 ( U ) \pi^{-1}(U) π−1(U) 是 R n 1 \ { 0 } \mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} Rn1\{0} 中的开子集。
如果在 S n S^n Sn 中取两个单位向量 x , y x, \; y x,y规定 x ∼ y x\sim y x∼y 当且仅当 x ± y x\pm y x±y从而 R P n S n / ∼ RP^nS^n/\sim RPnSn/∼这也是一个常见的形式。
我们来说明 R P n RP^n RPn 是一个 Hausdorff 空间。任取 u , v ∈ R n 1 \ { 0 } u, v \in \mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} u,v∈Rn1\{0} 满足 u ≁ v u\nsim v u≁v即 u , v u, \; v u,v 不在同一条过原点的直线上显然 u ≠ v u \neq v uv。则存在 R n 1 \ { 0 } \mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} Rn1\{0} 中的两个开球 U , V U, \; V U,V 使得 u ∈ U u\in U u∈U v ∈ V v \in V v∈V 为两球的球心且 U ∩ V ∅ U \cap V \varnothing U∩V∅。因为 u , v u, \; v u,v 与原点的两根连线不重合故当 U , V U, \; V U,V 的半径充分小时始点在原点且终点取自于 U U U 的任何向量与始点在原点且终点取自于 V V V 的任意向量是始终没有重合的这意味着 ∀ p 1 ∈ U \forall p_1 \in U ∀p1∈U ∀ p 2 ∈ V \forall p_2 \in V ∀p2∈V都有 p 1 ≁ p 2 p_1 \nsim p_2 p1≁p2。故得 R P n RP^n RPn 的两个子集 π ( U ) ∩ π ( V ) ∅ \pi(U)\cap \pi(V)\varnothing π(U)∩π(V)∅。下面说明这两个子集是开集。
我们知道 U , V U, \; V U,V 是 R n 1 \ { 0 } \mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} Rn1\{0} 中的两个开球而 π − 1 ( π ( U ) ) ⊇ U \pi^{-1}(\pi(U)) \supseteq U π−1(π(U))⊇U。事实上 π − 1 ( π ( U ) ) \pi^{-1}(\pi(U)) π−1(π(U)) 为由过原点的一族直线所包围的 n 1 n1 n1 维开圆锥不含边界和原点部分。如下图所示画图比较简陋实属不会画图 显然 π − 1 ( π ( U ) ) \pi^{-1}(\pi(U)) π−1(π(U)) 是 R n 1 \ { 0 } \mathbb{R}^{n1}\backslash \{ \bold{0} \} Rn1\{0} 中的开集。因此由投影定义我们得到 π ( U ) \pi(U) π(U) 是射影空间 R P n RP^n RPn 的开集。同理 π ( V ) \pi(V) π(V) 也是开集所以实射影空间是 Hausdorff 空间。
设 U i { [ x ] [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n 1 ] ∈ R P n ∣ x i ≠ 0 } U_i\{ [x][x_1,x_2,\cdots,x_{n1}] \in RP^n \;| \;\; x_i \neq 0 \} Ui{[x][x1,x2,⋯,xn1]∈RPn∣xi0} 是 R P n RP^n RPn 中的一个开集定义 ϕ i : U i → R n \phi_i: U_i \rightarrow \mathbb{R}^n ϕi:Ui→Rn 为 ϕ i [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n 1 ] ( x 1 / x i , ⋯ , x i − 1 / x i , x i 1 / x i , ⋯ , x n 1 / x i ) \phi_i[x_1,x_2,\cdots, x_{n1}](x_1/x_i, \cdots, x_{i-1}/x_i,x_{i1}/x_i, \cdots, x_{n1}/x_i) ϕi[x1,x2,⋯,xn1](x1/xi,⋯,xi−1/xi,xi1/xi,⋯,xn1/xi) 该定义是没有歧义的如果是 [ λ x 1 , λ x 2 , ⋯ , λ x n 1 ] [\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots, \lambda x_{n1}] [λx1,λx2,⋯,λxn1] 则仍然有 ϕ i [ λ x 1 , λ x 2 , ⋯ , λ x n 1 ] ϕ i [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n 1 ] \phi_i[\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots, \lambda x_{n1}]\phi_i[x_1,x_2,\cdots, x_{n1}] ϕi[λx1,λx2,⋯,λxn1]ϕi[x1,x2,⋯,xn1]。
显然 ϕ i \phi_i ϕi 有逆映射对 ϕ i [ x 1 , x 2 , ⋯ , x n 1 ] \phi_i[x_1,x_2,\cdots, x_{n1}] ϕi[x1,x2,⋯,xn1] 式子取 x i 1 x_i1 xi1 可得 ϕ i − 1 ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) [ y 1 , y 2 , ⋯ , y i − 1 , 1 , y i , ⋯ , y n ] \phi_i^{-1}(y_1,y_2,\cdots, y_n)[y_1,y_2,\cdots, y_{i-1},1,y_{i},\cdots,y_n] ϕi−1(y1,y2,⋯,yn)[y1,y2,⋯,yi−1,1,yi,⋯,yn] 可以验证 ϕ i \phi_i ϕi 是从 U i U_i Ui 到 R n \mathbb{R}^n Rn 的同胚证明待补充…。 A { ( U i , ϕ i ) ∣ 1 ≤ i ≤ n 1 } \mathscr{A}\{ (U_i, \phi_i) |\; 1\leq i \leq n1 \} A{(Ui,ϕi)∣1≤i≤n1} 是 R P n RP^n RPn 的坐标卡之集从而 R P n RP^n RPn 是一个拓扑流形。 对于 i j ij ij 考虑 ϕ j ∘ ϕ i − 1 ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ( y 1 / y j , ⋯ , 1 / y j , ⋯ , y j − 1 / y j , y j 1 / y j , ⋯ , y n / y j ) \begin{align} \phi_j \circ \phi_i^{-1}(y_1,y_2,\cdots,y_n) \\ (y_1/y_j,\cdots,1/y_j,\cdots,y_{j-1}/y_j,y_{j1}/y_j,\cdots,y_n/y_j) \end{align} ϕj∘ϕi−1(y1,y2,⋯,yn)(y1/yj,⋯,1/yj,⋯,yj−1/yj,yj1/yj,⋯,yn/yj) 上述映射在 ϕ i ( U i ∩ U j ) \phi_i(U_i \cap U_j) ϕi(Ui∩Uj) 上显然是 C ∞ C^{\infty} C∞ 的坐标卡集 A \mathscr{A} A 决定了 R P n RP^n RPn 上的光滑结构故 R P n RP^n RPn 为光滑流形。
本节完。
