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【题目分析】
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目标是设计一个高效的抽样检测方案#xff0c;在尽量少的样本数量下#xff0c;确保在高信度水平下做出正确的接受或拒收决策。需要处理两个不同的信度要求#xff0c;这对样本量的计算提…2024年国赛B题解题思路 问题 1: 抽样检测方案设计
【题目分析】
分析
目标是设计一个高效的抽样检测方案在尽量少的样本数量下确保在高信度水平下做出正确的接受或拒收决策。需要处理两个不同的信度要求这对样本量的计算提出了挑战。
思路
贝叶斯抽样优化可以使用贝叶斯方法结合贝叶斯抽样优化Bayesian Optimization来动态调整样本量以达到所需的信度水平。通过将次品率建模为贝叶斯后验分布可以逐步减少样本量同时保证决策的可靠性。自适应序贯抽样使用逐步抽样方法根据初始样本的检测结果动态调整后续样本量优化检测成本和时间。蒙特卡洛模拟模拟大量的抽样检测场景估计在不同样本量下达成信度要求的概率找到最小样本量的解决方案。
【解题思路】
目标
设计一个抽样检测方案以确定是否接受供应商提供的零配件要求在尽可能少的检测次数下达到两个信度标准
在 95% 信度下认定零配件次品率超过标称值拒收。在 90% 信度下认定零配件次品率不超过标称值接收。
建模过程
定义变量和假设 设次品率为p 标称次品率为p00.10 即10%。抽样样本量为n 检测出次品的数量为 x。我们需要对p 进行假设检验并根据检验结果决定是否接受或拒收。 2. 抽样检测模型
根据二项分布我们有 。检验假设
原假设
备择假设用于拒收的情况
使用正态近似来简化问题当 n较大时 可近似为正态分布 标准化后的检测统计量为 3. 检验条件
我们设定显著性水平α 对应的信度为1-α 。对于拒收情况信度为 95%则 α0.05。计算临界值其中为标准正态分布的逆函数。对于接收情况信度为 90%则 α0.10。
4. 计算样本量n 拒收的决策规则若 ZZ0.05则拒收。结合样本量的计算公式我们得到 通过展开可以得到对 n 的不等式 为简化计算可以迭代求解n。
5. 智能优化算法引入
为了优化样本量 n引入贝叶斯优化。贝叶斯优化是一种基于高斯过程Gaussian Process的黑箱优化方法可以在不确定的环境下高效找到最优参数。步骤 定义目标函数最小化检测成本 其中 c 为单次检测成本。目标函数中包含信度约束使用贝叶斯优化逐步逼近最优的 n。通过模拟不同的样本量 n评估在95%和90%信度下的检测成功率并调整 n 使得目标函数最小。
6. 贝叶斯优化流程 初始化样本集随机选择 n0 的样本量进行检测计算检测成本。使用高斯过程拟合当前的检测结果。通过高斯过程预测新的 n并计算期望改进Expected Improvement, EI。选择使期望改进最大的 n 作为下一步的检测样本量。更新高斯过程模型重复迭代直到找到满足信度约束且成本最低的样本量n* 。
7. 最终方案
通过贝叶斯优化得到的最优样本量 n*将其应用于实际的检测流程中以确保在满足信度要求的情况下尽可能减少检测次数。
公式总结
检测统计量
临界值条件ZZ0.05拒收ZZ0.10接受
样本量不等式
目标函数最小化
【Python参考代码】
# 定义检测成本函数
def detection_cost(n, c):return n * c# 定义统计检验函数
def hypothesis_test(n, p0, alpha, x):# 计算标准化的Z统计量p_hat x / nZ (p_hat - p0) / np.sqrt(p0 * (1 - p0) / n)# 计算临界值Z_alpha norm.ppf(1 - alpha)return Z, Z_alpha# 定义目标函数贝叶斯优化用
def objective(n):n int(n[0]) # 样本量必须是整数c 2 # 单次检测成本设为2元可以根据具体情况调整p0 0.10 # 标称次品率alpha_reject 0.05 # 拒收信度为95%alpha_accept 0.10 # 接收信度为90%# 模拟检测x个次品x binom.rvs(n, p0) # 假设次品率刚好为标称值# 进行拒收和接收检验Z_reject, Z_alpha_reject hypothesis_test(n, p0, alpha_reject, x)Z_accept, Z_alpha_accept hypothesis_test(n, p0, alpha_accept, x)# 判断是否满足信度条件if Z_reject Z_alpha_reject and Z_accept Z_alpha_accept:# 若同时满足拒收和接收信度要求则计算成本cost detection_cost(n, c)else:# 若不满足信度要求则设为较高的惩罚成本cost detection_cost(n, c) 1000 # 惩罚项return costfrom skopt.space import Real, Integer# 定义优化参数空间
param_space [Integer(10, 1000, namen)]# 使用贝叶斯优化进行最小化
result gp_minimize(objective, param_space, n_calls50, random_state0)# 输出最优样本量和最小检测成本
print(fOptimal sample size: {result.x[0]})
print(fMinimum detection cost: {result.fun})
# 绘制优化过程的收敛情况
plot_convergence(result)
plt.title(Convergence Plot of Bayesian Optimization)
plt.xlabel(Number of Calls)
plt.ylabel(Objective Function Value (Cost))
plt.grid(True)
plt.show()# 绘制样本量与检测成本的关系
sample_sizes np.arange(10, 1000, 10)
costs [objective([n]) for n in sample_sizes]plt.figure(figsize(10, 6))
plt.plot(sample_sizes, costs, -o, markersize4, colorb, labelDetection Cost)
plt.axvline(result.x[0], colorr, linestyle--, labelfOptimal Sample Size: {result.x[0]})
plt.title(Detection Cost vs. Sample Size)
plt.xlabel(Sample Size)
plt.ylabel(Detection Cost)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
