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定义 质因数#xff08;或质因子#xff09;在数论里是指能整除给定正整数的…每个合数都可以写成几个质数相乘的形式这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。
定义 质因数或质因子在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子1与任何正整数包括1本身都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。 例子 1没有质因子。 5只有1个质因子5本身。5是质数。 6的质因子是2和3。(6 2 × 3) 2、4、8、16等只有1个质因子22是质数4 28 2如此类推。 10有2个质因子2和5。(10 2 × 5) 就是一个数的约数并且是质数比如82×2×22就是8的质因数。122×2×32和3就是12的质因数。把一个式子以122×2×3的形式表示叫做分解质因数。162×2×2×2,2就是16的质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式表示这也是分解质因数。[1] 分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数得出的数若是一个质数就写成这个合数相乘形式若是一个合数就继续按原来的方法直至最后是一个质数 。 分解质因数的有两种表示方法除了大家最常用知道的“短除分解法”之外还有一种方法就是“塔形分解法”。 分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。 计算方法 短除法 求一个数分解质因数要从最小的质数除起一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法和除法的性质差不多还可以用来求多个个数的公因式 求最大公因数的一种方法也可用来求最小公倍数。 求几个数最大公因数的方法开始时用观察比较的方法即先把每个数的因数找出来然后再找出公因数最后在公因数中找出最大公因数。 例如求12与18的最大公因数。 12的因数有1、2、3、4、6、12。 18的因数有1、2、3、6、9、18。 12与18的公因数有1、2、3、6。 12与18的最大公因数是6。 这种方法对求两个以上数的最大公因数特别是数目较大的数显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。 122×2×3 182×3×3 12与18都可以分成几种形式不同的乘积但分成质因数连乘积就只有以上一种而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看12与18都有公约数2和3而它们的乘积2×36就是 12与18的最大公约数。 采用分解质因数的方法也是采用短除的形式只不过是分别短除然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除则更容易找出公约数和最大公约数。 从短除中不难看出12与18都有公约数2和3它们的乘积2×36就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较可以发现不仅结果相同而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数而两个数的最大公约数就是这两个数的公共质因数的连乘积。 实际应用中是把需要计算的两个或多个数放置在一起进行短除。 在计算多个数的最小公倍数时对其中任意两个数存在的约数都要算出其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。 只含有1个质因数的数一定是亏数。 短除法详解 短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数然后落下两个数被公有质因数整除的商之后再除以此类推直到结果互质为止两个数互质。 而在用短除计算多个数时对其中任意两个数存在的因数都要算出其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。 求最大公因数遍乘一边求最小公倍数遍乘一圈。 公约数亦称“公因数”。是几个整数同时均能整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的约数称这个整数为它们的“公约数”公约数中最大的称为最大公约数。 在用短除计算多个数时对其中任意两个数存在的因数都要算出其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公约数遍乘左边所有数公共的因数求最小公倍数遍乘一圈。这种方法对求两个以上数的最大公因数特别是数目较大的数显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法 Pollard Rho因数分解 1975年John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为On^(1/4)。 分解质因数代码 将一个正整数分解质因数。例如输入90,打印出902*3*3*5。 程序分析对n进行分解质因数应先找到一个最小的质数k然后按下述步骤完成 (1)如果这个质数恰等于n则说明分解质因数的过程已经结束打印出即可。 (2)如果nk但n能被k整除则应打印出k的值并用n除以k的商,作为新的正整数你n, 重复执行第一步。 (3)如果n不能被k整除则用k1作为k的值,重复执行第一步。 #include stdio.h
#include conio.h
main()
{int n,i;printf(\nplease input a number:\n);scanf(%d,n);printf(%d,n);for(i2;in;i)while(n!i){if(n%i0){printf(%d*,i);nn/i;}elsebreak;}printf(%d,n);getch();
} 另一种形式 //返回质因数数组
Integer[] decPrime(int n) { ListInteger list new ArrayListInteger(); for (int i2;i n;i){ while(n ! i){ if(n%i ! 0){ break;//不能整除肯定不是因数能够整除在这里一定是质数。因为所有的23,5,7 //都被除完之后。剩下的因数只能是奇数且是质数。 } list.add(Integer.valueOf(i)); n n/i; } } list.add(Integer.valueOf(n)); return list.toArray(new Integer[list.size()]);
} 另外代码 。我们用所有正整数试验一下从2开始进行试除逐步增加除数的值去寻找一个可以整除n的数。在Eratosthenes筛法的讨论中我们知道如果n是一个复合数那么它就会有一个素数 。算法9.3所示的就是这种方法的伪代码。这个算法有两个偱环路径外部的和内部的。外部循环求唯一因数内部循环求一个因数的多个复本。例如 外部循环求出因数2和3。内部循环求出2是一个多因数。 01void trial_divisio_fac(int n) 02{ 03 inta2; 04 while(a*an) 05 { 06 while(n%a0) 07 { 08 coutaends; 09 nn/a; 10 } 11 a; 12 } 13 if(n1) coutn;//n没有因数 14} 上面的代码解释比较清楚。为什么这种方法可以得到素数。 因为我们在内层循环中已经把当前a的所有倍数都去除了。这跟埃斯托尼算法是一样的。 复杂度 如果 这种情况下试除法通常都是很有效的。但是如果用来分解更大的整数试除法就变得非常低效甚至不可用了。这种算法的复杂度是随着n的增加呈指数级别增长的。 试除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。 给定一个合数n这里n是待分解的整数试除法看成是用小于等于的每个素数去试除待分解的整数。如果找到一个数能够整除除尽这个数就是待分解整数的因子。 ). 例9.29 运用试除算法求1233的因数。 12333^2*137. 转自http://www.cnblogs.com/youxin/p/3232049.html
