哪里建设网站比较好,wordpress插件团购,门户网站开发费怎做账,本地旅游网站模版本文总结线性方程组求解的相关算法#xff0c;特别是共轭梯度法的原理及流程。 零、预修
0.1 LU分解
设#xff0c;若对于#xff0c;均有#xff0c;则存在下三角矩阵和上三角矩阵#xff0c;使得。
设#xff0c;若对于#xff0c;均有#xff0c;则存在唯一的下三…本文总结线性方程组求解的相关算法特别是共轭梯度法的原理及流程。 零、预修
0.1 LU分解
设若对于均有则存在下三角矩阵和上三角矩阵使得。
设若对于均有则存在唯一的下三角矩阵和上三角矩阵使得并且。
0.2 Cholesky分解
若对称正定则存在一个对角元均为正数的下三角矩阵使得。
一、 总论迭代法求解线性方程组的一般思路
对于非奇异矩阵使用迭代法求解线性方程组过程中一般需要以下流程进行
给定一个初始向量构造一个递推公式不断递推使其近似收敛于
下表列出了若干迭代算法的迭代公式。
方法迭代公式备注Jacobi迭代非奇异Gausss-Seidel迭代非奇异SOR迭代非奇异Steepest Descent对称正定Conjugate Gradient对称正定 当时 当时 二、Projection Method
投影法将线性方程组求解问题转换成了最优值求解问题是求解线性方程组的一大类方法。
在投影法中令构造列满秩矩阵与寻找满足Petrov-Galerkin条件即均有。称为搜索空间称为约束空间。若时称为正投影算法否则称为斜投影算法。 三、Krylov Subspace Method
Krylov子空间法本质上也是一种投影法其核心思想是在更小维度的Krylov子空间内寻找满足精度要求的近似解。即令构造了维Krylov子空间使得。
选择不同的就对应不同的Krylov子空间法。 3.1 Steepest Descent Method 3.2 Hestenes-Stiefel Conjugate Gradient Method 3.3 Preconditioned Conjugate Gradient 参考书籍
Golub G H , Loan C F V .Matrix Computations.Johns Hopkins University Press,1996.
Ford W .Numerical Linear Algebra with Applications using MATLAB. 2014.
徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010. 参考文献
Hestenes M R , Stiefel E L .Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear Systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards (United States), 1952.
