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#x1f4dc;皂膜用例#xff1a;Python计算物理粒子及拉格朗日和哈密顿动力学 | Python和MATLAB粘性力接触力动…要点
肥皂泡二维流体模拟 | 泡沫普拉托边界膜曲面模型算法演化厚度变化 | 螺旋曲面三周期最小结构生成
皂膜用例Python计算物理粒子及拉格朗日和哈密顿动力学 | Python和MATLAB粘性力接触力动态模型半隐式欧拉算法 Python(MATLAB)三维曲面图
普拉托定律描述了肥皂膜的结构。这些定律是由比利时物理学家普拉托在 19 世纪根据他的实验观察制定的。自然界中的许多图案都是基于遵守这些定律的泡沫。此定律描述了皂膜的形状和构造如下
肥皂膜由整个完整的光滑表面制成肥皂膜的一部分的平均曲率在同一块肥皂膜上的任何点处处处恒定肥皂膜总是沿着称为普拉托边界的边缘成三块相交并且它们以 arccos(− 1 / 2 ) 120°‘这些普拉托边界在一个顶点处以四面体角 arccos(− 1 / 3 ) ≈ 109.47°。
除普拉托定律之外的结构是不稳定的并且薄膜将很快倾向于重新排列自身以符合这些定律。美国数学家吉恩·艾伦·泰勒使用几何测量理论在数学上证明了这些定律适用于最小曲面。
肥皂膜是被空气包围的薄层液体通常为水基。例如如果两个肥皂泡接触它们会合并并在其间形成一层薄膜。因此泡沫由通过普拉托边界连接的薄膜网络组成。肥皂膜可用作极小曲面的模型系统极小曲面在数学中被广泛使用。
从数学角度来看肥皂膜是最小表面。表面张力是单位面积产生表面所需的能量。薄膜——与任何物体或结构一样——倾向于以最小势能状态存在。为了最小化其能量自由空间中的液滴自然呈现球形对于给定的体积其表面积最小。水坑和薄膜可以在其他力的存在下存在例如重力和对基质原子的分子间吸引力。后一种现象称为润湿基质原子和薄膜原子之间的结合力会导致总能量降低。在这种情况下物体的最低能量配置是尽可能多的薄膜原子尽可能靠近基质。这将导致无限薄的薄膜无限广泛地分布在基质上。实际上粘附润湿效应导致表面最大化和表面张力效应导致表面最小化会相互平衡稳定的结构可以是液滴、水坑或薄膜具体取决于作用于身体的力。
Python绘制三维曲面
Matplotlib 的 mpl_toolkits.mplot3d 工具包中的 axis3d 提供了用于创建三维曲面图的必要函数。曲面图是通过使用 ax.plot_surface() 函数创建的。
语法
ax.plot_surface(X, Y, Z)其中 X 和 Y 是 x 和 y 点的二维数组而 Z 是高度的二维数组。
示例
# Import libraries
from mpl_toolkits import mplot3d
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltx np.outer(np.linspace(-3, 3, 32), np.ones(32))
y x.copy().T # transpose
z (np.sin(x **2) np.cos(y **2) )fig plt.figure(figsize (14, 9))
ax plt.axes(projection 3d)ax.plot_surface(x, y, z)
plt.show()梯度曲面图是三维曲面图与二维轮廓图的组合。在此图中三维曲面的颜色与二维轮廓图相同。曲面较高的部分与曲面较低的部分颜色不同。
语法
surf ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap, linewidth0, antialiasedFalse)属性 cmap 设置表面的颜色。还可以通过调用Fig.colorbar来添加颜色条。下面的代码创建一个梯度曲面图
from mpl_toolkits import mplot3d
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltx np.outer(np.linspace(-3, 3, 32), np.ones(32))
y x.copy().T # transpose
z (np.sin(x **2) np.cos(y **2) )fig plt.figure(figsize (14, 9))
ax plt.axes(projection 3d)
my_cmap plt.get_cmap(hot)surf ax.plot_surface(x, y, z,cmap my_cmap,edgecolor none)fig.colorbar(surf, ax ax,shrink 0.5, aspect 5)ax.set_title(Surface plot)
plt.show()
使用 Matplotlib 绘制的三维曲面图可以投影到二维曲面上。下面的代码创建三维图并可视化其在二维等高线图上的投影
from mpl_toolkits import mplot3d
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltx np.outer(np.linspace(-3, 3, 32), np.ones(32))
y x.copy().T # transpose
z (np.sin(x **2) np.cos(y **2) )fig plt.figure(figsize (14, 9))
ax plt.axes(projection 3d)my_cmap plt.get_cmap(hot)surf ax.plot_surface(x, y, z, rstride 8,cstride 8,alpha 0.8,cmap my_cmap)
cset ax.contourf(x, y, z,zdir z,offset np.min(z),cmap my_cmap)
cset ax.contourf(x, y, z,zdir x,offset -5,cmap my_cmap)
cset ax.contourf(x, y, z, zdir y,offset 5,cmap my_cmap)
fig.colorbar(surf, ax ax, shrink 0.5,aspect 5)ax.set_xlabel(X-axis)
ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylabel(Y-axis)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_zlabel(Z-axis)
ax.set_zlim(np.min(z), np.max(z))
ax.set_title(3D surface having 2D contour plot projections)plt.show()MATLAB最小曲面
构造最小曲面
n35;
[X,Y,Z]meshgrid(linspace(-pi,pi,n));
[F,V] isosurface(X,Y,Z,S,0);曲面可视化
cFigure;
hold on;
title(Schwarz P-surface,FontSize,fontSize);
gpatch(F,V,kw,k,1);
axisGeom;
camlight headlight;
drawnow;可视化曲面所有变体
cFigure;subplot(2,3,1);
title(Schwarz P-surface,FontSize,fontSize);
hold on;
gpatch(F,V,pColors(1,:),none,1);
axisGeom;
camlight headlight; lighting gouraud;
view(-50,30);[X,Y,Z]meshgrid(linspace(-pi,pi,n));
[F,V] isosurface(X,Y,Z,S,0.1);subplot(2,3,2);
title(d,FontSize,fontSize);
hold on;
gpatch(F,V,pColors(2,:),none,1);
axisGeom;
camlight headlight; lighting gouraud;
view(-50,30);[X,Y,Z]meshgrid(linspace(-2*pi,2*pi,n));
[F,V] isosurface(X,Y,Z,S,0.6);subplot(2,3,3);
title(Gyroid,FontSize,fontSize);
hold on;
gpatch(F,V,pColors(3,:),none,1);
axisGeom;
camlight headlight; lighting gouraud;
view(-50,30);[X,Y,Z]meshgrid(linspace(-pi,pi,n));
[F,V] isosurface(X,Y,Z,S,0);subplot(2,3,4);
title(Neovius,FontSize,fontSize);
hold on;
gpatch(F,V,pColors(4,:),none,1);
axisGeom;
camlight headlight; lighting gouraud;
view(-50,30);[X,Y,Z]meshgrid(linspace(-pi,pi,n));
[F,V] isosurface(X,Y,Z,S,0);subplot(2,3,5);
title(w,FontSize,fontSize);
hold on;
gpatch(F,V,pColors(5,:),none,1);
axisGeom;
camlight headlight; lighting gouraud;
view(-50,30);[X,Y,Z]meshgrid(linspace(-pi,pi,n));
[F,V] isosurface(X,Y,Z,S,0.5);subplot(2,3,6);
title(pw,FontSize,fontSize);
hold on;
gpatch(F,V,pColors(6,:),none,1);
axisGeom;
camlight headlight; lighting gouraud;
view(-50,30);
drawnow;参阅计算思维 | 亚图跨际
