织梦同时运行多个网站,电子商务包括哪些,企业宣传片文案模板,薪酬体系搭建工具2025年数学建模美赛 A题分析#xff08;1#xff09;Testing Time: The Constant Wear On Stairs 2025年数学建模美赛 A题分析#xff08;2#xff09;楼梯磨损分析模型 2025年数学建模美赛 A题分析#xff08;3#xff09;楼梯使用方向偏好模型 2025年数学建模美赛 A题分… 2025年数学建模美赛 A题分析1Testing Time: The Constant Wear On Stairs 2025年数学建模美赛 A题分析2楼梯磨损分析模型 2025年数学建模美赛 A题分析3楼梯使用方向偏好模型 2025年数学建模美赛 A题分析4楼梯使用人数模型 特别提示
本文针对 2025年 A题进行分析每天不断更新建议收藏。其它题目的分析详见【youcans 的数学建模课】 专栏。 文章目录 2025年数学建模美赛 A题分析3楼梯方向偏好模型1. 问题概述2. 楼梯使用方向偏好数学模型2.1 楼梯使用方向偏好数学模型的建立2.2 所需数据与测量方法2.3 假设条件 3. 模型推导3.1 基本概念3.2 磨损深度与方向偏好的关系3.3 磨损深度的计算 4. 实施步骤5. 模型验证6. 模型结论7. 图像区域分割基本方法例程 11.25图像分割之区域生长 8. 基于 k 均值聚类的区域分割例程 11.27图像分割之 k 均值聚类 2025年数学建模美赛 A题分析3楼梯方向偏好模型 1. 问题概述
用于建造台阶的石材和其他材料经受着持续的长期磨损并且这种磨损可能是不均匀的。
问题的任务是开发一个模型通过特定楼梯的磨损模式得出以下基本预测
楼梯使用的频率。使用楼梯时是否更倾向于某一方向。同时使用楼梯的人数例如人们是否成对并排爬楼梯还是单列行走。
进一步地假设已经获得楼梯的建造年代、使用方式以及建筑中日常生活模式的估算信息需要回答以下问题
磨损是否与现有信息一致楼梯的年龄及其估算的可靠性如何楼梯是否经历过维修或翻修能否确定材料的来源例如石材的磨损是否与考古学家认为的原始采石场材料一致若使用木材其磨损是否与假定使用的树种和年代相符有关楼梯典型每日使用人数的信息以及是否有大量人群在短时间内使用或少量人群长期使用的情况 2. 楼梯使用方向偏好数学模型
2.1 楼梯使用方向偏好数学模型的建立
楼梯使用方向偏好分析的目标是确定使用者是否倾向于某一特定方向上或下楼梯以及这种偏好的强度。通过分析楼梯磨损的空间分布可以量化这一偏好。 2.2 所需数据与测量方法 必须测量的数据 1磨损深度的空间分布 获取楼梯表面每一位置的磨损深度分布尤其是台阶中心区域、边缘区域以及上下坡方向的差异。 数据形式三维高度模型或磨损深度的二维热力图。 2楼梯的空间布局 台阶的宽度、坡度和方向性确定不同区域的使用路径。 3台阶材料特性确定磨损速率是否一致上下坡可能因压力差异导致磨损不同。 非破坏性测量方法 激光扫描获取磨损深度和分布的高精度数据。 3D建模重建台阶表面分析上下坡方向的磨损特征。 图像处理通过光学方法分析楼梯表面纹理变化。 其他辅助信息 使用的历史记录如建筑物的使用时间、功能宗教场所、住宅等以及可能的高峰使用时期。 2.3 假设条件 磨损方向性假设 假设磨损深度与使用方向直接相关上楼使用可能集中在前脚掌区域而下楼使用可能在台阶边缘造成更多磨损。 对称性假设 若楼梯不存在明显的方向性限制如仅供单向使用则在没有方向偏好的情况下磨损应在两侧和上下方向接近对称。 单一变量假设 假设影响磨损的主导因素是方向偏好排除其他次要因素如特殊气候条件、个别异常使用情况。 3. 模型推导
3.1 基本概念
方向偏好用一个比率量化表示上下楼人流量的分布 P u p N u p N u p N d o w n P_{up} \frac{N_{up}}{N_{up} N_{down}} PupNupNdownNup P d o w n N d o w n N u p N d o w n P_{down} \frac{N_{down}}{N_{up} N_{down}} PdownNupNdownNdown
其中
Pup、Pdown 分别表示上楼和下楼的方向偏好比例。Nup、Ndown 分别表示上楼和下楼的人次。 3.2 磨损深度与方向偏好的关系
假设楼梯的上下坡方向产生不同的磨损模式
上楼磨损多集中于台阶前缘和中心位置。下楼磨损多集中于台阶边缘位置。
根据上下方向的磨损深度差异可以通过以下公式推导偏好比例 P u p d u p d u p d d o w n P_{up} \frac{d_{up}}{d_{up} d_{down}} Pupdupddowndup P d o w n d d o w n d u p d d o w n P_{down} \frac{d_{down}}{d_{up} d_{down}} Pdowndupddownddown
其中 d u p d_{up} dup 表示上楼方向的磨损深度总和。 d d o w n d_{down} ddown 表示下楼方向的磨损深度总和。 3.3 磨损深度的计算
区域分割 将楼梯的踏面分为两部分
上楼区域台阶中心靠近上方方向的位置。下楼区域台阶边缘靠近下方方向的位置。
深度积分 对每个区域的磨损深度进行积分计算总和 d u p ∫ u p a r e a h ( x , y ) d x d y d_{up} \int_{up area} h(x,y) dxdy dup∫upareah(x,y)dxdy d d o w n ∫ d o w n a r e a h ( x , y ) d x d y d_{down} \int_{down area} h(x,y) dxdy ddown∫downareah(x,y)dxdy
其中 h ( x , y ) h(x,y) h(x,y)是每个点的磨损深度。 4. 实施步骤 数据采集 1获取磨损分布通过激光扫描或3D建模获取楼梯表面磨损深度的分布图。 2区域划分根据楼梯几何特性划分上楼区域和下楼区域。 3材料特性校准验证材料的磨损速率是否在两个方向一致。 参数计算 1对磨损深度分布进行积分分别计算 d u p d_{up} dup 和 d d o w n d_{down} ddown。 2计算偏好比例 P u p d u p d u p d d o w n P_{up} \frac{d_{up}}{d_{up} d_{down}} Pupdupddowndup P d o w n d d o w n d u p d d o w n P_{down} \frac{d_{down}}{d_{up} d_{down}} Pdowndupddownddown
结果分析 1偏好程度
2偏好强度通过偏好比率的偏离程度量化如 Δ P ∣ P u p − P d o w n ∣ \Delta P |P_{up} - P_{down}| ΔP∣Pup−Pdown∣ 5. 模型验证 实验验证 在实验室中模拟上下楼的人流行为记录磨损分布验证模型预测的方向偏好是否与实际数据一致。 历史数据验证 若存在建筑物的使用记录检查预测的方向偏好是否符合历史使用情况。 6. 模型结论 模型的适用性 通过分析磨损深度分布模型能有效推导楼梯的方向偏好。 适用于台阶磨损明显且历史记录缺乏的场景。 改进方向 考虑非均匀使用如特定时间段方向使用更集中。 引入人群行为模型结合楼梯宽度和空间限制优化预测。 7. 图像区域分割基本方法
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】168.图像分割之区域生长
区域生长方法将具有相似性质的像素或子区域组合为更大区域。
区域生长方法是以区域为处理对象基于区域内部和区域之间的同异性尽量保持区域中像素的临近性和一致性的统一 。
区域生长的基本方法是对于一组“种子”点通过把与种子具有相同预定义性质如灰度或颜色范围的邻域像素合并到种子像素所在的区域中再将新像素作为新的种子不断重复这一过程直到没有满足条件的像素为止。
种子点的选取经常采用人工交互方法实现也可以寻找目标物体并提取物体内部点或利用其它算法找到的特征点作为种子点。
区域增长方法的步骤 1对图像自上而下、从左向右扫描找到第 1 个还没有访问过的像素将该像素作为种子 (x0, y0) 2以 (x0, y0) 为中心, 考虑其 4 邻域或 8 邻域像素 (x, y)如果其邻域满足生长准则 则将 (x, y) 与 (x0, y0) 合并到同一区域同时将 (x, y) 压入堆栈 3从堆栈中取出一个像素作为种子 (x0, y0) 继续步骤2 4当堆栈为空时返回步骤1; 5重复步骤1-4直到图像中的每个点都被访问过算法结束。 例程 11.25图像分割之区域生长 # # 11.25 图像分割之区域生长def getGrayDiff(image, currentPoint, tmpPoint): # 求两个像素的距离return abs(int(image[currentPoint[0], currentPoint[1]]) - int(image[tmpPoint[0], tmpPoint[1]]))# 区域生长算法def regional_growth(img, seeds, thresh5):height, weight img.shapeseedMark np.zeros(img.shape)seedList []for seed in seeds:if (0seed[0]height and 0seed[1]weight): seedList.append(seed)label 1 # 种子位置标记connects [(-1,-1), (0,-1), (1,-1), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0)] # 8 邻接连通while (len(seedList) 0): # 如果列表里还存在点currentPoint seedList.pop(0) # 将最前面的那个抛出seedMark[currentPoint[0], currentPoint[1]] label # 将对应位置的点标记为 1for i in range(8): # 对这个点周围的8个点一次进行相似性判断tmpX currentPoint[0] connects[i][0]tmpY currentPoint[1] connects[i][1]if tmpX0 or tmpY0 or tmpXheight or tmpYweight: # 是否超出限定阈值continuegrayDiff getGrayDiff(img, currentPoint, (tmpX, tmpY)) # 计算灰度差if grayDiffthresh and seedMark[tmpX,tmpY]0:seedMark[tmpX, tmpY] labelseedList.append((tmpX, tmpY))return seedMark# 区域生长 主程序img cv2.imread(../images/Fig1051a.tif, flags0)# # 灰度直方图# histCV cv2.calcHist([img], [0], None, [256], [0, 256]) # 灰度直方图# OTSU 全局阈值处理ret, imgOtsu cv2.threshold(img, 127, 255, cv2.THRESH_OTSU) # 阈值分割, threshT# 自适应局部阈值处理binaryMean cv2.adaptiveThreshold(img, 255, cv2.ADAPTIVE_THRESH_MEAN_C, cv2.THRESH_BINARY, 5, 3)# 区域生长图像分割# seeds [(10, 10), (82, 150), (20, 300)] # 直接给定 种子点imgBlur cv2.blur(img, (3,3)) # cv2.blur 方法_, imgTop cv2.threshold(imgBlur, 250, 255, cv2.THRESH_BINARY) # 高百分位阈值产生种子区域nseeds, labels, stats, centroids cv2.connectedComponentsWithStats(imgTop) # 过滤连通域获得质心点 (x,y)seeds centroids.astype(int) # 获得质心像素作为种子点imgGrowth regional_growth(img, seeds, 8)plt.figure(figsize(8, 6))plt.subplot(221), plt.axis(off), plt.title(Origin)plt.imshow(img, gray)plt.subplot(222), plt.axis(off), plt.title(OTSU(T{}).format(ret))plt.imshow(imgOtsu, gray)plt.subplot(223), plt.axis(off), plt.title(Adaptive threshold)plt.imshow(binaryMean, gray)plt.subplot(224), plt.axis(off), plt.title(Region grow)plt.imshow(255-imgGrowth, gray)plt.tight_layout()plt.show()8. 基于 k 均值聚类的区域分割
【youcans 的 OpenCV 例程200篇】170.图像分割之K均值聚类
聚类方法的思想是将样本集合按照其特征的相似性划分为若干类别使同一类别样本的特征具有较高的相似性不同类别样本的特征具有较大的差异性。
基于聚类的区域分割就是基于图像的灰度、颜色、纹理、形状等特征用聚类算法把图像分成若干类别或区域使每个点到聚类中心的均值最小。 a r g min C ( ∑ i 1 k ∑ z ∈ C i ∥ z − m i ∥ 2 ) arg \min_{C} \Big( \sum^k_{i1} \sum_{z \in C_i} \lVert z - m_i \rVert ^2 \Big) argCmin(i1∑kz∈Ci∑∥z−mi∥2) k 均值k-means是一种无监督聚类算法。基于 k 均值聚类算法的区域分割算法步骤为
1首先从图像中选取 k 个点作为初始的聚类中心
2对所有的像素点计算像素到每个聚类中心的距离将像素分类到距离最小的一个聚类中
3根据分类结果计算出新的聚类中心
4如此反复迭代直到聚类中心收敛到稳定值。
OpenCV 提供了函数 cv.kmeans 来实现 k-means 聚类算法。函数 cv.kmeans 不仅可以基于灰度、颜色对图像进行区域分割也可以基于样本的其它特征如纹理、形状进行聚类。
函数说明
cv.kmeans(data, K, bestLabels, criteria, attempts, flags[, centers]) → compactness, labels, centersdst函数 cv.kmeans 实现 k-means 算法寻找聚类中心并按聚类对输入样本进行分组。
参数说明
data用于聚类的数据N 维数组类型为 CV_32F、CV_32FC2K设定的聚类数量bestLabels整数数组分类标签每个样本的所属聚类的序号criteria元组 (type, max_iter, epsilon)算法结束标准最大迭代次数或聚类中心位置精度 cv2.TERM_CRITERIA_EPS如果达到指定的精度 epsilon则停止算法迭代cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER在指定的迭代次数max_iter之后停止算法cv2.TERM_CRITERIA_EPS cv.TERM_CRITERIA_MAX_ITER当满足上述任何条件时停止迭代 attempts标志指定使用不同聚类中心初值执行算法的次数flags像素邻域的尺寸用于计算邻域的阈值通常取 357 cv2. KMEANS_RANDOM_CENTERS随机产生聚类中心的初值cv2. KMEANS_PP_CENTERSKmeans 中心初始化方法cv2. KMEANS_USE_INITIAL_LABELS第一次计算时使用用户指定的聚类初值之后的计算则使用随机的或半随机的聚类中心初值 centers聚类中心数组每个聚类中心为一行可选项labels整数数组分类标签每个样本的所属聚类的序号centersdst聚类中心数组 例程 11.27图像分割之 k 均值聚类 # 11.27 图像分割之 k 均值聚类img cv2.imread(../images/imgB6.jpg, flags1) # 读取彩色图像(BGR)dataPixel np.float32(img.reshape((-1, 3)))criteria (cv2.TERM_CRITERIA_EPS cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 200, 0.1) # 终止条件flags cv2.KMEANS_RANDOM_CENTERS # 起始的中心选择K 3 # 设置聚类数_, labels, center cv2.kmeans(dataPixel, K, None, criteria, 10, flags)centerUint np.uint8(center)classify centerUint[labels.flatten()] # 将像素标记为聚类中心颜色imgKmean3 classify.reshape((img.shape)) # 恢复为二维图像K 4 # 设置聚类数_, labels, center cv2.kmeans(dataPixel, K, None, criteria, 10, flags)centerUint np.uint8(center)classify centerUint[labels.flatten()] # 将像素标记为聚类中心颜色imgKmean4 classify.reshape((img.shape)) # 恢复为二维图像K 5 # 设置聚类数_, labels, center cv2.kmeans(dataPixel, K, None, criteria, 10, flags)centerUint np.uint8(center)classify centerUint[labels.flatten()] # 将像素标记为聚类中心颜色imgKmean5 classify.reshape((img.shape)) # 恢复为二维图像plt.figure(figsize(9, 7))plt.subplot(221), plt.axis(off), plt.title(Origin)plt.imshow(cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)) # 显示 img1(RGB)plt.subplot(222), plt.axis(off), plt.title(K-mean (k3))plt.imshow(cv2.cvtColor(imgKmean3, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(223), plt.axis(off), plt.title(K-mean (k4))plt.imshow(cv2.cvtColor(imgKmean4, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.subplot(224), plt.axis(off), plt.title(K-mean (k5))plt.imshow(cv2.cvtColor(imgKmean5, cv2.COLOR_BGR2RGB))plt.tight_layout()plt.show()【未完待续请继续关注】 [2025年数学建模美赛 A题分析4楼梯使用人数模型]
