安平网站建设优化,好用的h5网站模板,高端网站建设怎么报名,成都程序员培训机构在时域信号中#xff0c;如果对一个包含不连续点的信号进行截断#xff0c;即使用有限个样本点来表示原本无限长或更长的信号#xff0c;那么在频域中这相当于对信号进行了乘以一个矩形窗的操作。这种操作会导致原信号频谱与矩形窗的频谱卷积#xff0c;从而在频域中引入额…在时域信号中如果对一个包含不连续点的信号进行截断即使用有限个样本点来表示原本无限长或更长的信号那么在频域中这相当于对信号进行了乘以一个矩形窗的操作。这种操作会导致原信号频谱与矩形窗的频谱卷积从而在频域中引入额外的频率成分这就是所谓的“频谱泄漏”Spectral Leakage。
频谱泄漏Spectral Leakage是指在对一个非周期信号或周期但长度与分析窗口不匹配的信号进行离散傅里叶变换DFT时信号的能量不再集中在原来的频率位置而是扩散到周围的频率上。这种现象主要是由于信号在时域中被截断所引起的。
同时在时域中这种截断也会导致Gibbs现象的发生即在信号的不连续点附近会出现振荡这些振荡的峰值不会随着采样点数目的增加而减少。
数学解释
假设有一个连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t)其傅里叶变换为 X ( f ) X(f) X(f)。当我们对该信号进行采样得到离散时间信号 x [ n ] x ( n T s ) x[n] x(nT_s) x[n]x(nTs)其中 T s T_s Ts是采样间隔 f s 1 / T s f_s 1/T_s fs1/Ts是采样频率。然后我们对 N N N个采样点进行 DFT得到离散频谱 X [ k ] X[k] X[k]。
1. 理想情况下的 DFT
如果 x ( t ) x(t) x(t)是一个周期信号并且采样点数 N N N恰好等于信号的一个完整周期则 DFT 可以完美地表示信号的频谱。此时DFT 的定义为 X [ k ] ∑ n 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π k n / N X[k] \sum_{n0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n / N} X[k]n0∑N−1x[n]e−j2πkn/N
2. 实际情况下的 DFT
然而大多数情况下信号不是严格周期的或者采样点数 N N N不等于信号的一个完整周期。在这种情况下信号在时域中被一个矩形窗 w [ n ] w[n] w[n]截断即 x N [ n ] x [ n ] ⋅ w [ n ] x_N[n] x[n] \cdot w[n] xN[n]x[n]⋅w[n]
其中矩形窗 w [ n ] w[n] w[n]定义为 w [ n ] { 1 if 0 ≤ n N 0 otherwise w[n] \begin{cases} 1 \text{if } 0 \leq n N \\ 0 \text{otherwise} \end{cases} w[n]{10if 0≤nNotherwise
因此实际的 DFT 变为 X N [ k ] ∑ n 0 N − 1 x [ n ] w [ n ] e − j 2 π k n / N X_N[k] \sum_{n0}^{N-1} x[n] w[n] e^{-j 2 \pi k n / N} XN[k]n0∑N−1x[n]w[n]e−j2πkn/N
根据傅里叶变换的性质时域中的乘积对应于频域中的卷积。因此实际的频谱 X w ( f ) X_w(f) Xw(f)可以表示为 X w ( f ) X ( f ) ∗ W ( f ) X_w(f) X(f) * W(f) Xw(f)X(f)∗W(f)
其中 W ( f ) W(f) W(f)是矩形窗的傅里叶变换即 W ( f ) sin ( π f N ) sin ( π f ) W(f) \frac{\sin(\pi f N)}{\sin(\pi f)} W(f)sin(πf)sin(πfN)
这个函数被称为 sinc 函数其主瓣宽度为 2 N \frac{2}{N} N2Hz旁瓣高度逐渐减小但始终存在。
频谱泄漏的影响
由于 W ( f ) W(f) W(f)的主瓣和旁瓣实际的频谱 X w ( f ) X_w(f) Xw(f)会受到以下影响
主瓣宽度主瓣越宽信号的能量就越分散导致分辨率降低。旁瓣高度旁瓣的存在会导致相邻频率成分之间的干扰使得频谱中的尖峰变得模糊。 增加数据长度——提高频率分辨率
