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零向量可由任意向量表示。向量组中任一向量可由向量组表示。任意向量均可由向量 ( 1 , 0 , … , 0 ) , ( 0 , 1 , … 0 ) … ( 0 , 0 , … , 1 ) … (1,0,…,0),(0,1,…0)…(0,0,…,1)… (1,0,…,0),(0,1,…0)…(0,0,…,1)…表示。向量组中两向量成比例线性相关。含零向量的向量组必相关。一个零向量必相关一个非零向量必无关。“相关长无关短”原理 1 增长原理判断相关 若 a 1 , a 2 … a n a_1,a_2…a_n a1,a2…an 线性相关则 a 1 , a 2 … a n , a n 1 , … a s a_1,a_2…a_n,a_{n1},…a_s a1,a2…an,an1,…as 也线性相关。 2 截短原理判断无关若 a 1 , a 2 … a n a_1,a_2…a_n a1,a2…an 线性无关则 a 1 , a 2 … a n − s ( 0 s n ) a_1,a_2…a_{n-s} (0sn) a1,a2…an−s(0sn) 也线性无关。 3可据此记忆结论部分相关全体相关全体无关部分无关。等价的线性无关组含向量的个数相同。若 a 1 , a 2 … a s a_1,a_2…a_s a1,a2…as 线性无关则 r ( A ) s r(A)s r(A)s若 a 1 , a 2 … a s a_1,a_2…a_s a1,a2…as 线性相关则 r ( A ) s r(A)s r(A)s。向量空间中零元素和负元素都是唯一的。求向量在某个基中的坐标就是求线性表达式的系数。
易错点
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题型总结
一、求 A x b Axb Axb解的情况
步骤 1写出增广矩阵。 2用行变换将矩阵化为阶梯形不需要化成行最简。 3根据 r ( A ) , r ( A , b ) , n r(A), r(A,b), n r(A),r(A,b),n判断解的情况。 4若为无穷多解化为行简化阶梯形。不管零行非零行的首非零元留在左边其余元素挪到右边得到一般解。出题都是一般无穷多解的情况。有未知量的行列式求解时未知量不能放在分母处可能为零齐次方程一定有解。为了方便齐次方程运算使用系数矩阵不用增广矩阵。
二、判断向量能否由某个向量组线性表示
理论依据一个向量能由某个向量组线性表示的充要条件是向量组组成的矩阵的秩等于向量组和要线性表示的向量一起组成的矩阵的秩。解题步骤 1不用管给的向量是行向量还是列向量均将向量组中的向量按列作为方程组的系数要表示的向量作为右端常数项写出增广阵。 2化增广阵为行阶梯形若 r ( A ) r ( A , b ) r(A)r(A,b) r(A)r(A,b)则可以线性表示。判断两个向量组之间能否线性表示或等价能互相线性表示可扩展此方法将要表示的向量换做要表示的向量组即可。
三、求最大无关组并用其表示其余向量
步骤 1将向量组按列构成矩阵。 2只用行变换化为行最简阶梯形。 3首非零元所在的列的向量就是极大无关组。 4其余向量其所在列的元素为线性表示的对应系数直接对应写出即可。
四、求齐次方程的通解
步骤 1对系数阵用行变换化为行最简形。 2非零行的首非零元的 1 1 1留在左边其余元素挪到右边。得同解方程组。 3令自由未知量取 ( 1 , 0 , … , 0 ) T , ( 0 , 1 , … 0 ) T … ( 0 , 0 , … , 1 ) T … (1,0,…,0)^T,(0,1,…0)^T…(0,0,…,1)^T… (1,0,…,0)T,(0,1,…0)T…(0,0,…,1)T…代入同解方程组得基础解析。 4基础解系乘以对应的实数如 k 1 , k 2 ∈ R k_1,k_2∈R k1,k2∈R之和即为通解。
五、求非其次方程通解
理论依据非其次方程的通解等于非齐次方程的特解加对应的齐次方程的通解。步骤 1写出增广阵只用行变换化为最简形。 2非零行的首非零元的 1 1 1留在左边其余的挪到右边。写出非齐次的同解方程组指出谁是自由未知量不在左边的。 3令自由未知量均取零得 A x 0 Ax0 Ax0的一个特解。 4令同解方程组右边常数项均为零得齐次方程的同解方程组指出谁是自由量。 5令自由量取相应值的得 A x 0 Ax0 Ax0的基础解系。 6非齐次方程的特解加齐次方程的通解即为非齐次方程的通解。
其余题型
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方法心得
根据方程组 A x b Axb Axb 的增广矩阵行阶梯形判断解的情况或秩的情况技巧在行阶梯矩阵下方非零数与零之间画分界线若该线条在解向量与右端向量之间不拐弯一条直线过去则有解 r ( A ) r ( A , b ) r(A)r(A,b) r(A)r(A,b)若拐弯了先竖再横则无解 r ( A ) r ( A , b ) r(A)r(A,b) r(A)r(A,b)。
参考资料 1安徽理工大学数学系. 线性代数第三版修订. 天津天津科学技术出版社, 2019. 2安徽理工大学数学系. 线性代数、概率论与数理统计同步辅导习题第二版. 天津天津科学技术出版社, 2016. 3张天德. 线性代数习题精选精解. 山东山东科学技术出版社, 2009. 4《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师
