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一个随机变量具有PDF 。希望在没有任何可用数据的情况下估计的一个现实。为此提出了使最小的MMSE估计量#xff0c;其中期望仅是对求的。证明MMSE估计量为。将你的结果应用到例10.1#xff0c;当把数据考虑进去时#xff0c;证明最小贝叶斯MSE是减少的。 解答
在贝叶…题目
一个随机变量具有PDF 。希望在没有任何可用数据的情况下估计的一个现实。为此提出了使最小的MMSE估计量其中期望仅是对求的。证明MMSE估计量为。将你的结果应用到例10.1当把数据考虑进去时证明最小贝叶斯MSE是减少的。 解答
在贝叶斯估计情况下我们是提前知道待估计量的先验分布即。一旦知道就能获得相应的和。
所以这个题目的物理意义就是在没有任何额外数据情况下根据先验分布那可以获得的MMSE估计量就是此时对应的最小方差即 而后续只要能获得可用数据获得的方差都比要小而且随着数据的增多会越来越小。
下面开始证明为了求得题目条件中的MMSE估计量在方差中加入该估计量。令 其中是对的某一种估计尽管暂时不知道但里面肯定不包含而 通过积分后也不包含因此: 所以 为了使得上式最小那么显然需要 这样第二项非负值为0此时MMSE最小值为 对于例10.1来说由10.12给出 其中估计量先验方差也就是 也就是没有任何可用数据下即此时 与上述证明结论一致。后续只要获得数据即那么都有 也就是贝叶斯估计情况下只要考虑数据那么最小贝叶斯MSE是减小的。
