铁岭做网站,站酷设计网站怎样下载图片,WordPress添加首页引导页,wengdo网站开发创意设计1. 一元函数积分学的应用 文章目录 1. 一元函数积分学的应用1. 几何应用1.1 用定积分表达和计算平面图形的面积1.2 用定积分表达和计算旋转体的体积1.2.1 微分法1.2.2 二重积分法1.2.3 古尔丁定理1.2.4 旋转体的体积公式总结 1.3 用定积分表达和计算函数的平均数1.4 其他几何应…1. 一元函数积分学的应用 文章目录 1. 一元函数积分学的应用1. 几何应用1.1 用定积分表达和计算平面图形的面积1.2 用定积分表达和计算旋转体的体积1.2.1 微分法1.2.2 二重积分法1.2.3 古尔丁定理1.2.4 旋转体的体积公式总结 1.3 用定积分表达和计算函数的平均数1.4 其他几何应用1.4.1 平面上的曲边梯形的形心坐标公式1.4.2 平面曲线的弧长1.4.3 旋转曲面的面积(侧面积) 公式使用小总结 2. 积分等式与积分不等式(待整理3.物理应用3.1 变力沿直线做功3.2 抽水做功3.3 静水压力 1. 几何应用
1.1 用定积分表达和计算平面图形的面积 三大体系下的图形直角坐标系和极坐标系直接计算参数方程转换为直角坐标系再进行计算。 下面给出平面直角坐标系和极坐标系下两条曲线所围成平面图形的面积 (2)的解释说明: 扇形面积dθ趋近于0看成90度阴影部分面积看成三角形 1/2底*高 高是r2底是弧长弧长顶角✖️边长dθ✖️r2故 1/2✖️r2dθ *r21/2 r22dθ 1.2 用定积分表达和计算旋转体的体积 虽然下面给出了公式但是在具体做题中发现用处不大后续冲刺更新复习中会删掉多余的公式 1.2.1 微分法 经典的做法但是只能较为有效解决绕x轴y轴的旋转体的体积不太推荐。 1.2.2 二重积分法 方法来源于武忠祥高等数学辅导讲义利用二重积分来解决旋转体体积的问题。 核心思想:拿出待求面积内的一个小面积记作dσ将这个小面积旋转剪开发现是一个圆柱体圆柱体体积底面积*高底面积就是dσ高是没剪开的甜甜圈的周长2派r其中这个r是点(x,y)到旋转直线的距离有公式。 综上 v 底面积 ∗ 高 ∬ D d σ ∗ 2 π r ( x , y ) 2 π ∬ D r ( x , y ) d σ v 底面积*高 \iint \limits_{D}^{}d\sigma *2\pi r\left(x,y\right) 2\pi \iint \limits_{D}^{}r\left(x,y\right)d\sigma v底面积∗高D∬dσ∗2πr(x,y)2πD∬r(x,y)dσ
1.2.3 古尔丁定理 利用第一个古尔丁定理的结论我们不难得出重点在于计算形心计算形心有公式。然后在根据点到直线的距离或者观察法计算形心到转轴的距离。 1.2.4 旋转体的体积公式总结
定积分计算旋转体体积公式: (2)的解释说明: 薄壁柱体(壳体),切开展开得到一个长方体高是|y(x)|宽是dx长是圆的周长2派rr就是x故是2派x长方体体积长宽高2派x|y(x)|dx (3)平面曲线绕定直线旋转 如何使用就是做差使用两条曲线围成面积绕着旋转就分别求如何作差。 1.3 用定积分表达和计算函数的平均数 1.4 其他几何应用
1.4.1 平面上的曲边梯形的形心坐标公式 1.4.2 平面曲线的弧长 三个公式都得背 关于计算弧长时积分上下限怎么确定积分下限必是小的上限必是大的 1.4.3 旋转曲面的面积(侧面积) 先记第一个 综上可知弧长和侧面积都得保证上下限从小到大 公式使用小总结
在计算面积体积弧长侧面积时我们会求直角坐标系下的就行其他坐标系都可以通过换元法转换为直角坐标系。 注意换元有三换还有就是直角坐标系下的y’是对应参数方程的dy/dx也就是 (dy/dt)/(dx/dt) 极坐标系其实也是参数方程xrcosθyrsinθ
2. 积分等式与积分不等式(待整理
3.物理应用
3.1 变力沿直线做功 3.2 抽水做功 物理知识补充既公式推导: 抽水做功公式wF浮h,每一块的h其实就是横坐标看图故wF浮x,当前进度:wF浮x 浮力公式:ρgvv是体积重点在于确定v,当前进度:wρgvx v是水面一层(类似于硬币)的体积看成圆柱体圆柱体v底面积*高底面积设为A(x)故vA(x)dx,当前进度:wρgA(x)xdx 故总结公式为求积分a到b上的wa是水面b是水底 问题的关键在于确定x处水平截面面积A(x)其余的量都是固定的。故拿到题核心在于求A(x) 3.3 静水压力 物理知识补充既公式推导: 压强公式压力/横截面面积故压力压强横截面面积 横截面面积长宽长是f(x)-g(x)宽是dx 压强pghpgx故公式得证 求解关键是平板的宽度f(x)-h(x)
