网站改版意见,微软软件开发工程师待遇,免费企业邮箱账号密码,网络销售形式正定矩阵#xff08;Positive Definite Matrix#xff09;的定义与性质
正定矩阵在优化、机器学习、信号处理等领域中有广泛应用。以下是其定义、几何解释及性质。
1. 定义
一个 n n n \times n nn 的实对称矩阵 A A A 是正定矩阵#xff0c;当且仅当它满足以下等价条…正定矩阵Positive Definite Matrix的定义与性质
正定矩阵在优化、机器学习、信号处理等领域中有广泛应用。以下是其定义、几何解释及性质。
1. 定义
一个 n × n n \times n n×n 的实对称矩阵 A A A 是正定矩阵当且仅当它满足以下等价条件之一 对任意非零向量 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x∈Rn有 x T A x 0 x^T A x 0 xTAx0 矩阵的所有特征值均为正。 存在一个满秩矩阵 B B B使得 A B T B A B^T B ABTB 针对复矩阵 A A A 是 Hermitian 矩阵共轭对称矩阵且所有特征值均为正。
对于复矩阵 A A A如果满足 x H A x 0 x^H A x 0 xHAx0其中 x H x^H xH 表示 x x x 的共轭转置则称 A A A 是正定矩阵。
2. 几何解释
正定矩阵 A A A 定义了一种“度量”或“能量”
二次型 x T A x x^T A x xTAx 表示向量 x x x 在某种度量下的“能量”或“长度平方”。如果 A A A 是正定的则度量是严格正的说明 A A A 表示一个严格凸的二次函数。
3. 性质
正定矩阵具有以下性质
3.1 对称性
实正定矩阵必须是对称矩阵 A A T A A^T AAT复正定矩阵必须是 Hermitian 矩阵 A A H A A^H AAH
3.2 特征值
正定矩阵的所有特征值均为正。特征值的正性也可通过迹和行列式反映。
3.3 二次型非负
对任意向量 x x x有 x T A x 0 x^T A x 0 xTAx0
3.4 主子式正性
正定矩阵的所有主子式从左上角开始的任意子矩阵的行列式均大于 0。
3.5 逆矩阵正定性
若 A A A 是正定矩阵则其逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1 也正定。
4. 判定方法
判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法 二次型检验 检查 x T A x 0 x^T A x 0 xTAx0 是否对任意非零 x x x 成立。 特征值检查 计算矩阵的所有特征值若均为正则矩阵正定。 Cholesky 分解 若矩阵 A A A 可以进行 Cholesky 分解 A L L T A LL^T ALLT 其中 L L L 是下三角矩阵则 A A A 是正定的。 主子式法则 检查矩阵的所有主子式是否均为正。
5. 应用场景
正定矩阵广泛应用于以下领域 优化 二次优化问题中目标函数的 Hessian 矩阵若为正定则目标函数是严格凸的。 机器学习 核矩阵Kernel Matrix必须是正定的。 物理与工程 用于描述系统的稳定性、能量以及正向性。
