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0 序言
1 分段线性插值
2 多项式插值
3 样条插值
4 最小二乘拟合
5 多元线性回归 0 序言
在生产实践和科学研究中#xff0c;常常有这些问题:
插值问题#xff1a;由实验或测量得到变量间的一批离散样点#xff0c;要求得到变量之间的函数关系或得到样点之外的…目录
0 序言
1 分段线性插值
2 多项式插值
3 样条插值
4 最小二乘拟合
5 多元线性回归 0 序言
在生产实践和科学研究中常常有这些问题:
插值问题由实验或测量得到变量间的一批离散样点要求得到变量之间的函数关系或得到样点之外的数据值。即给定一组离散的数据点其中目标是找到一个函数使得该函数在给定的数据点处的函数值并且可以用这个函数来估计在数据点之间的x值对应的y值。拟合问题指找到一条曲线通常是某种函数形式来近似地表示一组数据点的分布规律。与插值不同的是拟合并不要求曲线一定通过所有的数据点而是要在整体上能够最好地描述数据的趋势。且最小。回归分析要关注一个因变量通常用表示和一个或多个自变量通常用表示之间的关系并且建立一个数学模型来描述这种关系同时还可以对模型的参数进行估计和检验。
拟合和回归分析都关注数据的整体趋势和模型构建拟合更侧重于曲线的近似回归分析更强调变量之间关系的统计推断。插值主要关注数据点之间的函数值估计在一定程度上也可以看作是一种特殊的数据拟合方式要求通过所有已知数据点。
1 分段线性插值
这是最通俗的一种插值方法直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 那么分段线性插值公式为 (由整理而来其中为斜率)
可以证明当分点足够多分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
例1求解标准正态分布
解由标准正态分布函数值表可以得到采用分段线性插值计算取区间插值函数则 利用分段线性插值式可得 2 多项式插值
多项式插值是指用一个多项式函数来通过给定的一组数据点。给定个不同的数据点要找一个次数不超过n的多项式
使得。
若要求得函数表达式可直接解方程组。若只要求得函数在插值点处数值可利用Lagrange插值公式 多项式插值光滑但不具有收敛性一般不宜采用高次多项式插值。
3 样条插值
样条本来是绘图员用于数据放样的工具。在画曲线时要求经过一些设定值且使整曲线都很光滑。以后逐渐发展成为一个应用极为广泛的数学分支。现在数学上所说的样条实质上指分段多项式的光滑连接。
设有区间[a,b]的一个划分称分段函数S(x)为k次样条函数若它满足:
S(x)在每个小区间上是次数不超过k次的多项式;S(x)在[a,b]上具有k-1阶连续导数。
用样条函数作出的插值称为样条插值。工程上广泛采用三次样条插值。
n段三次多项式共有4n个参数光滑性条件含3(n-1)个约束插值条件含(n1)个约束从而三次样条插值结果不唯一。另外需要2个定解条件。通常有下列4类条件。
非扭结第一、二端多项式三次项系数相同最后一段和倒数第二段三次项系数相同。
一阶导数。
二阶导数特别地当时称为自然样条。
周期样条(前提条件)当被插值函数为周期函数或封闭曲线宜适用周期样条。
4 最小二乘拟合
假设已知经验公式yf(c,x)(这里c和x均可为向量)要求根据一批有误差的数据,确定参数c。这样的问题称为曲线拟合其基本原理是最小二乘法,即求c使得均方误差 达到最小。当f关于c是线性函数(例如f(c,x)是x的多项式函数c为系数)问题转化为一个线性方程组求解且其解存在唯一。如果f关于c是非线性函数问题等价于个非线性函数极值问题。
5 多元线性回归
设有多元线性回归模型 其中。令,表示为 现获得y和的n组观测值(当回归模型中考虑常数项等价于取常数1)要求的估计值。设Y和X分别为相应n组观测值的和矩阵即 则的估计值为 对于任意的y 和的n组观测值由均可得到回归系数β的估计值要判断这一模型的有效性还要通过对于残差的分析以检验 例2测得平板表面3*5网格点处的温度如表1所列试作出平板表面的温度分布曲面的图形。
828180828479636165818484828586
解(1)先在三维坐标系画出原始数据
%先在三维坐标系画出原始数据
x1:5;
y1:3;
temps[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];
mesh(x,y,temps)
画出粗糙的平板温度分布曲面图 (2)在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值以平滑数据
%先在三维坐标系画出原始数据
x1:5;
y1:3;
temps[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];
cx1:0.2:5;
cy1:0.2:3;
czinterp2(x,y,temps,cx,cy,cubic);
mesh(cx,cy,cz)
画出插值后的平板温度分布曲面 注本篇内容均为对《MATLAB建模与仿真》(周品 赵新芬 编著国防工业出版社)摘录与个人归纳总结如需要更加详细了解可阅读原书“第9章 数据建模”部分。
