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部分可能会有用处的知识#xff1a; p p p进制转十进制#xff1a; 假设有一个 p p p进制数#xff0c;个位是 a 0 a_0 a0#xff0c;向高位依次是 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an#xff0c;向低位依次是 b 1 , b 2 , b 3 , . . . …原题
部分可能会有用处的知识 p p p进制转十进制 假设有一个 p p p进制数个位是 a 0 a_0 a0向高位依次是 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1,a_2,...,a_n a1,a2,...,an向低位依次是 b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b k b_1,b_2,b_3,...,b_k b1,b2,b3,...,bk那么它的整数部分就相当于 10 10 10进制中的 Σ i : 0 → n a i p i a 0 × p 0 a 1 × p 1 . . . a n × p n \Sigma_{i:0\rightarrow n}a_ip^ia_0\times p^0a_1\times p^1...a_n\times p^n Σi:0→naipia0×p0a1×p1...an×pn 相应的小数部分是 Σ i : 1 → n b i p − i b 1 × p − 1 b 2 × p − 2 . . . b n × p − n \Sigma_{i:1\rightarrow n}b_ip^{-i}b_1\times p^{-1}b_2\times p^{-2} ...b_n\times p^{-n} Σi:1→nbip−ib1×p−1b2×p−2...bn×p−n 十进制转 p p p进制以此类推。 例如将 10 0 10 100_{10} 10010转换为 N 16 N_{16} N16 将 100 100 100除以 16 16 16得商 6 6 6余数 4 4 4 ∴ \therefore ∴个位是 4 4 4再将 6 6 6除以 16 16 16得商 0 0 0余数 6 6 6 ∴ 4 \therefore 4 ∴4的高一位是 6 6 6。 ∴ 10 0 10 6 4 16 \therefore 100_{10}64_{16} ∴100106416。 那么如果想把 p p p进制和 q q q进制相转换只需要借助十进制过渡一下即可。 在这里我们约定 A 10 , B 11 , C 12 , . . . , Z 35 A10,B11,C12,...,Z35 A10,B11,C12,...,Z35
将 102 4 1048576 1024^{1048576} 10241048576进制下的 2 0 2 1 2 2 . . . 2 10485759 2 10485760 \dfrac{2^02^12^2...2^{10485759}}{2^{10485760}} 210485760202122...210485759转为 [ ( 102 4 524288 1 ) ( 102 4 262144 1 ) ( 102 4 131072 1 ) ( 102 4 65536 1 ) . . ( 1024 − 1 ) 2 ] [(1024^{524288}1)(1024^{262144}1)(1024^{131072}1)(1024^{65536}1)..(1024-1)2] [(10245242881)(10242621441)(10241310721)(1024655361)..(1024−1)2]进制下的数字。 为书写方便约定 α 1024 , β 102 4 1048576 \alpha 1024,\beta 1024^{1048576} α1024,β10241048576, γ 1 β − 1 \gamma_1\beta-1 γ1β−1, γ i β − i \gamma_i\beta-i γiβ−i。例如 1024 × 1025 1024 1024\times10251024 1024×10251024在 1025 1025 1025进制中可以写作 α α \alpha\alpha αα 解
对于 p p p进制显然 1 p − 1 0.1111111.... \frac{1}{p-1}0.1111111.... p−110.1111111....
证明 p p p进制中 0.11111... p − 1 p − 2 . . . L e t S p − 1 p − 2 . . . ∴ p S S 1 , p S − S 1 ∴ ( p − 1 ) S 1 ∴ S 1 p − 1 0.11111...p^{-1}p^{-2}...\\ Let\ Sp^{-1}p^{-2}...\\ \therefore pSS1,pS-S1\\ \therefore (p-1)S1\\ \therefore S\frac{1}{p-1} 0.11111...p−1p−2...Let Sp−1p−2...∴pSS1,pS−S1∴(p−1)S1∴Sp−11
令 p 102 4 1048576 p1024^{1048576} p10241048576化简原分式得 p − 1 p \frac{p-1}{p} pp−1 令 s p 1 102 4 1048576 1 , p s − 1 sp11024^{1048576}1,ps-1 sp1102410485761,ps−1原问题等同于求 s s s进制下的 s − 2 s − 1 \frac{s-2}{s-1} s−1s−2。 那么答案显然为 ( 102 4 1048576 − 1 ) × 0.1111... 0. γ 1 γ 1 γ 1 . . . (1024^{1048576}-1)\times0.1111...0.\gamma_1\gamma_1\gamma_1... (10241048576−1)×0.1111...0.γ1γ1γ1...。
