wap网站发布,洛阳建站优化教程,厦门人才网官网登录,重庆网站建设 最便宜泊松分布 (Poisson Distribution)
泊松分布是概率论中的一个重要离散分布#xff0c;描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数#xff0c;假设事件是独立的且平均发生率是已知的。 定义
泊松分布的概率质量函数 (PMF) 为#xff1a; P ( X k ) λ k e − λ k ! , …泊松分布 (Poisson Distribution)
泊松分布是概率论中的一个重要离散分布描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数假设事件是独立的且平均发生率是已知的。 定义
泊松分布的概率质量函数 (PMF) 为 P ( X k ) λ k e − λ k ! , k 0 , 1 , 2 , … P(X k) \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k 0, 1, 2, \ldots P(Xk)k!λke−λ,k0,1,2,… X X X随机变量表示单位时间或单位空间内事件发生的次数。 k k k事件发生的具体次数非负整数。 λ \lambda λ事件发生的平均次数泊松分布的参数。 e e e自然对数的底数约等于 2.718 2.718 2.718。 性质 期望和方差 E [ X ] λ , V a r ( X ) λ \mathbb{E}[X] \lambda, \quad \mathrm{Var}(X) \lambda E[X]λ,Var(X)λ 泊松分布的期望值和方差均等于参数 (\lambda)。 稀疏事件建模泊松分布常用于建模稀疏事件事件发生概率低但可能次数多。 无上界性虽然泊松分布是离散分布但事件发生次数 (k) 没有上限但概率会迅速趋近于 0。 加法性若 X 1 ∼ Poisson ( λ 1 ) X_1 \sim \text{Poisson}(\lambda_1) X1∼Poisson(λ1) X 2 ∼ Poisson ( λ 2 ) X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_2) X2∼Poisson(λ2)且 X 1 X_1 X1和 X 2 X_2 X2 独立则 X 1 X 2 ∼ Poisson ( λ 1 λ 2 ) X_1 X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 \lambda_2) X1X2∼Poisson(λ1λ2) 适用条件
独立性单位时间/空间内事件的发生是独立的。均匀性事件发生的平均速率 (\lambda) 是固定的。单事件性在极小的时间间隔内只能发生一次事件。 例子
例子 1客户到达速率
某银行的客户到达速率为每分钟 2 2 2人 ( λ 2 (\lambda 2 (λ2)。假设客户到达服从泊松分布 问题一分钟内没有客户到达的概率是多少 解答 P ( X 0 ) λ 0 e − λ 0 ! 2 0 e − 2 1 e − 2 ≈ 0.1353 P(X 0) \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} \frac{2^0 e^{-2}}{1} e^{-2} \approx 0.1353 P(X0)0!λ0e−λ120e−2e−2≈0.1353 结果一分钟内没有客户到达的概率约为 (13.53%)。 例子 2网页访问量
某网站的访问量平均每小时为 10 10 10 次 ( λ 10 (\lambda 10 (λ10)。假设访问次数服从泊松分布 问题一小时内正好有 (15) 次访问的概率是多少 解答 P ( X 15 ) λ 15 e − λ 15 ! 1 0 15 e − 10 15 ! P(X 15) \frac{\lambda^{15} e^{-\lambda}}{15!} \frac{10^{15} e^{-10}}{15!} P(X15)15!λ15e−λ15!1015e−10 使用计算工具计算得 P ( X 15 ) ≈ 0.0347 P(X 15) \approx 0.0347 P(X15)≈0.0347 结果一小时内正好有 15 15 15 次访问的概率约为 3.47 % 3.47\% 3.47%。 例子 3电话呼叫
某呼叫中心每小时接到的呼叫数平均为 6 6 6 次 l a m b d a 6 lambda 6 lambda6。假设呼叫次数服从泊松分布 问题一小时内接到超过 8 8 8 次呼叫的概率是多少 解答 P ( X 8 ) 1 − P ( X ≤ 8 ) 1 − ∑ k 0 8 P ( X k ) P(X 8) 1 - P(X \leq 8) 1 - \sum_{k0}^8 P(X k) P(X8)1−P(X≤8)1−∑k08P(Xk) 逐项计算 P ( X k ) P(X k) P(Xk)或直接使用计算工具得 P ( X 8 ) ≈ 0.194 P(X 8) \approx 0.194 P(X8)≈0.194 结果一小时内接到超过 8 8 8 次呼叫的概率约为 19.4 % 19.4\% 19.4%。 泊松分布与其他分布的关系 与二项分布的关系 当二项分布的试验次数 n n n 很大单次成功概率 p p p 很小且 n p λ np \lambda npλ 为常数时二项分布可近似为泊松分布 P ( X k ) ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! P(X k) \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} P(Xk)(kn)pk(1−p)n−k≈k!λke−λ 与指数分布的关系 泊松过程中的事件间隔时间服从指数分布。如果事件发生的速率为 l a m b d a lambda lambda则事件间隔时间 T T T 的概率密度函数为 f T ( t ) λ e − λ t , t ≥ 0 f_T(t) \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0 fT(t)λe−λt,t≥0 总结
泊松分布在实际生活中应用广泛包括
客户到达次数事故发生次数电话呼叫数量射线探测计数
它适合描述独立稀疏事件的发生次数是统计学、工程学、管理科学等领域的重要工具。
