设计网站意味着什么,工作室是个体户还是公司,个人做排行网站,上海浦东发布官网第四章#xff0c;向量组#xff0c;2-矩阵等价与向量组等价的关系 矩阵乘法与线性表示矩阵等价与向量组等价 玩转线性代数(23)线性组合与线性表示的应用的笔记#xff0c;相关证明以及例子见原文 矩阵乘法与线性表示
设有 A m ∗ n B n ∗ l C m ∗ l A_{m*n}B_{n*l}C_{m… 第四章向量组2-矩阵等价与向量组等价的关系 矩阵乘法与线性表示矩阵等价与向量组等价 玩转线性代数(23)线性组合与线性表示的应用的笔记相关证明以及例子见原文 矩阵乘法与线性表示
设有 A m ∗ n B n ∗ l C m ∗ l A_{m*n}B_{n*l}C_{m*l} Am∗nBn∗lCm∗l那么A、B矩阵的行、列向量组与C的行、列向量组之间有什么关系呢 先看C的行向量组 C A B CAB CAB根据初等变换的知识A在B左边说明是对B进行的行变换此时的行变换不一定是初等行变换也不一定是可逆的将B的行变成了C的行故C的行向量组可以由B的行向量组来线性表示如下 ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ( b 1 T b 2 T ⋮ b n T ) ( c 1 T c 2 T ⋮ c m T ) \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1^T\\ b_2^T\\ \vdots \\ b_n^T\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_1^T\\ c_2^T\\ \vdots \\ c_m^T\\ \end{pmatrix} a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn b1Tb2T⋮bnT c1Tc2T⋮cmT 同理C的列向量组可由A的列向量组线性表示 ( c 1 c 2 ⋯ c l ) ( a 1 a 2 ⋯ a n ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n l ) \begin{pmatrix} c_1 c_2 \cdots c_l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 a_2 \cdots a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} b_{12} \cdots b_{1n} \\ b_{21} b_{22} \cdots b_{2n} \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \\ b_{n1} b_{n2} \cdots b_{nl} \\ \end{pmatrix} (c1c2⋯cl)(a1a2⋯an) b11b21⋮bn1b12b22⋮bn2⋯⋯⋮⋯b1nb2n⋮bnl
矩阵等价与向量组等价
矩阵等价是两个矩阵可经过初等变换来相互转化两个向量组等价是指它们可以相互线性表示。两个向量组等价的判断条件也已经清楚就是 R ( A ) R ( B ) R ( A , B ) R(A)R(B)R(A,B) R(A)R(B)R(A,B) 矩阵等价有行等价、列等价和等价有一种形式如何判断两个矩阵等价首先矩阵是同型矩阵其次矩阵A与B的秩相等。因为若 R ( A ) R ( B ) R(A)R(B) R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的即 A ∼ F ( E r 0 0 0 ) A\sim F\begin{pmatrix} E_r 0\\ 0 0 \end{pmatrix} A∼F(Er000),同时 B ∼ F ( E r 0 0 0 ) B\sim F\begin{pmatrix} E_r 0\\ 0 0 \end{pmatrix} B∼F(Er000) 根据等价矩阵的传递性知 A ∼ B A\sim B A∼B。 由此可知对两个向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m , B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l A:a_1,a_2,\cdots,a_m, B:b_1,b_2,\cdots,b_l A:a1,a2,⋯,am,B:b1,b2,⋯,bl和两个矩阵 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) , B : ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) A(a_1,a_2,\cdots,a_m), B:(b_1,b_2,\cdots,b_l) A(a1,a2,⋯,am),B:(b1,b2,⋯,bl)向量组A与B等价 ⇒ \Rightarrow ⇒矩阵A与B等价反之不成立。 若矩阵A与B等价可以推出的结论 1若 A ∼ r B A^r_{\sim}B A∼rB则存在可逆矩阵P使PAB即BPA所以B的行向量组可由A的行向量组线性表示同时有 A P − 1 B AP^{-1}B AP−1B所以A的行向量组也可以由B的行向量组线性表示说明A与B的行向量组等价 2若 A ∼ c B A^c_{\sim}B A∼cBA与B的列向量组是等价的。 其实线性表示与线性组合这些概念也可以用到方程组上对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合若其中一个方程可以写成其它方程的线性组合则称该方程可由其它方程线性表示若方程组B的每个方程都可由方程组A的线性表示就称方程组B能由方程组A线性表示这时方程组A 的解一定是方程组B的解若方程组A与方程组B能相互线性表示就称这两个方程组等价等价的方程组一定同解 为什么方程组B能由方程组A线性表示方程组A 的解一定是方程组B的解 理解方程组B能由方程组A线性表示即若 x ∈ A x\in A x∈A一定有 x ∈ B x\in B x∈B所以A的解都是B的解B的解集合范围大。
