html网站地图模板,wordpress+for+android,叫人做国外公司网站让老外做好还是国内人做好,百度广告代理商加盟数值计算 第1章 概论1.2 数值计算中的误差1.2.1 误差的来源和分类1.2.2 误差与有效数字1.2.3 数值运算的误差估计 1.3 误差定性分析和避免误差危害1.3.1 算法的数值稳定性1.3.3 避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计的技术1.5 习题1.5.1 判断题1.5.2 计算题 第2章 插值法2.2 拉… 数值计算 第1章 概论1.2 数值计算中的误差1.2.1 误差的来源和分类1.2.2 误差与有效数字1.2.3 数值运算的误差估计 1.3 误差定性分析和避免误差危害1.3.1 算法的数值稳定性1.3.3 避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计的技术1.5 习题1.5.1 判断题1.5.2 计算题 第2章 插值法2.2 拉格朗日插值2.3 牛顿插值2.4 埃尔米特插值2.5 分段低次插值2.6 三次样条插值 第3章 函数逼近与快速傅里叶变换3.4 曲线拟合的最小二乘法 第4章 数值积分与数值微分4.1 数值积分概论4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复合求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 自适应积分方法4.6 高斯求积公式 第5章 解线性方程组的直接方法5.2 高斯消去法5.3 矩阵三角分解法5.4 向量和矩阵范数5.5 误差分析 第6章 解线性方程组的迭代法6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法6.3 超松弛迭代法 第7章 非线性方程与方程组的数值解法7.1 方程求根与二分法7.2 不动点迭代法及其收敛性7.3 迭代收敛的加速方法7.4 牛顿法 第9章 常微分方程初值问题数值解法9.2 简单的数值方法 第1章 概论
1.2 数值计算中的误差
1.2.1 误差的来源和分类
误差类型介绍示例模型误差在建立数学模型过程中要将复杂的现象抽象归结为数学模型往往要忽略一些次要因素的影响而对问题作一些简化因此和实际问题有一定的区别。地球的体积使用球体体积公式 v 4/3 Π R3 来近似计算观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的由于精度的限制计算这些数据一般是近似的观测地球半径R的值截断误差方法误差当数学模型不能得到精确解时通常要用数值方法求它的近似解其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差使用泰勒公式来计算可微函数某点值其截断误差为泰勒余项舍入误差由于计算机字长有限原始数据在计算机上表示时产生的误差Π 用 3.1415926 来近似、4/3 用 1.333333 来近似
1.2.2 误差与有效数字
误差定义示例绝对误差e*设 x 为准确值x* 为 x 的一个近似值称 e* x* - x 为近似值的绝对误差简称误差一般无法测量出精确值所以绝对误差一般无法表示绝对误差限ε*估计出绝对误差的一个上界 ε* 即| e* | | x* - x | ≤ ε*测量某物品的长度为 20 ± 0.5 cm则其绝对误差限为 0.5 cm相对误差 e r ∗ e^*_ {r} er∗ 绝对误差 精确值 即 e r ∗ e ∗ x x ∗ − x x \frac{绝对误差}{精确值}即e^*_ {r}\frac{e^*}{x}\frac{x^*-x}{x} 精确值绝对误差即er∗xe∗xx∗−x 实际中精确值 x 是未知的故常用 绝对误差 近似值 即 e r ∗ e ∗ x ∗ x ∗ − x x ∗ \frac{绝对误差}{近似值} 即e^*_ {r}\frac{e^*}{x^*}\frac{x^*-x}{x^*} 近似值绝对误差即er∗x∗e∗x∗x∗−x当 e r ∗ e^*_ {r} er∗ 较小时此时 是 e r ∗ 的平方项级故可以忽略不计所以可以使用 e ∗ x ∗ 代替 e ∗ x 是 e^*_ {r} 的平方项级故可以忽略不计所以可以使用 \frac{e^*}{x^*} 代替 \frac{e^*}{x} 是er∗的平方项级故可以忽略不计所以可以使用x∗e∗代替xe∗相对误差限 ε r ∗ ε^*_ {r} εr∗相对误差的上界 ε r ∗ ε^*_ {r} εr∗即 ε r ∗ ε ∗ ∣ x ∗ ∣ ε^*_ {r} \frac{ε^*}{|x^*|} εr∗∣x∗∣ε∗测量某物品的长度为 20 ± 0.5 cm则其相对误差限为 2.5%
有效数字示例定义对于 Π3.1415926… x* 3.14有3位有效数字x* 3.1416 则有5为有效数字而 x* 3.1415 则只有4为有效数字其误差超过了5所在位置的半个单位而不超过1所在的位置的半个单位故只有4位有效数字。科学计数表示12300 有5位有效数字如果写成 1.23 × 104 则只有3位有效数字。定理
1.2.3 数值运算的误差估计
函数绝对误差限 ε ∗ ( f ) ≈ ε^*( f )≈ ε∗(f)≈相对误差限 ε r ∗ ( f ) ≈ ε^*_r( f )≈ εr∗(f)≈一元函数 f(x)| f(x)’ | ε*(x)ε*( f(x) ) / f(x)多元函数 f(x1, …, xn) ∑ 1 n ∣ ∂ f ∂ x i ∣ ε ∗ ( x i ) \sum_1^n |\frac{\partial f}{\partial x_i}| ε^*(x_i) 1∑n∣∂xi∂f∣ε∗(xi)ε*( f(x1, …, xn) ) / f(x1, …, xn)
示例
1.3 误差定性分析和避免误差危害
1.3.1 算法的数值稳定性
问题描述不稳定算法病态方程组
1.3.3 避免误差危害
问题描述措施大数吃小数相近数相减 例如 1 − c o s ( ε ) 2 s i n 2 ( ε 2 ) ; 例如1 - cos(ε) 2 sin^2(\frac{ε}{2}) ; 例如1−cos(ε)2sin2(2ε);除小数和乘大数尽量避免
1.4 数值计算中算法设计的技术
算法示例快速幂算法秦九韶算法
1.5 习题
1.5.1 判断题
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。【对】高精度运算可以改善问题的病态性。【错病态是问题本身固有的无法通过提高精度运算来改善】无论问题是否病态只要算法稳定都能得到好的近似值。【错只有良态情况下稳定的算法才有可能得到好的近似值】用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。【错得到好的近似值还与初始值的选取有关例如牛顿法】用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。【错得到好的近似值还与初始值的选取有关例如牛顿法】两个相近数相减必然会使有效数字损失。【错只是大多情况下会使有效数字损失】计算机上将1000个数量级不同的数相加不管次序如何结果都是样的。【错可能发生大数吃小数情况】
1.5.2 计算题
设 x 0x 的相对误差为δ求ln x的误差。设 x 的相对误差为2%求 xn 的相对误差。下列各数都是经过四舍五入得到的近似数即误差限不超过最后一位的半个单位试指出它们是几位有效数字 x 1 ∗ x^*_1 x1∗ 1.1021 x 2 ∗ x^*_2 x2∗ 0.031 x 3 ∗ x^*_3 x3∗ 385.6 x 4 ∗ x^*_4 x4∗ 56.430 x 5 ∗ x^*_5 x5∗7 × 1.0求下列各近似值的误差限 1 x 1 ∗ x 2 ∗ x 4 ∗ x^*_1x^*_2x^*_4 x1∗x2∗x4∗ 2 x 1 ∗ x 2 ∗ x 3 ∗ x^*_1x^*_2x^*_3 x1∗x2∗x3∗ 3 x 2 ∗ / x 4 ∗ x^*_2/x^*_4 x2∗/x4∗ 其中 x 1 ∗ x 2 ∗ x 3 ∗ x 4 ∗ x^*_1x^*_2x^*_3x^*_4 x1∗x2∗x3∗x4∗均为第3题所给的数。计算球体积要使相对误差限为1%问度量半径R时允许的相对误差限是多少正方形的边长大约为100 cm应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm2 ?计算 f ( 2 − 1 ) 6 f(\sqrt{2}-1)^6 f(2 −1)6取 2 ≈ 1.4 \sqrt{2}≈1.4 2 ≈1.4利用下列等式计算哪一个得到的结果最好 1 ( 2 1 ) 6 ( 3 − 2 2 ) 3 \frac{1}{(\sqrt{2}1)^6}(3-2\sqrt{2})^3 (2 1)61(3−22 )3 1 ( 3 2 2 ) 3 99 − 70 2 \frac{1}{(32\sqrt{2})^3}99-70\sqrt{2} (322 )3199−702 第2章 插值法
2.2 拉格朗日插值
2.3 牛顿插值
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
3.4 曲线拟合的最小二乘法
第4章 数值积分与数值微分
4.1 数值积分概论
4.2 牛顿-柯特斯公式
4.3 复合求积公式
4.4 龙贝格求积公式
4.5 自适应积分方法
4.6 高斯求积公式
第5章 解线性方程组的直接方法
5.2 高斯消去法
5.3 矩阵三角分解法
5.4 向量和矩阵范数
5.5 误差分析
第6章 解线性方程组的迭代法
6.2 雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法
6.3 超松弛迭代法
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
7.1 方程求根与二分法
7.2 不动点迭代法及其收敛性
7.3 迭代收敛的加速方法
7.4 牛顿法
第9章 常微分方程初值问题数值解法
9.2 简单的数值方法
