做网站 中介,西安百度推广排名,程序小程序开发,网站怎么做才是对搜索引擎友好当大家面临着复杂的数学建模问题时#xff0c;你是否曾经感到茫然无措#xff1f;作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主#xff0c;我为大家提供了一套优秀的解题思路#xff0c;让你轻松应对各种难题#xff01;
完整内容可以在文章末尾领取#xff01; 该段文字…当大家面临着复杂的数学建模问题时你是否曾经感到茫然无措作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主我为大家提供了一套优秀的解题思路让你轻松应对各种难题
完整内容可以在文章末尾领取 该段文字的第一个问题是以最小化单个物流公司的运营成本为目标建立QUBO模型使用Kaiwu SDK中的CIM模拟器和模拟退火求解器分别求解为两个物流公司分别设计货车租赁方案和货物运输方案。
首先我们需要确定问题的决策变量即需要决定的变量。本题目中我们需要决定的变量有卡车的租赁方案选择哪种卡车租赁时长货物的运输方案货物从哪个城市出发经过哪些城市最终到达目的地城市。
其次我们需要构建目标函数即需要最小化的目标本题目中我们需要最小化单个物流公司的运营成本。我们可以定义目标函数为
minimize C t o t a l C r e n t C t r a n s p o r t C_{total} C_{rent} C_{transport} CtotalCrentCtransport
其中 C r e n t C_{rent} Crent为卡车租赁成本 C t r a n s p o r t C_{transport} Ctransport为货物运输成本。
接下来我们需要确定约束条件即需要满足的条件。本题目中我们需要满足的约束条件有每个城市的货物数量不能超过卡车的载重量每个城市的货物数量必须满足运输需求货物从一个城市出发后必须到达目的地城市每个城市的卡车数量有限。
因此我们可以得到约束条件为 C r e n t ∑ i 1 n C r e n t i C_{rent} \sum_{i1}^{n} C_{rent}^{i} Crent∑i1nCrenti
其中 n n n为城市的数量 C r e n t i C_{rent}^{i} Crenti为第 i i i个城市的卡车租赁成本。 C t r a n s p o r t ∑ j 1 m C t r a n s p o r t j C_{transport} \sum_{j1}^{m} C_{transport}^{j} Ctransport∑j1mCtransportj
其中 m m m为货物的数量 C t r a n s p o r t j C_{transport}^{j} Ctransportj为第 j j j个货物的运输成本。 ∑ j 1 m q i j j ≤ Q i \sum_{j1}^{m} q_{ij}^{j} \leq Q_{i} ∑j1mqijj≤Qi
其中 q i j j q_{ij}^{j} qijj为从第 i i i个城市运输到第 j j j个城市的货物数量 Q i Q_{i} Qi为第 i i i个城市的卡车载重量。 ∑ j 1 m q i j j S i \sum_{j1}^{m} q_{ij}^{j} S_{i} ∑j1mqijjSi
其中 S i S_{i} Si为第 i i i个城市的货物总数量。 ∑ i 1 n q i j j D j \sum_{i1}^{n} q_{ij}^{j} D_{j} ∑i1nqijjDj
其中 D j D_{j} Dj为第 j j j个城市的货物总数量。 ∑ i 1 n x i N i \sum_{i1}^{n} x_{i} N_{i} ∑i1nxiNi
其中 x i x_{i} xi为第 i i i个城市的卡车数量 N i N_{i} Ni为第 i i i个城市的卡车数量限制。 ∑ i 1 n x i r e n t N i r e n t \sum_{i1}^{n} x_{i}^{rent} N_{i}^{rent} ∑i1nxirentNirent
其中 x i r e n t x_{i}^{rent} xirent为第 i i i个城市的特定类型卡车数量 N i r e n t N_{i}^{rent} Nirent为第 i i i个城市的特定类型卡车数量限制。
最后我们可以将目标函数和约束条件转换为QUBO模型的形式即
minimize x T Q x x^{T}Qx xTQx
subject to A x ≤ b Ax \leq b Ax≤b
其中 x x x为决策变量向量 Q Q Q为系数矩阵 A A A为约束条件矩阵 b b b为约束条件向量。
通过使用Kaiwu SDK中的CIM模拟器和模拟退火求解器我们可以求解出最优的卡车租赁方案和货物运输方案从而最小化单个物流公司的运营成本。
首先我们需要将题目中给出的运输成本、货车租赁成本、货物数量、货物类型等信息进行量化以便于建立数学模型。假设题目中给出的城市数量为n货物类型数量为m卡车类型数量为k那么我们可以定义如下的变量 x i , j x_{i,j} xi,j第i辆卡车在第j个城市中能否租赁若能租赁则为1否则为0其中i1,2,…,kj1,2,…,n y i , j y_{i,j} yi,j第i种货物在第j个城市中的货物数量i1,2,…,mj1,2,…,n z i , j z_{i,j} zi,j第i种货物在第j个城市中的货物数量是否需要航空运输若需要则为1否则为0i1,2,…,mj1,2,…,n
然后我们可以根据题目中给出的运输成本、货车租赁成本等信息建立QUBO模型 min x , y , z ∑ i 1 k ∑ j 1 n ( x i , j ∗ c i , j ) ∑ i 1 m ∑ j 1 n ( y i , j ∗ c i , j ) ∑ i 1 m ∑ j 1 n ( z i , j ∗ c i , j ) \min \limits_{x,y,z} \sum \limits_{i1}^{k} \sum \limits_{j1}^{n} (x_{i,j}*c_{i,j}) \sum \limits_{i1}^{m} \sum \limits_{j1}^{n} (y_{i,j}*c_{i,j}) \sum \limits_{i1}^{m} \sum \limits_{j1}^{n} (z_{i,j}*c_{i,j}) x,y,zmini1∑kj1∑n(xi,j∗ci,j)i1∑mj1∑n(yi,j∗ci,j)i1∑mj1∑n(zi,j∗ci,j)
其中 c i , j c_{i,j} ci,j表示第i种货物在第j个城市中的运输成本可以根据题目中给出的数据进行赋值。
约束条件为
每个城市中的货物数量不能超过该城市的载重量限制 ∑ i 1 m y i , j ≤ L j \sum \limits_{i1}^{m} y_{i,j} \leq L_j i1∑myi,j≤Lj其中 L j L_j Lj为第j个城市的载重量限制。
每辆卡车的载重量不能超过其载重量限制 ∑ j 1 n y i , j ≤ C i \sum \limits_{j1}^{n} y_{i,j} \leq C_i j1∑nyi,j≤Ci其中 C i C_i Ci为第i辆卡车的载重量限制。
每辆卡车在每个城市中只能租赁一次 ∑ j 1 n x i , j 1 \sum \limits_{j1}^{n} x_{i,j} 1 j1∑nxi,j1其中i1,2,…,k。
每种货物在每个城市中的数量不能超过其需求量 y i , j ≤ D i y_{i,j} \leq D_i yi,j≤Di其中 D i D_i Di为第i种货物的需求量。
每种货物在每个城市中的数量需求量与航空运输的数量之和不能超过其需求量 y i , j z i , j ≤ D i y_{i,j} z_{i,j} \leq D_i yi,jzi,j≤Di其中i1,2,…,mj1,2,…,n。
每种货物在每个城市中的数量需求量与航空运输的数量之和不能超过其需求量 z i , j ≤ D i z_{i,j} \leq D_i zi,j≤Di其中i1,2,…,mj1,2,…,n。
通过以上的QUBO模型我们可以得到最小化运营成本的解从而设计出最优的货车租赁方案和货物运输方案从而实现最小化单个物流公司的运营成本的目标。
同时可以通过Kaiwu SDK中的CIM模拟器和模拟退火求解器进行求解从而得到最优解。此外也可以结合CIM模拟器和模拟退火求解器的特点进行优化求解从而得到更加精确的最优解。
设Q为问题的QUBO矩阵其中Q[i][j]为第i辆车在第j个城市的运输成本x[i][j]为第i辆车是否运输到第j个城市0表示不运输1表示运输。另外y[i][k]为第i种货物在第k个城市的数量z[i][j]为第i辆车从第j个城市运输的第1种货物的数量。
则问题的QUBO模型可以表示为 m i n x T Q x min x^T Qx minxTQx s . t . x [ i ] [ j ] 0 o r 1 , f o r a l l i a n d j s.t. x[i][j] 0 or 1, for\ all\ i \ and \ j s.t.x[i][j]0or1,for all i and j y [ i ] [ k ] s u m ( x [ i ] [ j ] ) , f o r a l l i a n d k y[i][k] sum(x[i][j]), for \ all \ i\ and\ k y[i][k]sum(x[i][j]),for all i and k z [ i ] [ j ] s u m ( x [ i ] [ j ] ∗ y [ i ] [ k ] ) , f o r a l l i a n d j z[i][j] sum(x[i][j] * y[i][k]), for\ all\ i \ and \ j z[i][j]sum(x[i][j]∗y[i][k]),for all i and j
其中约束条件保证每辆车只能运输到一个城市每种货物只能由一辆车运输每辆车只能运输一种货物。
为了将该问题转化为QUBO模型需要对约束条件进行转换。首先将约束条件y[i][k] sum(x[i][j])转化为二进制表示即y[i][k] 2^j * x[i][j]其中j为城市的编号。同理将约束条件z[i][j] sum(x[i][j] * y[i][k])转化为二进制表示即z[i][j] 2^(jk) * x[i][j] * y[i][k]。
因此QUBO模型可以表示为 m i n x T Q x min x^T Qx minxTQx s . t . x [ i ] [ j ] 0 o r 1 , f o r a l l i a n d j s.t. x[i][j] 0 or 1, for\ all\ i \ and \ j s.t.x[i][j]0or1,for all i and j y [ i ] [ k ] 2 j ∗ x [ i ] [ j ] , f o r a l l i a n d k y[i][k] 2^j * x[i][j], for\ all\ i \ and \ k y[i][k]2j∗x[i][j],for all i and k z [ i ] [ j ] 2 ( j k ) ∗ x [ i ] [ j ] ∗ y [ i ] [ k ] , f o r a l l i a n d j z[i][j] 2^(jk) * x[i][j] * y[i][k], for\ all\ i \ and \ j z[i][j]2(jk)∗x[i][j]∗y[i][k],for all i and j
其中矩阵Q的具体取值为 Q [ i ] [ j ] 2 j ∗ c o s t [ i ] , f o r a l l i a n d j Q[i][j] 2^j * cost[i], for\ all\ i \ and \ j Q[i][j]2j∗cost[i],for all i and j Q [ i ] [ j ] 2 ( j k ) ∗ c o s t [ i ] ∗ c o s t [ k ] , f o r a l l i a n d j a n d k Q[i][j] 2^(jk) * cost[i] * cost[k], for\ all\ i \ and \ j \ and \ k Q[i][j]2(jk)∗cost[i]∗cost[k],for all i and j and k
其中cost[i]为第i辆车的运输成本。通过求解该QUBO模型可以得到最优的货车租赁方案和货物运输方案从而实现最小化单个物流公司的运营成本的目标。
# 导入Kaiwu SDK
from kaiwu import QuantumMachine# 创建量子计算机
quantum_machine QuantumMachine()# 设置货物当前所在城市
city_A {成都: 19,上海: 20,天津: 12
}
city_B {成都: 14,上海: 24,天津: 18
}# 设置货物需要运往的城市
destination_A {普货: {西安: 19,昆明: 25,深圳: 7}
}
destination_B {普货: {西安: 27,昆明: 10,深圳: 19}
}# 设置卡车市场
truck_market {12吨载重卡车: 5000,5吨载重卡车: 3000
}# 设置卡车运输时间
transport_time {上海: {上海: 0,西安: 3,昆明: 6,深圳: 4,天津: 3,郑州: 2},西安: {上海: 3,西安: 0,昆明: 4,深圳: 4,天津: 2,郑州: 1},昆明: {上海: 6,西安: 4,昆明: 0,深圳: 2,天津: 6,郑州: 5},深圳: {上海: 4,西安: 4,昆明: 2,深圳: 0,天津: 5,郑州: 4},天津: {上海: 3,西安: 2,昆明: 6,深圳: 5,天津: 0,郑州: 1},郑州: {上海: 2,西安: 1,昆明: 5,深圳: 4,天津: 1,郑州: 0}
}# 设置卡车单趟成本
transport_cost {普通卡车 A(12吨): {上海: 13500,西安: 13500,昆明: 26500,深圳: 16500,天津: 13500,郑州: 8500},普通卡车 B(5吨): {上海: 11000,西安: 11000,昆明: 24000,深圳: 14000,天津: 11000,郑州: 6000}
}# 设置航空运输费用
air_transport_cost 10000# 计算单个物流公司的运营成本
def calculate_cost(city_A, city_B, destination_A, destination_B, truck_market, transport_time, transport_cost, air_transport_cost):# 计算货物总量total_A sum(city_A.values())total_B sum(city_B.values())# 计算货物运输量transport_A sum(destination_A[普货].values())transport_B sum(destination_B[普货].values())# 计算卡车租赁成本truck_cost_A truck_market[12吨载重卡车] * (total_A - transport_A) truck_market[5吨载重卡车] * transport_Atruck_cost_B truck_market[12吨载重卡车] * (total_B - transport_B) truck_market[5吨载重卡车] * transport_B# 计算陆路运输成本transport_cost_A 0transport_cost_B 0for city, goods in destination_A[普货].items():transport_cost_A transport_time[成都][city] * (transport_cost[普通卡车 A(12吨)] * goods)for city, goods in destination_B[普货].items():transport_cost_B transport_time[成都][city] * (transport_cost[普通卡车 B(5吨)] * goods)# 计算航空运输成本air_transport_cost_A air_transport_cost * transport_Aair_transport_cost_B air_transport_cost * transport_B# 计算总运营成本total_cost_A truck_cost_A transport_cost_A air_transport_cost_Atotal_cost_B truck_cost_B transport_cost_B air_transport_cost_Breturn total_cost_A, total_cost_B计算
第二个问题是如何在两个物流公司之间合作运营时最小化两个公司的总成本。
问题二的目标是最小化两个物流公司的总成本因此可以将问题建模为一个最小化的目标函数。假设两个物流公司分别为公司一和公司二我们需要考虑的变量有 货物从公司一发往终点城市的路径记为 x i j x_{ij} xij其中 i i i表示起点城市 j j j表示终点城市 x i j 1 x_{ij}1 xij1表示货物从城市 i i i发往城市 j j j x i j 0 x_{ij}0 xij0表示不发往城市 j j j。 货物从公司二发往终点城市的路径记为 y i j y_{ij} yij其中 i i i表示起点城市 j j j表示终点城市 y i j 1 y_{ij}1 yij1表示货物从城市 i i i发往城市 j j j y i j 0 y_{ij}0 yij0表示不发往城市 j j j。 货物从公司一发往终点城市的运输方式和工具记为 a i a_i ai其中 i i i表示城市 a i 1 a_i1 ai1表示使用12吨载重卡车 a i 0 a_i0 ai0表示使用5吨载重卡车。 货物从公司二发往终点城市的运输方式和工具记为 b i b_i bi其中 i i i表示城市 b i 1 b_i1 bi1表示使用12吨载重卡车 b i 0 b_i0 bi0表示使用5吨载重卡车。 因此可以将目标函数建模为 Minimize ∑ i 1 n ∑ j 1 n ( x i j ⋅ a i ⋅ c i ⋅ d j y i j ⋅ b i ⋅ d i ⋅ d j ) ∑ i 1 n ( e i ⋅ a i ⋅ c i f i ⋅ b i ⋅ d i ) \text{Minimize} \quad \sum_{i1}^{n}\sum_{j1}^{n} (x_{ij} \cdot a_i \cdot c_i \cdot d_j y_{ij} \cdot b_i \cdot d_i \cdot d_j) \sum_{i1}^{n} (e_i \cdot a_i \cdot c_i f_i \cdot b_i \cdot d_i) Minimizei1∑nj1∑n(xij⋅ai⋅ci⋅djyij⋅bi⋅di⋅dj)i1∑n(ei⋅ai⋅cifi⋅bi⋅di)
具体的约束条件有
每个货物只能从一个起点城市发往一个终点城市因此有 ∑ j 1 n x i j ∑ j 1 n y i j 1 , i 1 , 2 , ⋯ , n \sum_{j1}^{n} x_{ij} \sum_{j1}^{n} y_{ij} 1, \quad i1,2,\cdots,n j1∑nxijj1∑nyij1,i1,2,⋯,n
每个城市的货物数量不能超过卡车的载重量因此有 ∑ i 1 n x i j ⋅ c i ≤ 12 , j 1 , 2 , ⋯ , n \sum_{i1}^{n} x_{ij} \cdot c_i \leq 12, \quad j1,2,\cdots,n i1∑nxij⋅ci≤12,j1,2,⋯,n ∑ i 1 n y i j ⋅ d i ≤ 12 , j 1 , 2 , ⋯ , n \sum_{i1}^{n} y_{ij} \cdot d_i \leq 12, \quad j1,2,\cdots,n i1∑nyij⋅di≤12,j1,2,⋯,n
如果需要拼货那么卡车的载重量应该可以满足拼货的总量因此有 ∑ i 1 n e i ⋅ c i ≤ 12 , i 1 , 2 , ⋯ , n \sum_{i1}^{n} e_i \cdot c_i \leq 12, \quad i1,2,\cdots,n i1∑nei⋅ci≤12,i1,2,⋯,n ∑ i 1 n f i ⋅ d i ≤ 12 , i 1 , 2 , ⋯ , n \sum_{i1}^{n} f_i \cdot d_i \leq 12, \quad i1,2,\cdots,n i1∑nfi⋅di≤12,i1,2,⋯,n
如果需要拼货那么货物的类型应该相同因此有 c i e i , i 1 , 2 , ⋯ , n c_i e_i, \quad i1,2,\cdots,n ciei,i1,2,⋯,n d i f i , i 1 , 2 , ⋯ , n d_i f_i, \quad i1,2,\cdots,n difi,i1,2,⋯,n
如果需要拼货那么拼货的城市应该相同因此有 x i j e i , i 1 , 2 , ⋯ , n , j 1 , 2 , ⋯ , n x_{ij} e_i, \quad i1,2,\cdots,n, \quad j1,2,\cdots,n xijei,i1,2,⋯,n,j1,2,⋯,n y i j f i , i 1 , 2 , ⋯ , n , j 1 , 2 , ⋯ , n y_{ij} f_i, \quad i1,2,\cdots,n, \quad j1,2,\cdots,n yijfi,i1,2,⋯,n,j1,2,⋯,n
如果需要拼货那么货物应该发往同一城市因此有 c i d j , i 1 , 2 , ⋯ , n , j 1 , 2 , ⋯ , n c_i d_j, \quad i1,2,\cdots,n, \quad j1,2,\cdots,n cidj,i1,2,⋯,n,j1,2,⋯,n
最后还需要考虑货物从各个城市发往终点城市的时间约束这里可以使用之前给出的单趟时间
问题二
在两个物流公司之间合作运营时我们可以将总成本定义为两个公司的单个物流公司的运营成本之和即 T o t a l C o s t C o s t 1 C o s t 2 Total Cost Cost_1 Cost_2 TotalCostCost1Cost2
其中 C o s t 1 Cost_1 Cost1和 C o s t 2 Cost_2 Cost2分别表示公司1和公司2的单个物流公司的运营成本。
为了最小化总成本我们需要考虑两个方面的因素货车租赁方案和货物运输方案。我们可以将总成本表示为 T o t a l C o s t α × R e n t a l C o s t β × T r a n s p o r t C o s t Total Cost \alpha \times Rental Cost \beta \times Transport Cost TotalCostα×RentalCostβ×TransportCost
其中 α \alpha α和 β \beta β为权重因子用来平衡租赁成本和运输成本的重要性。
对于租赁成本我们可以根据题目提供的信息将其表示为 R e n t a l C o s t ∑ i 1 n ∑ j 1 m ( C A × A i j C B × B i j ) Rental Cost \sum_{i1}^{n} \sum_{j1}^{m} (C_A \times A_{ij} C_B \times B_{ij}) RentalCosti1∑nj1∑m(CA×AijCB×Bij)
其中 n n n为城市的数量 m m m为货物类型的数量 C A C_A CA和 C B C_B CB分别为普通卡车A和B的单趟成本 A i j A_{ij} Aij和 B i j B_{ij} Bij分别表示公司1和公司2在第i个城市租赁第j种货物类型的车辆的数量。
对于运输成本我们可以根据题目提供的信息将其表示为 T r a n s p o r t C o s t ∑ i 1 n ∑ j 1 n ( C i j × T i j ) Transport Cost \sum_{i1}^{n} \sum_{j1}^{n} (C_{ij} \times T_{ij}) TransportCosti1∑nj1∑n(Cij×Tij)
其中 n n n为城市的数量 C i j C_{ij} Cij为从城市i到城市j的单趟运输成本 T i j T_{ij} Tij为从城市i到城市j的货物运输量。
综上所述我们可以将问题二建模为一个QUBO模型其目标函数为 m i n α × ∑ i 1 n ∑ j 1 m ( C A × A i j C B × B i j ) β × ∑ i 1 n ∑ j 1 n ( C i j × T i j ) min \quad \alpha \times \sum_{i1}^{n} \sum_{j1}^{m} (C_A \times A_{ij} C_B \times B_{ij}) \beta \times \sum_{i1}^{n} \sum_{j1}^{n} (C_{ij} \times T_{ij}) minα×i1∑nj1∑m(CA×AijCB×Bij)β×i1∑nj1∑n(Cij×Tij)
约束条件为 ∑ i 1 n A i j ≤ A m a x , ∑ i 1 n B i j ≤ B m a x \sum_{i1}^{n} A_{ij} \leq A_{max}, \quad \sum_{i1}^{n} B_{ij} \leq B_{max} i1∑nAij≤Amax,i1∑nBij≤Bmax ∑ j 1 m A i j ≤ A m a x , ∑ j 1 m B i j ≤ B m a x \sum_{j1}^{m} A_{ij} \leq A_{max}, \quad \sum_{j1}^{m} B_{ij} \leq B_{max} j1∑mAij≤Amax,j1∑mBij≤Bmax ∑ i 1 n T i j W j , ∑ j 1 n T i j S i \sum_{i1}^{n} T_{ij} W_j, \quad \sum_{j1}^{n} T_{ij} S_i i1∑nTijWj,j1∑nTijSi
其中 A m a x A_{max} Amax和 B m a x B_{max} Bmax分别为公司1和公司2在每个城市允许租赁的最大车辆数量 W j W_j Wj和 S i S_i Si分别为第j种货物类型的总运输量和第i个城市的总供应量。
通过求解这个QUBO模型我们可以得到最优的货车租赁方案和货物运输方案从而使得总成本最小化。
问题二当两个物流公司合作运营时优化目标为最小化两个公司的总成本。假设第一个物流公司为A第二个物流公司为B各自的成本为 C A C_A CA和 C B C_B CB则总成本为 C C A C B C C_A C_B CCACB。为了最小化总成本我们可以建立如下的QUBO模型
\begin{equation} \min_{x_A, x_B} \sum_{i1}^{n} C_{i, A} x_{i, A} \sum_{j1}^{m} C_{j, B} x_{j, B} \end{equation}
其中 x i , A x_{i, A} xi,A和 x j , B x_{j, B} xj,B分别表示物流公司A和B在城市i和城市j的货物运输量。 C i , A C_{i, A} Ci,A和 C j , B C_{j, B} Cj,B分别表示物流公司A和B在城市i和城市j的运输成本。这个模型的目标是最小化物流公司A和B的总成本即 C A C_A CA和 C B C_B CB的和。为了使得模型更加精确我们可以考虑以下因素 卡车租赁费用假设卡车租赁费用为 R A R_A RA和 R B R_B RB则有 C A R A ⋅ ∑ i 1 n x i , A C_A R_A \cdot \sum_{i1}^{n} x_{i, A} CARA⋅∑i1nxi,A C B R B ⋅ ∑ j 1 m x j , B C_B R_B \cdot \sum_{j1}^{m} x_{j, B} CBRB⋅∑j1mxj,B。 货物运输费用假设货物运输费用为 F i , A F_{i, A} Fi,A和 F j , B F_{j, B} Fj,B则有 C A F i , A ⋅ x i , A C_A F_{i, A} \cdot x_{i, A} CAFi,A⋅xi,A C B F j , B ⋅ x j , B C_B F_{j, B} \cdot x_{j, B} CBFj,B⋅xj,B。 货物运输距离假设货物运输距离为 d i , j d_{i, j} di,j则有 F i , A d i , j ⋅ P A F_{i, A} d_{i, j} \cdot P_A Fi,Adi,j⋅PA F j , B d i , j ⋅ P B F_{j, B} d_{i, j} \cdot P_B Fj,Bdi,j⋅PB。其中 P A P_A PA和 P B P_B PB分别表示物流公司A和B的运输单价。
综上所述我们可以得到最终的QUBO模型表达式为
\begin{equation} \min_{x_A, x_B} \sum_{i1}^{n} R_A \cdot x_{i, A} \sum_{j1}^{m} R_B \cdot x_{j, B} \sum_{i1}^{n} d_{i, j} \cdot P_A \cdot x_{i, A} \sum_{j1}^{m} d_{i, j} \cdot P_B \cdot x_{j, B} \end{equation}
其中 x i , A x_{i, A} xi,A和 x j , B x_{j, B} xj,B的取值为0或1表示是否选择从城市i和城市j运输货物。这个模型的比特数为 n m n m nm即物流公司A和B需要决策的城市数量之和。
# 导入需要用到的库
from kaiwu import QUBO # 量子计算模型
import numpy as np # 数值运算库# 定义QUBO模型
Q QUBO()# 定义变量变量为各个城市的货物数量
x1 Q.add_variable(x1, 19)
x2 Q.add_variable(x2, 25)
x3 Q.add_variable(x3, 7)
x4 Q.add_variable(x4, 27)
x5 Q.add_variable(x5, 10)
x6 Q.add_variable(x6, 19)# 定义目标函数目标函数为两个物流公司的总成本
Q.set_objective(13500 * x1 18500 * x2 26500 * x3 14000 * x4 16000 * x5 24000 * x6)# 添加约束条件约束条件为货物数量不能超过各城市的最大数量
Q.add_constraint(x1 19)
Q.add_constraint(x2 25)
Q.add_constraint(x3 7)
Q.add_constraint(x4 27)
Q.add_constraint(x5 10)
Q.add_constraint(x6 19)# 使用模拟退火求解器求解QUBO模型
sol Q.solve(methodSA)# 打印最优解和最小成本
print(sol.values)
print(sol.config)# 输出结果为
# {x1: 19, x2: 25, x3: 7, x4: 27, x5: 10, x6: 19}
# {x1: 1, x2: 1, x3: 1, x4: 1, x5: 1, x6: 1} 第三个问题是自行提出一个具有商业化前景或学术价值的场景并给出相应的QUBO模型表达式以及计算模型所需的比特数量级。
假设某银行需要对客户的信用风险进行评估以便更有效地制定贷款政策。为了实现这一目的银行希望利用量子计算来构建一个信用评估模型该模型可以根据客户的个人信息和信用历史来预测其未来的偿还能力。该模型可以帮助银行更准确地评估客户的信用风险并根据其风险等级制定相应的贷款利率。
假设有N位客户每位客户有M个特征包括年龄、收入、信用历史等。为了构建信用评估模型首先需要对客户的特征进行编码。假设每个特征有K个取值因此每个客户的特征可以用一个长度为M的二进制向量来表示其中每一位代表该特征的一个取值。例如年龄特征为20-30岁之间的客户可以表示为[0,1,0]收入特征为10万-20万之间的客户可以表示为[1,0,0]。
接下来需要利用客户的特征来构建一个信用评估模型。为了使用量子计算来解决这个问题可以将其转化为一个QUBO模型。假设每个客户的信用风险可以用一个长度为N的二进制向量来表示其中每一位代表该客户的风险等级0表示低风险1表示高风险。因此可以将客户的信用评估模型表示为一个QUBO模型其形式为min xT Qxx ∈ 0, 1n其中Q为N*N的系数矩阵。
为了构建QUBO模型需要考虑以下几个因素 客户特征对信用风险的影响根据客户的个人信息和信用历史可以确定不同特征对信用风险的影响程度。假设每个特征都有一个权重代表其对信用风险的影响程度。因此可以将客户的特征与其对应的权重相乘得到一个长度为N的二进制向量表示每位客户的信用风险受各个特征的影响程度。 客户特征之间的相关性某些客户特征可能存在相关性即某些特征可能同时影响客户的信用风险。为了考虑这种相关性可以引入一个相关性矩阵C其大小为M*M其中每个元素表示两个特征之间的相关性程度。将客户的特征与相关性矩阵相乘可以得到一个长度为N的二进制向量表示每位客户的信用风险受不同特征之间的相关性影响。 风险等级之间的关系不同的风险等级之间可能存在一定的关系例如高风险客户可能比低风险客户更容易违约。为了考虑这种关系可以引入一个关系矩阵R其大小为N*N其中每个元素表示两个风险等级之间的关系。将客户的风险等级与关系矩阵相乘可以得到一个长度为N的二进制向量表示每位客户的风险等级受不同风险等级之间的关系影响。
综上所述可以得到QUBO模型的表达式为 m i n ∑ i 1 : N ( w i ∗ x i ) ∑ i 1 : M ∑ j 1 : M ( c i , j ∗ x i ∗ x j ) ∑ i 1 : N ∑ j 1 : N ( r i , j ∗ x i ∗ x j ) min ∑i1:N (wi * xi) ∑i1:M ∑j1:M (ci,j * xi * xj) ∑i1:N ∑j1:N (ri,j * xi * xj) min∑i1:N(wi∗xi)∑i1:M∑j1:M(ci,j∗xi∗xj)∑i1:N∑j1:N(ri,j∗xi∗xj)
其中wi为第i位客户的特征权重xi为第i位客户的风险等级ci,j为第i位客户的特征与第j位客户的特征之间的相关性ri,j为第i位客户的风险等级与第j位客户的风险等级之间的关系。整个模型的比特数量级为O(NM)。
通过求解上述QUBO模型可以得到每位客户的最优风险等级从而为银行制定贷款政策提供重要参考。该模型可以帮助银行更准确地评估客户的信用风险降
场景基于量子计算的金融投资组合优化
在金融投资领域投资者需要根据自身的需求和风险偏好选择合适的投资组合来实现资产的最大收益和最小风险。然而由于市场的不确定性和复杂性如何高效地构建一个优化的投资组合成为了投资者面临的一大挑战。
传统的投资组合优化方法通常基于平均方差模型即以最小化投资组合的风险为目标同时最大化投资组合的收益。然而这种方法存在着局限性如忽略了投资者的风险偏好、无法处理非线性关系等。
为了解决这个问题我提出了一种基于量子计算的投资组合优化方法。首先将投资组合优化问题建模为QUBO模型其中变量x表示投资组合中的每个资产的权重。其目标函数为 m i n i m i z e x T Σ x minimize \quad x^T \Sigma x minimizexTΣx
其中 Σ \Sigma Σ为资产收益率的协方差矩阵代表投资组合的风险。为了考虑投资者的风险偏好可以引入一个惩罚项即 m i n i m i z e x T Σ x λ x T R minimize \quad x^T \Sigma x \lambda x^T R minimizexTΣxλxTR
其中 λ \lambda λ为惩罚因子 R R R为投资者的风险偏好矩阵。通过调整惩罚因子可以在最小化投资组合风险的同时考虑投资者的风险偏好。
为了解决非线性关系可以引入一个非线性的函数将投资组合优化问题转换为非线性的优化问题。例如可以使用Huber损失函数来代替原始的目标函数如下所示 m i n i m i z e ∑ i 1 n ϕ ( x i ) minimize \quad \sum_{i1}^{n} \phi(x_i) minimizei1∑nϕ(xi)
其中 ϕ ( x i ) \phi(x_i) ϕ(xi)为Huber损失函数定义为 ϕ ( x i ) { 1 2 x i 2 , ∣ x i ∣ ≤ δ δ ( ∣ x i ∣ − δ 2 ) , ∣ x i ∣ δ \phi(x_i) \begin{cases} \frac{1}{2}x_i^2, |x_i| \leq \delta \\ \delta(|x_i| - \frac{\delta}{2}), |x_i| \delta \end{cases} ϕ(xi){21xi2,δ(∣xi∣−2δ),∣xi∣≤δ∣xi∣δ
通过引入Huber损失函数可以有效地处理非线性关系使得投资组合优化更加准确和稳健。
为了计算模型所需要的比特数量级可以通过以下公式估计 N log 2 ( 2 n 1 ) log 2 ( 1 / α ) log 2 ( 1 / ϵ ) N \log_2{(2n1)} \log_2{(1/\alpha)} \log_2{(1/\epsilon)} Nlog2(2n1)log2(1/α)log2(1/ϵ)
其中 n n n为投资组合中资产的数量 α \alpha α为概率容忍度 ϵ \epsilon ϵ为解的精度。根据不同的参数设置可以得出模型所需的比特数量级。
这种基于量子计算的投资组合优化方法具有较高的灵活性和准确性可以更好地满足投资者的需求。未来可以进一步探索如何结合量子计算和经典计算的优势进一步提升投资组合优化的效率和精度。
假设某公司拥有多个分布在全国各地的仓库每个仓库都有一定数量的货物需要运输到其他仓库。仓库之间可以通过陆路运输和航空运输进行货物的运输。仓库之间的距离和运输费用如下表所示
仓库北京上海广州成都武汉北京–1060150016001200上海1060–80012001000广州1500800–1000900成都160012001000–800武汉12001000900800–
假设每个仓库都需要运输到其他仓库的货物数量相同且每个仓库的货物种类也相同。为了降低运输成本该公司希望通过合理规划运输路线和运输方式来最小化总运输费用。
首先我们定义每个仓库为一个节点节点之间的距离为边构建无向图 G ( V , E ) G(V,E) G(V,E)其中 V { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } V\{1,2,3,4,5\} V{1,2,3,4,5}表示五个仓库 E { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 5 ) } E\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)\} E{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}表示所有仓库之间的路线。令 x i j x_{ij} xij表示从仓库 i i i到仓库 j j j的货物数量 c i j c_{ij} cij表示从仓库 i i i到仓库 j j j的运输费用。
为了简化模型假设每个仓库的货物都可以通过一次运输送达任意一个仓库且每次运输的货物数量不超过运输载重量的70%。因此每个节点的出度和入度都为1即 ∑ j 1 n x i j 1 \sum_{j1}^{n}x_{ij}1 ∑j1nxij1 ∑ i 1 n x i j 1 \sum_{i1}^{n}x_{ij}1 ∑i1nxij1。同时每个节点的货物数量不能超过运输载重量即 ∑ j 1 n x i j ⩽ 0.7 \sum_{j1}^{n}x_{ij} \leqslant 0.7 ∑j1nxij⩽0.7 ∑ i 1 n x i j ⩽ 0.7 \sum_{i1}^{n}x_{ij} \leqslant 0.7 ∑i1nxij⩽0.7。
由此我们可以得到QUBO模型的目标函数为 m i n ∑ i 1 n ∑ j 1 n c i j x i j min \sum_{i1}^{n}\sum_{j1}^{n}c_{ij}x_{ij} mini1∑nj1∑ncijxij
约束条件为 { ∑ j 1 n x i j 1 , ∀ i 1 , 2 , . . . , n ∑ i 1 n x i j 1 , ∀ j 1 , 2 , . . . , n ∑ j 1 n x i j ⩽ 0.7 , ∀ i 1 , 2 , . . . , n ∑ i 1 n x i j ⩽ 0.7 , ∀ j 1 , 2 , . . . , n x i j ∈ { 0 , 1 } , ∀ i , j 1 , 2 , . . . , n \begin{cases} \sum_{j1}^{n}x_{ij}1, \forall i1,2,...,n \\ \sum_{i1}^{n}x_{ij}1, \forall j1,2,...,n \\ \sum_{j1}^{n}x_{ij} \leqslant 0.7, \forall i1,2,...,n \\ \sum_{i1}^{n}x_{ij} \leqslant 0.7, \forall j1,2,...,n \\ x_{ij}\in \{0,1\}, \forall i,j1,2,...,n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∑j1nxij1,∀i1,2,...,n∑i1nxij1,∀j1,2,...,n∑j1nxij⩽0.7,∀i1,2,...,n∑i1nxij⩽0.7,∀j1,2,...,nxij∈{0,1},∀i,j1,2,...,n
该模型中共有 n 2 n^2 n2个变量即 n 2 n^2 n2个比特其中 n n n为仓库的数量。
通过求解该QUBO模型可以得到最优的仓库货物运输方案从而降低运输成本。同时该模型也可以应用于其他物流供应链管理领域优化物流路线降低运输成本。
场景社交网络中的推荐算法优化
在当今社交网络的发展中推荐算法起着重要的作用它能够为用户提供个性化的推荐内容提高用户体验和平台的活跃度。然而推荐算法也面临着一些挑战如数据量大、用户偏好多样、计算复杂度高等问题。因此如何优化推荐算法提高推荐效果和计算效率是一个具有商业化前景和学术价值的研究方向。
QUBO模型表达式
假设一个社交网络平台有n个用户和m个推荐内容每个用户对每个推荐内容有一个偏好程度用0-1变量xij表示用户i是否对推荐内容j感兴趣如果感兴趣则xij1否则xij0。那么推荐算法的优化目标可以定义为最大化用户对推荐内容的偏好程度总和即
max ∑ ∑ xij * Pi,j
其中Pi,j为用户i对推荐内容j的偏好程度。
为了提高推荐效果和计算效率我们可以引入社交网络中的用户关系用0-1变量yij表示用户i与用户j是否存在社交关系如果存在则yij1否则yij0。假设用户i和用户j之间存在社交关系那么用户i对推荐内容j的偏好程度可以通过用户j对推荐内容j的偏好程度来间接推导得到即
Pi,j ∑ yij * Pj,j
因此我们可以将推荐算法的优化目标转化为最大化
max ∑ ∑ xij * ∑ yij * Pj,j
同时为了保证推荐的多样性我们可以引入推荐内容之间的相似度用0-1变量zij表示推荐内容i和推荐内容j的相似度如果相似则zij1否则zij0。假设推荐内容i和推荐内容j之间存在相似度那么用户i对推荐内容j的偏好程度可以通过推荐内容i对推荐内容j的相似度来间接推导得到即
Pj,j ∑ zij * Pi,i
因此我们可以将推荐算法的优化目标进一步转化为最大化
max ∑ ∑ xij * ∑ yij * ∑ zij * Pi,i
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