学校网站构建,jsp 响应式网站模板,省建设厅网站梁作庆,wordpress 下载文件1 知识点
1.1 要求
为简化计算, 通常用多项式近似表达复杂函数:
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在含有 x 0 x_0 x0 的开区间内具有 ( n 1 ) (n1) (n1) 阶导数, 试找出一个关于 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0) 的 n n n 次多项式 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 近似表达 f…1 知识点
1.1 要求
为简化计算, 通常用多项式近似表达复杂函数:
设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在含有 x 0 x_0 x0 的开区间内具有 ( n 1 ) (n1) (n1) 阶导数, 试找出一个关于 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0) 的 n n n 次多项式 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 近似表达 f ( x ) f(x) f(x);
要求 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 与 f ( x ) f(x) f(x) 之差是比 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^n (x−x0)n 高阶的无穷小, 并给出误差 ∣ f ( x ) − p n ( x ) ∣ |f(x)-p_n(x)| ∣f(x)−pn(x)∣ 的具体表达式. 1.2 泰勒多项式
设 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 的形式为: p n ( x ) a 0 a 1 ( x − x 0 ) a 2 ( x − x 0 ) 2 ⋯ a n ( x − x 0 ) n ( 1 ) p_n(x)a_0a_1(x-x_0)a_2(x-x_0)^2\cdots a_n(x-x_0)^n \qquad (1) pn(x)a0a1(x−x0)a2(x−x0)2⋯an(x−x0)n(1)
假设 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 与 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处的函数值相等, 且同阶导数在 x 0 x_0 x0 处的值也相等, 得: f ( x 0 ) p n ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) p n ′ ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) p n ′ ′ ( x 0 ) ⋯ f ( n ) ( x 0 ) p n ( n ) ( x 0 ) } ( 2 ) \left.\begin{aligned}f(x_0)p_n(x_0)\\f(x_0)p_n(x_0)\\f(x_0)p_n(x_0)\\ \cdots\\f^{(n)}(x_0)p_n^{(n)}(x_0)\end{aligned}\right\}\qquad (2) f(x0)pn(x0)f′(x0)pn′(x0)f′′(x0)pn′′(x0)⋯f(n)(x0)pn(n)(x0)⎭ ⎬ ⎫(2)
由 ( 1 ) (1) (1) 式和 ( 2 ) (2) (2) 式得: f ( x 0 ) p n ( x 0 ) a 0 0 ⋯ 0 a 0 f ′ ( x 0 ) p n ′ ( x 0 ) 0 a 1 ⋅ 1 0 ⋯ 0 a 1 f ′ ′ ( x 0 ) p n ′ ′ ( x 0 ) 0 0 a 2 ⋅ 2 ! 0 ⋯ 0 a 2 ⋅ 2 ! ⋯ f ( n ) ( x 0 ) p ( n ) ( x 0 ) 0 ⋯ 0 a n ⋅ n ! a n ⋅ n ! } ( 3 ) \left.\begin{aligned}f(x_0)p_n(x_0)a_00\cdots 0a_0 \\ f(x_0)p_n(x_0)0a_1\cdot 10\cdots 0a_1 \\ f(x_0)p_n(x_0)00a_2\cdot 2! 0\cdots 0 a_2\cdot2!\\ \cdots \\ f^{(n)}(x_0)p^{(n)}(x_0)0\cdots 0a_n\cdot n! a_n\cdot n!\end{aligned}\right\}\qquad (3) f(x0)pn(x0)a00⋯0a0f′(x0)pn′(x0)0a1⋅10⋯0a1f′′(x0)pn′′(x0)00a2⋅2!0⋯0a2⋅2!⋯f(n)(x0)p(n)(x0)0⋯0an⋅n!an⋅n!⎭ ⎬ ⎫(3)
将 ( 3 ) (3) (3) 式变换, 得: a 0 f ( x 0 ) a 1 f ′ ( x 0 ) a 2 f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ⋯ a n f ( n ) ( x 0 ) n ! } ( 4 ) \left.\begin{aligned}a_0f(x_0) \\ a_1f(x_0) \\ a_2\frac{f(x_0)}{2!} \\ \cdots \\ a_n\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\end{aligned}\right\}\qquad (4) a0f(x0)a1f′(x0)a22!f′′(x0)⋯ann!f(n)(x0)⎭ ⎬ ⎫(4)
将 ( 4 ) (4) (4) 式代入 ( 1 ) (1) (1) 式, 得: p n ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 ⋯ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n ( 5 ) p_n(x)f(x_0)f(x_0)(x-x_0)\frac{f(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\qquad (5) pn(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)n(5) ( 5 ) (5) (5) 式称为函数 f ( x ) f(x) f(x) 按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0) 的幂展开的 n n n 次泰勒多项式, 是函数 f ( x ) f(x) f(x) 的近似表达. 1.3 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
[泰勒(Taylor)中值定理] 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在含有 x 0 x_0 x0 的某个开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内具有直到 ( n 1 ) (n1) (n1) 阶的导数则对任一 x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x∈(a,b)有 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 ⋯ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n R n ( x ) ( 6 ) f(x)f(x_0)f(x_0)(x-x_0)\frac{f(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nR_n(x) \qquad (6) f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)nRn(x)(6)
其中, R n ( x ) f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ( x − x 0 ) n 1 ( 7 ) R_n(x)\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1}\qquad (7) Rn(x)(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1(7)
公式 ( 6 ) (6) (6) 称为函数 f ( x ) f(x) f(x) 按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 n n n 阶泰勒公式.
公式 ( 7 ) (7) (7) 称为拉格朗日型余项其中的 ξ \xi ξ 介于 x 0 x_0 x0 与 x x x 之间.
当 n 0 n0 n0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) f(x)f(x_0)f(\xi)(x-x_0) f(x)f(x0)f′(ξ)(x−x0) ξ \xi ξ 介于 x 0 x_0 x0 与 x x x 之间.
如果 x 0 0 x_00 x00则 ξ ∈ ( 0 , x ) \xi\in(0,x) ξ∈(0,x)可以令 ξ θ x ( 0 θ 1 ) \xi\theta x(0\theta 1) ξθx(0θ1) . 1.4 泰勒公式的误差
以多项式 p n ( x ) p_n(x) pn(x) 近似表达函数 f ( x ) f(x) f(x) 时, 其误差为 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn(x)∣ .
如果对于某个固定的 n n n, 当 x ∈ ( a , b ) x\in (a,b) x∈(a,b) 时, ∣ f ( n 1 ) ( x ) ∣ ≤ M |f^{(n1)}(x)|\leq M ∣f(n1)(x)∣≤M, 则有: ∣ R n ( x ) ∣ ∣ f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ( x − x 0 ) n 1 ∣ ≤ M ( n 1 ) ! ∣ x − x 0 ∣ n 1 ( 8 ) \begin{vmatrix}R_n(x)\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x-x_0)^{n1}\end{vmatrix}\leq \frac{M}{(n1)!}\begin{vmatrix}x-x_0\end{vmatrix}^{n1}\qquad (8) Rn(x) (n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1 ≤(n1)!M x−x0 n1(8)
及 lim x → x 0 R n ( x ) ( x − x 0 ) n 0 ( 9 ) \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}0\qquad (9) x→x0lim(x−x0)nRn(x)0(9)
可见, 当 x → x 0 x\rightarrow x_0 x→x0 时, 误差 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn(x)∣ 是比 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^n (x−x0)n 高阶的无穷小, 即: R n ( x ) o [ ( x − x 0 ) n ] ( 10 ) R_n(x)o[(x-x_0)^n]\qquad (10) Rn(x)o[(x−x0)n](10)
公式 ( 10 ) (10) (10) 称为佩亚诺(Peano)型余项. 1.5 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
在不需要余项的精确表达时, n n n 阶泰勒公式也可写成 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 ⋯ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n o [ ( x − x 0 ) n ] ( 11 ) f(x)f(x_0)f(x_0)(x-x_0)\frac{f(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^no[(x-x_0)^n]\qquad (11) f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)no[(x−x0)n](11)
公式 ( 11 ) (11) (11) 称为 f ( x ) f(x) f(x) 按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0) 的幂展开的带有佩亚诺型余项的 n n n 阶泰勒公式. 1.6 带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式
公式 ( 6 ) (6) (6) 中如果取 x 0 0 x_00 x00则 ξ \xi ξ 在 0 0 0 与 x x x 之间. 因此可以令 ξ θ x ( 0 θ 1 ) \xi\theta x(0\theta 1) ξθx(0θ1) 从而泰勒公式变为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式 f ( x ) f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 ⋯ f ( n ) ( 0 ) n ! x n f ( n 1 ) ( θ x ) ( n 1 ) ! x n 1 ( 0 θ 1 ) ( 12 ) . f(x)f(0)f(0)x\frac{f(0)}{2!}x^2\cdots \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\frac{f^{(n1)}(\theta x)}{(n1)!}x^{n1}(0\theta1)\qquad (12). f(x)f(0)f′(0)x2!f′′(0)x2⋯n!f(n)(0)xn(n1)!f(n1)(θx)xn1(0θ1)(12). 1.7 带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
如果取 x 0 0 x_00 x00则公式 ( 11 ) (11) (11) 变换为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 f ( x ) f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 ⋯ f ( n ) ( 0 ) n ! x n o ( x n ) ( 13 ) f(x)f(0)f(0)x\frac{f(0)}{2!}x^2\cdots \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^no(x^n) \qquad (13) f(x)f(0)f′(0)x2!f′′(0)x2⋯n!f(n)(0)xno(xn)(13) 2 练习题
[题1] 按 ( x − 4 ) (x-4) (x−4) 的幂展开多项式 f ( x ) x 4 − 5 x 3 x 2 − 3 x 4 f(x)x^4-5x^3x^2-3x4 f(x)x4−5x3x2−3x4.
[解]
根据公式 ( 5 ) (5) (5) 得: p n ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 ⋯ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n p_n(x)f(x_0)f(x_0)(x-x_0)\frac{f(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\cdots \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n pn(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2⋯n!f(n)(x0)(x−x0)n
此题 x 0 4 x_04 x04:
原式 f ( 4 ) f ′ ( 4 ) ( x − 4 ) f ′ ′ ( 4 ) 2 ! ( x − 4 ) 2 f ′ ′ ′ ( 4 ) 3 ! ( x − 4 ) 3 f ( 4 ) 4 ! ( x − 4 ) 4 0 ⋯ 0 f(4)f(4)(x-4)\frac{f(4)}{2!}(x-4)^2\frac{f(4)}{3!}(x-4)^3\frac{f^{(4)}}{4!}(x-4)^40\cdots 0 f(4)f′(4)(x−4)2!f′′(4)(x−4)23!f′′′(4)(x−4)34!f(4)(x−4)40⋯0 − 56 21 ( x − 4 ) 37 ( x − 4 ) 2 11 ( x − 4 ) 3 ( x − 4 ) 4 -5621(x-4)37(x-4)^211(x-4)^3(x-4)^4 −5621(x−4)37(x−4)211(x−4)3(x−4)4 [题2] 应用麦克劳林公式按 x x x 的幂展开函数 f ( x ) ( x 2 − 3 x 1 ) 3 f(x)(x^2-3x1)^3 f(x)(x2−3x1)3.
[解]
根据麦克劳林公式得: p n ( x ) p_n(x) pn(x) f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x ⋯ f ( 6 ) ( 0 ) 6 ! x 0 ⋯ 0 f(0)f(0)x\frac{f(0)}{2!}x\cdots \frac{f^{(6)}(0)}{6!}x0\cdots 0 f(0)f′(0)x2!f′′(0)x⋯6!f(6)(0)x0⋯0 1 − 9 x 30 x 2 − 45 x 3 30 x 4 − 9 x 5 x 6 1-9x30x^2-45x^330x^4-9x^5x^6 1−9x30x2−45x330x4−9x5x6 [题3] 求函数 f ( x ) x f(x)\sqrt{x} f(x)x 按 ( x − 4 ) (x-4) (x−4) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.
[解]
根据公式 ( 6 ) (6) (6), 且 x 0 4 x_04 x04 得: f ( x ) f(x) f(x) x \sqrt{x} x f ( 4 ) f ′ ( 4 ) ( x − 4 ) f ′ ′ ( 4 ) 2 ! ( x − 4 ) 2 f ′ ′ ′ ( 4 ) 3 ! ( x − 4 ) 3 f ( 4 ) ( ξ ) 4 ! ( x − 4 ) 4 f(4)f(4)(x-4)\frac{f(4)}{2!}(x-4)^2\frac{f(4)}{3!}(x-4)^3\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-4)^4 f(4)f′(4)(x−4)2!f′′(4)(x−4)23!f′′′(4)(x−4)34!f(4)(ξ)(x−4)4 2 x − 4 4 − ( x − 4 ) 2 64 ( x − 4 ) 3 512 − 5 ξ − 7 2 ( x − 4 ) 4 128 2\frac{x-4}{4}-\frac{(x-4)^2}{64}\frac{(x-4)^3}{512}-\frac{5\xi^{-\frac{7}{2}}(x-4)^4}{128} 24x−4−64(x−4)2512(x−4)3−1285ξ−27(x−4)4 ξ \xi ξ 介于 4 4 4 与 x x x 之间 [题4] 求函数 f ( x ) l n x f(x)lnx f(x)lnx 按 ( x − 2 ) (x-2) (x−2) 的幂展开的带有佩亚诺型余项的 n n n 阶泰勒公式.
[解]
根据公式 ( 11 ) (11) (11) 且 x 0 0 x_00 x00 得: f ( x ) f(x) f(x) l n x lnx lnx f ( 2 ) f ′ ( 2 ) ( x − 2 ) f ′ ′ ( 2 ) 2 ! ( x − 2 ) 2 ⋯ f ( n ) ( 2 ) n ! ( x − 2 ) n o [ ( x − 2 ) n ] f(2)f(2)(x-2)\frac{f(2)}{2!}(x-2)^2\cdots \frac{f^{(n)}(2)}{n!}(x-2)^no[(x-2)^n] f(2)f′(2)(x−2)2!f′′(2)(x−2)2⋯n!f(n)(2)(x−2)no[(x−2)n] l n 2 x − 2 2 − ( x − 2 ) 2 2 3 ⋯ ( − 1 ) n − 1 ( x − 2 ) n n ⋅ 2 n o [ ( x − 2 ) n ] ln2\frac{x-2}{2}-\frac{(x-2)^2}{2^3}\cdots \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^n}{n\cdot 2^n}o[(x-2)^n] ln22x−2−23(x−2)2⋯n⋅2n(−1)n−1(x−2)no[(x−2)n] [题5] 求函数 f ( x ) 1 x f(x)\frac{1}{x} f(x)x1 按 ( x 1 ) (x1) (x1) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 n n n 阶泰勒公式.
[解]
根据公式 ( 6 ) (6) (6) ,且 x 0 − 1 x_0-1 x0−1 得: f ( x ) f(x) f(x) 1 x \frac{1}{x} x1 f ( − 1 ) f ′ ( − 1 ) ( x 1 ) f ′ ′ ( − 1 ) 2 ! ( x 1 ) 2 ⋯ f ( n ) ( − 1 ) n ! ( x 1 ) n f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ( x 1 ) n 1 f(-1)f(-1)(x1)\frac{f(-1)}{2!}(x1)^2\cdots \frac{f^{(n)}(-1)}{n!}(x1)^n\frac{f^{(n1)}(\xi)}{(n1)!}(x1)^{n1} f(−1)f′(−1)(x1)2!f′′(−1)(x1)2⋯n!f(n)(−1)(x1)n(n1)!f(n1)(ξ)(x1)n1 − 1 − ( x 1 ) − ( x 1 ) 2 ⋯ ( − 1 ) ( x 1 ) n ( − 1 ) n 1 ( x 1 ) n 1 ξ n 2 -1-(x1)-(x1)^2\cdots (-1)(x1)^n(-1)^{n1}\frac{(x1)^{n1}}{\xi^{n2}} −1−(x1)−(x1)2⋯(−1)(x1)n(−1)n1ξn2(x1)n1( ξ \xi ξ 介于 − 1 -1 −1 与 x x x 之间). [题6] 求函数 f ( x ) t a n x f(x)tanx f(x)tanx 的带有佩亚诺型余项的 3 3 3 阶麦克劳林公式.
[解]
根据公式 ( 13 ) (13) (13) 得: f ( x ) f(x) f(x) t a n x tanx tanx f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 x 2 f ′ ′ ′ ( 0 ) 6 x 3 o ( x 3 ) f(0)f(0)x\frac{f(0)}{2}x^2\frac{f(0)}{6}x^3o(x^3) f(0)f′(0)x2f′′(0)x26f′′′(0)x3o(x3) 0 x s e c 2 0 2 s e c 2 0 t a n 0 2 x 2 4 s e c 2 x t a n 2 0 2 s e c 4 0 6 x 3 o ( x 3 ) 0xsec^20\frac{2sec^20tan0}{2}x^2\frac{4sec^2xtan^202sec^40}{6}x^3o(x^3) 0xsec2022sec20tan0x264sec2xtan202sec40x3o(x3) x 1 3 x 3 o ( x 3 ) x\frac{1}{3}x^3o(x^3) x31x3o(x3) [题7] 求函数 f ( x ) x e x f(x)xe^x f(x)xex 的带有佩亚诺型余项的 n n n 阶麦克劳林公式.
[解]
根据公式 ( 13 ) (13) (13) 得: f ( x ) f(x) f(x) x e x xe^x xex f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 ⋯ f ( n ) ( 0 ) n ! x n o ( x n ) f(0)f(0)x\frac{f(0)}{2!}x^2\cdots \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^no(x^n) f(0)f′(0)x2!f′′(0)x2⋯n!f(n)(0)xno(xn) 0 x 2 x 2 2 ! 3 x 3 3 ! ⋯ n n ! x n o ( x n ) 0x\frac{2x^2}{2!}\frac{3x^3}{3!}\cdots \frac{n}{n!}x^no(x^n) 0x2!2x23!3x3⋯n!nxno(xn) x x 2 x 3 2 ⋯ x n ( n − 1 ) ! o ( x n ) xx^2\frac{x^3}{2}\cdots \frac{x^n}{(n-1)!}o(x^n) xx22x3⋯(n−1)!xno(xn) [题8] 验证当 0 x ≤ 1 2 0x\leq \frac{1}{2} 0x≤21 时按公式 e x ≈ 1 x x 2 2 x 3 6 e^x\approx 1x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{6} ex≈1x2x26x3 计算 e x e^x ex 的近似值时所产生的误差小于 0.01 0.01 0.01并求 e \sqrt{e} e 的近似值使误差小于 0.01 0.01 0.01.
[解]
根据泰勒中值定理得 e x e^x ex 与 1 x x 2 2 x 3 6 1x\frac{x^2}{2}\frac{x^3}{6} 1x2x26x3 之间得误差为 ∣ e ξ 24 x 4 ∣ \begin{vmatrix}\frac{e^{\xi}}{24}x^4\end{vmatrix} 24eξx4 ( ξ \xi ξ 介于 0 0 0 与 x x x 之间)即拉格朗日型余项. ∵ 0 x ≤ 1 2 \because 0x\leq \frac{1}{2} ∵0x≤21 ∴ 0 ξ ≤ 1 2 \therefore 0\xi \leq \frac{1}{2} ∴0ξ≤21 ∴ ∣ e ξ 24 x 4 ∣ ≤ e 1 2 24 ⋅ 2 4 0.01 \therefore \begin{vmatrix}\frac{e^\xi}{24}x^4\end{vmatrix}\leq \frac{e^\frac{1}{2}}{24\cdot 2^4}0.01 ∴ 24eξx4 ≤24⋅24e210.01 ∴ e e 1 2 ≈ 1 1 2 1 2 ⋅ ( 1 2 ) 3 1 6 ⋅ ( 1 2 ) 3 1 1 2 1 8 1 48 79 48 ≈ 1.646 \therefore \sqrt{e}e^{\frac{1}{2}}\approx 1\frac{1}{2}\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2})^3\frac{1}{6}\cdot (\frac{1}{2})^31\frac{1}{2}\frac{1}{8}\frac{1}{48}\frac{79}{48}\approx 1.646 ∴e e21≈12121⋅(21)361⋅(21)3121814814879≈1.646 [题9] 应用 3 3 3 阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差
(1) 30 3 \sqrt[3]{30} 330
(2) s i n 1 8 ∘ sin18^\circ sin18∘
[解(1)]
令 f ( x ) 3 1 x 3 f(x)3\sqrt[3]{1x} f(x)331x 则 f ( 1 9 ) 30 3 f(\frac{1}{9})\sqrt[3]{30} f(91)330 f ( x ) 3 1 x 3 f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 x 2 f ′ ′ ′ ( 0 ) 6 x 3 f ( 4 ) ( ξ ) 24 x 4 f(x)3\sqrt[3]{1x}f(0)f(0)x\frac{f(0)}{2}x^2\frac{f(0)}{6}x^3\frac{f^{(4)}(\xi)}{24}x^4 f(x)331x f(0)f′(0)x2f′′(0)x26f′′′(0)x324f(4)(ξ)x4( ξ \xi ξ 介于 0 0 0 与 1 9 \frac{1}{9} 91 之间) ∴ 30 3 f ( 1 9 ) ≈ f ( 0 ) f ′ ( 0 ) ⋅ 1 9 f ′ ′ ( 0 ) 2 ⋅ 1 81 f ′ ′ ′ ( 0 ) 6 ⋅ 1 729 \therefore \sqrt[3]{30}f(\frac{1}{9})\approx f(0)f(0)\cdot \frac{1}{9}\frac{f(0)}{2}\cdot \frac{1}{81}\frac{f(0)}{6}\cdot \frac{1}{729} ∴330 f(91)≈f(0)f′(0)⋅912f′′(0)⋅8116f′′′(0)⋅7291 3 1 9 − 2 3 ⋅ 1 2 ⋅ 1 9 2 10 9 ⋅ 1 6 ⋅ 1 9 3 ≈ 3.1092 3\frac{1}{9}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{9^2}\frac{10}{9}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{9^3}\approx 3.1092 391−32⋅21⋅921910⋅61⋅931≈3.1092
其误差为 ∣ f ( 4 ) ( ξ ) 24 x 4 ∣ ∣ 80 27 ⋅ 4 ! ⋅ 9 4 ( 1 ξ ) − 11 3 ∣ 80 27 ⋅ 4 ! ⋅ 9 4 ≈ 1.8817 × 1 0 − 5 \begin{vmatrix}\frac{f^{(4)}(\xi)}{24}x^4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\frac{80}{27\cdot 4!\cdot 9^4}(1\xi)^{-\frac{11}{3}}\end{vmatrix}\frac{80}{27\cdot 4!\cdot 9^4}\approx1.8817\times10^{-5} 24f(4)(ξ)x4 27⋅4!⋅9480(1ξ)−311 27⋅4!⋅9480≈1.8817×10−5
[解(2)] s i n 1 8 ∘ s i n π 10 sin18^\circsin\frac{\pi}{10} sin18∘sin10π
令 f ( x ) s i n x f(x)sinx f(x)sinx
利用带拉格朗日型余项的泰勒公式进行计算 f ( x ) s i n x f ( 0 ) f ′ ( 0 ) x f ′ ′ ( 0 ) 2 x 2 f ′ ′ ′ ( 0 ) 6 x 3 f ( 4 ) ( ξ ) 24 x 4 f(x)sinxf(0)f(0)x\frac{f(0)}{2}x^2\frac{f(0)}{6}x^3\frac{f^{(4)}(\xi)}{24}x^4 f(x)sinxf(0)f′(0)x2f′′(0)x26f′′′(0)x324f(4)(ξ)x4 ξ \xi ξ 介于 0 0 0 与 x x x 之间 ∴ s i n 1 8 ∘ f ( π 10 ) sin π 10 ≈ 0 1 ⋅ π 10 − 0 − 1 6 ⋅ ( π 10 ) 3 ≈ 0.3090 \therefore sin18^\circf(\frac{\pi}{10})\sin\frac{\pi}{10}\approx 01\cdot \frac{\pi}{10}-0-\frac{1}{6}\cdot (\frac{\pi}{10})^3\approx 0.3090 ∴sin18∘f(10π)sin10π≈01⋅10π−0−61⋅(10π)3≈0.3090
利用拉格朗日型余项表示上述计算的误差 ∣ R n ( x ) ∣ ∣ f ( 4 ) ( ξ ) 24 x 4 ∣ ∣ s i n ξ 24 ( π 10 ) 4 ∣ s i n π 10 24 ( π 10 ) 4 ≈ 0.000125 \begin{vmatrix}R_n(x)\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\frac{f^{(4)}(\xi)}{24}x^4\end{vmatrix}\begin{vmatrix}\frac{sin\xi}{24}(\frac{\pi}{10})^4\end{vmatrix}\frac{sin\frac{\pi}{10}}{24}(\frac{\pi}{10})^4\approx 0.000125 Rn(x) 24f(4)(ξ)x4 24sinξ(10π)4 24sin10π(10π)4≈0.000125 [题10] 利用泰勒公式极限 lim x → ∞ ( x 3 3 x 2 3 − x 4 − 2 x 3 4 ) \lim_{x\rightarrow \infty}(\sqrt[3]{x^33x^2}-\sqrt[4]{x^4-2x^3}) limx→∞(3x33x2 −4x4−2x3 ).
[解]
令 t 1 x t\frac{1}{x} tx1
原式 lim t → 0 1 3 t 3 − 1 − 2 t 4 t \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{13t}-\sqrt[4]{1-2t}}{t} limt→0t313t −41−2t
利用带佩亚诺型余项的麦克劳林公式得 1 3 t 3 f ( 0 ) f ′ ( 0 ) t o ( t ) 1 t o ( t ) \sqrt[3]{13t}f(0)f(0)to(t)1to(t) 313t f(0)f′(0)to(t)1to(t) 1 − 2 t 4 1 − 1 2 t o ( t ) \sqrt[4]{1-2t}1-\frac{1}{2}to(t) 41−2t 1−21to(t) ∴ \therefore ∴ 原式 lim t → 0 1 t o ( t ) − 1 1 2 t − o ( t ) t lim t → 0 3 2 t o ( t ) t 3 2 \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1to(t)-1\frac{1}{2}t-o(t)}{t}\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\frac{3}{2}to(t)}{t}\frac{3}{2} limt→0t1to(t)−121t−o(t)limt→0t23to(t)23 [学习资料]
1.《高等数学第六版》 同济大学数学系 编 感谢您的点赞、收藏和关注更欢迎您的批评、指正和指导
