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D题 反潜航空深弹命中概率问题
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D题 反潜航空深弹命中概率问题
原题再现 应用深水炸弹简称深弹反潜曾是二战时期反潜的重要手段而随着现代军事技术的发展鱼雷已成为现代反潜作战的主要武器。但是在海峡或浅海等海底地形较为复杂的海域由于价格低、抗干扰能力强仍有一些国家在研究和发展深水炸弹反潜技术。 反潜飞机攻击水下目标前先由侦察飞机通过电子侦察设备发现水下潜艇目标的大致位置然后召唤反潜飞机前来进行攻击。当潜艇发现被侦察飞机电子设备跟踪时通常会立即关闭电子设备及发动机采取静默方式就地隐蔽。 本问题采用目标坐标系潜艇中心位置的定位值在海平面上的投影为原点 正东方向为 轴正向正南方向为 轴正向垂直于海平面向下方向为 轴正向。正北方向顺时针旋转到潜艇航向的方位角记为 假定在一定条件下反潜攻击方可获知该航向见图1。 由于存在定位误差潜艇中心实际位置的3个坐标是相互独立的随机变量其中 均服从正态分布 (0,2) 服从单边截尾正态分布 (ℎ0,2,)其密度函数为 这里 ℎ0 是潜艇中心位置深度的定位值 是潜艇中心位置实际深度的最小值 和 分别是标准正态分布的密度函数与分布函数。 将潜艇主体部分简化为长方体深弹在水中垂直下降。假定深弹采用双引信触发引信定深引信引爆定深引信事先设定引爆深度深弹在海水中的最大杀伤距离称为杀伤半径。深弹满足以下情形之一视为命中潜艇 (1) 航空深弹落点在目标平面尺度范围内且引爆深度位于潜艇上表面的下方由触发引信引爆 (2) 航空深弹落点在目标平面尺度范围内且引爆深度位于潜艇上表面的上方同时潜艇在深弹的杀伤范围内由定深引信引爆 (3) 航空深弹落点在目标平面尺度范围外则到达引爆深度时由定深引信引爆且此时潜艇在深弹的杀伤范围内。 请建立数学模型解决以下问题 问题1 投射一枚深弹潜艇中心位置的深度定位没有误差两个水平坐标定位均服从正态分布。分析投弹最大命中概率与投弹落点平面坐标及定深引信引爆深度之间的关系并给出使得投弹命中概率最大的投弹方案及相应的最大命中概率表达式。 针对以下参数值给出最大命中概率潜艇长100 m宽20 m高25 m潜艇航向方位角为 90∘深弹杀伤半径为20 m潜艇中心位置的水平定位标准差 120 m潜艇中心位置的深度定位值为150 m. 问题2 仍投射一枚深弹潜艇中心位置各方向的定位均有误差。请给出投弹命中概率的表达式。 针对以下参数设计定深引信引爆深度使得投弹命中概率最大潜艇中心位置的深度定位值为150 m标准差 40 m潜艇中心位置实际深度的最小值为 120 m其他参数同问题1。 问题3 由于单枚深弹命中率较低为了增强杀伤效果通常需要投掷多枚深弹。若一架反潜飞机可携带9枚航空深弹所有深弹的定深引信引爆深度均相同投弹落点在平面上呈阵列形状见图2。在问题2的参数下请设计投弹方案包括定深引信引爆深度以及投弹落点之间的平面间隔使得投弹命中指至少一枚深弹命中潜艇的概率最大。
整体求解过程概述(摘要) 随着潜艇技术的不断发展反潜作战面临着日益严峻的挑战。深弹作为重要的反潜武器其投放策略的优化对于提高反潜作战效率至关重要。本文旨在通过数学建模和数值分析找出在不同条件下深弹投放的最大命中概率策略。 潜艇深度已知的单深弹投放模型在潜艇深度位置信息确定的情况下本文首先在二维平面上建立了深弹的毁伤概率模型。该模型考虑了深弹爆炸的威力范围、潜艇的尺寸以及投放角度等因素将问题转化为炸弹最大毁伤区域的构建与最优概率积分问题。根据深弹爆炸深度与潜艇深度的位置关系本文详细分析了五种可能的投放情况包括深弹在潜艇上方、下方、侧面以及直接命中等。通过动态讨论确定了当深弹的落点位于潜艇的上表面和下表面之间时投弹可达最大投弹概率。 潜艇深度未知的单深弹投放模型考虑到实际作战中潜艇深度往往未知本文在原有模型基础上增加了深度参数并假设其服从单边截尾正态分布。这使得模型更加贴近实际也增加了问题的复杂性。为了处理深度不确定性本文建立了三维立体的命中概率模型。通过数值分析和简化处理将三维模型分解为二维命中概率模型与一维深度概率模型的最大化积分问题。在二维命中概率模型的基础上本文利用数值积分方法求解了潜艇深度定位在最大可能区间的命中概率为实际作战中的深弹投放提供了决策支持。 潜艇深度未知的多深弹投放模型首先通过数学分析确定了深弹的最佳爆炸深度以确保在给定深度范围内达到最大的毁伤效果。接着本文将最大命中概率的决定因素分解为深弹二维毁伤区域与潜艇的平面分布概率两部分。通过综合考虑深弹的投放位置、爆炸范围以及潜艇的可能位置构建了多深弹投放的命中概率优化模型。利用数学解析和数值解析与网格算法相结合的方法本文求解了多深弹投放模型下的最大命中概率。当深弹间距d150时命中概率达到最大值0.333。这一结果对于指导实际作战中的多深弹投放具有重要意义。
模型假设 1.潜艇以及深弹默认为单一质点 2.假设深弹之间不会互相影响 3.假设潜艇时刻处在动态移动中。
问题分析 首先我们分析了深弹引爆深度与命中概率之间的内在联系。在概率密度函数已知且非负的前提下求解最大投射命中概率被转化为求解最大积分区域的问题。通过数学推导我们证明了只有当引爆深度位于潜艇上下表面之间时积分区域才能达到最大进而确定了固定投弹点处的命中概率。接着我们考虑了引爆深度变化时积分区域虽然大小相同但命中概率差异显著的情况。通过将该问题转化为二维正态分布函数的最值求解问题我们得到了最大命中概率的表达式。在已知潜艇长宽高等参数深度定位参数无误差且深弹杀伤半径为20m的条件下我们计算出了最大的命中概率。 在潜艇深度未知的情况下我们引入了深度定位误差并假设其服从单边截尾正态分布。为了简化问题我们将问题转化为在潜艇最有可能出现的深度范围内选择最佳投弹深度的问题。基于问题一的研究成果我们已知潜艇深度一定时的最佳投弹深度和投弹点。因此在已知潜艇中心位置深度的定位误差服从的分布参数后我们以潜艇的高度为度量区间找出了该区间内最有可能出现的深度范围并取其中点作为深弹的定深引信引爆深度。这样的选择使得投弹命中概率达到最大。 在问题二的基础上我们进一步考虑了多深弹的投放布局问题。给定深弹的定深引信引爆深度我们根据潜艇深度参数服从的单边截尾正态分布计算了潜艇中心落在不同区域内的概率。通过参数调整我们计算了每个区域内9枚航空深弹至少一次命中潜艇的概率。然后将这两组概率对应相乘并求和得出了命中概率的数学期望。最后通过数值优化方法我们找出了使命中概率数学期望最大的投弹方案即最佳投弹布局。
模型的建立与求解整体论文缩略图 全部论文及程序请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可
部分程序代码(完整论文以及代码请联系博主)
sigma 120; % 标准差单位米
L 100; % 潜艇长度单位米
R 20; % 杀伤半径单位米
W 20; % 潜艇宽度单位米% 定义被积函数
f (x, y) exp(-(x.^2 y.^2) / (2 * sigma^2));% 计算第一个积分项左侧部分
I1 integral2(f, -R-L/2, -L/2, (x)-W/2-sqrt(R^2 - (x L/2).^2), (x)W/2sqrt(R^2 - (x L/2).^2));% 计算第二个积分项中间部分
I2 integral2(f, -L/2, L/2, -W/2-R, W/2R);% 计算第三个积分项右侧部分
I3 integral2(f, L/2, RL/2, (x)-W/2-sqrt(R^2 - (x - L/2).^2), (x)W/2sqrt(R^2 - (x - L/2).^2));% 计算总积分
p00 (1 / (2 * pi * sigma^2)) * (I1 I2 I3);% 显示结果
disp([The probability p(0,0) is: , num2str(p00)]);function [d,I]x2
sigma 120; % 标准差
L 100; % 潜艇长度
R 20; % 杀伤半径
W 20; % 潜艇宽度
H 25; % 高度
sigma_z 40; % Z 的标准差
l1 120;
h0 150;f (x, y) (1 / (2 * pi * sigma^2)) * exp(-(x.^2 y.^2) / (2 * sigma^2));
Phi (x) normcdf(x, 0, 1);
dm1/(1 - Phi((l1 - h0) / sigma_z));
% 定义函数 g(z)
g_z (z) (1/sigma_z)*dm * (1 / sqrt(2 * pi)) * exp(-((z - h0).^2) / (2 * sigma_z^2));
%testintegral((z) g_z(z),120,200);
fun (x,y,z) f(x,y).*g_z(z);d 152.5:1:180;I1 arrayfun((d) integral3((x, y, z) f(x, y) .* g_z(z), -L/2, L/2, -W/2, W/2, l1, d-R-H/2), d);
I2[];
I3[];
I4[];
I5arrayfun((d) integral((z) g_z(z), d-H/2,dH/2), d);
I50.083734*I5;
I6[];
I7[];
I8[];for i1:length(d)dx0.5;dy0.5;dz0.5;%%%以下计算 I2% 初始化黎曼和sum0;% 计算黎曼和zmin d(i) - R - 0.5 * H;zmax d(i) - 0.5 * H;xmin (z) -L/2-sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2);xmax (z) -L/2;ymin (x,z) -W/2-sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2-(xL/2).^2);ymax (x,z) W/2sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2-(xL/2).^2);for z zmin:dz:zmaxx1xmin(z);xuxmax(z);for x x1:dx:xuy1ymin(x,z);yuymax(x,z);for y y1:dy:yusum sum fun(x,y,z) * dx * dy * dz;endendendI2[I2 sum];
end%%%以下计算 I3
% 初始化黎曼和
sum0;
% 计算黎曼和
zmin d(i) - R - 0.5 * H;
zmax d(i) - 0.5 * H;
xmin -0.5*L;
xmax 0.5*L;
ymin (z) -W/2-sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2);
ymax (z) W/2sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2);
sum 0;
for z zmin:dz:zmaxxlxmin;xuxmax(z);
for x x1:dx:xuylymin(z);yuymax(z);for y y1:dy:yusum sum fun(x,y,z) * dx * dy * dz;end
end
end
I3[I3 sum];%%%以下计算 I4
% 初始化黎曼和
sum0;
% 计算黎曼和
zmin d(i) - R - 0.5 * H;
zmax d(i) - 0.5 * H;
xmin (z) L/2;
xmax (z) L/2sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2);
ymin (x,z) -W/2-sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2-(x-L/2).^2);
ymax (x,z) W/2sqrt(R^2 - (d(i) - z - H/2).^2-(x-L/2).^2);
sum 0;
for z zmin:dz:zmaxxlxmin(z);xuxmax(z);for x x1:dx:xuylymin(x,z);yuymax(x,z);for y y1:dy:yusum sum fun(x,y,z) * dx * dy * dz;endend
end
I4[I4 sum];%%%以下计算 I6
% 初始化黎曼和
sum0;
% 计算黎曼和
zmin d(i) 0.5 * H;
zmax d(i) R 0.5 * H;
xmin (z) -L/2-sqrt(R^2 - (d(i) - z H/2).^2);
xmax (z) -L/2;
ymin (x,z) -W/2-sqrt(R^2 - (d(i) - z H/2).^2-(xL/2).^2);
ymax (x,z) W/2sqrt(R^2 - (d(i) - z H/2).^2-(xL/2).^2);
for z zmin:dz:zmaxxlxmin(z);xuxmax(z);for x x1:dx:xuylymin(x,z);yuymax(x,z);for y y1:dy:yusum sum fun(x,y,z) * dx * dy * dz;endend
end1. import numpy as np2. from scipy.stats import truncnorm3. from scipy.integrate import quad4. import pandas as pd5. import matplotlib.pyplot as plt6. import matplotlib
13. h0 200
14. sigma_z 50
15. l 150
18. def truncated_normal_density(z):19. a, b (l-h0) /sigma_z, float(inf) 20. scale sigma_z21. loc h022. return truncnorm.pdf(z, a,b, locloc, scalescale)
25. def calculate_integral(z0):26. lower_bound z0-1027. upper_bound z01028. result, _ quad(truncated_normal_density, lower_bound, upper_bound)29. return result
32. def main():33. z0_values np.arange(100,200, 0.0001)34. integral_values [calculate_integral(z0) for z0 in z0_values]37. df pd.DataFrame({38. z0 (meters): z0_values,39. Integral Value:integral_values40. })41. df.to_excel(result.xlsx,indexFalse)
44. plt.figure(figsize(30, 20))45. plt.plot(z0_values, integral_values, markero, linestyle*,colory)46. plt.xlabel()47. plt.ylabel()49. plt.grid(True)50. plt.savefig(2.jpg)51. plt.show()53. if __name__ __main__:54. main()全部论文及程序请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可
