手机网站微信分享代码,招聘页面设计,慈溪做网站什么价,宜宾公司做网站文章目录 一、超平面#xff08;Hyperplane#xff09;1. 定义2. 超平面的方程3. 例子4. 超平面的性质 二、半空间#xff08;Halfspace#xff09;1. 定义2. 半空间的表示3. 半空间的性质 三、超平面与半空间的关系四、应用1. 线性规划2. 机器学习3. 计算几何4. 凸分析 五… 文章目录 一、超平面Hyperplane1. 定义2. 超平面的方程3. 例子4. 超平面的性质 二、半空间Halfspace1. 定义2. 半空间的表示3. 半空间的性质 三、超平面与半空间的关系四、应用1. 线性规划2. 机器学习3. 计算几何4. 凸分析 五、总结 一、超平面Hyperplane
1. 定义
在 n n n维欧几里得空间 R n \mathbb{R}^n Rn中超平面是一个 n − 1 n-1 n−1维的仿射子空间。直观地说超平面将空间划分为两个部分是空间中的“平面”推广到高维的概念。
在二维空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2中超平面是直线 1 1 1维。在三维空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3中超平面是平面 2 2 2维。在 n n n维空间中超平面是 n − 1 n-1 n−1维的子空间。
2. 超平面的方程
超平面可以用线性方程表示。一般形式为 w ⊤ x b 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b 0 w⊤xb0 其中 w [ w 1 , w 2 , … , w n ] ⊤ \mathbf{w} [w_1, w_2, \dots, w_n]^\top w[w1,w2,…,wn]⊤ 是法向量决定了超平面的方向。 x [ x 1 , x 2 , … , x n ] ⊤ \mathbf{x} [x_1, x_2, \dots, x_n]^\top x[x1,x2,…,xn]⊤ 是空间中的点。 b b b 是偏置截距项决定了超平面的位置。
3. 例子
二维空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2
超平面直线。方程 w 1 x 1 w 2 x 2 b 0 w_1 x_1 w_2 x_2 b 0 w1x1w2x2b0。
三维空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3
超平面平面。方程 w 1 x 1 w 2 x 2 w 3 x 3 b 0 w_1 x_1 w_2 x_2 w_3 x_3 b 0 w1x1w2x2w3x3b0。
4. 超平面的性质
法向量 w \mathbf{w} w 是超平面的法向量垂直于超平面上的所有向量。仿射性质超平面是一个仿射子空间不一定经过原点除非 b 0 b0 b0。线性多样体当 b 0 b0 b0时超平面是一个线性子空间。 二、半空间Halfspace
1. 定义
半空间是由超平面将空间分割成的两个部分之一。具体来说超平面将 R n \mathbb{R}^n Rn分割成两个闭的或开的半空间。
2. 半空间的表示
根据超平面的方程半空间可以表示为 闭半空间Closed Halfspace w ⊤ x b ≤ 0 或 w ⊤ x b ≥ 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b \leq 0 \quad \text{或} \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b \geq 0 w⊤xb≤0或w⊤xb≥0 开半空间Open Halfspace w ⊤ x b 0 或 w ⊤ x b 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b 0 \quad \text{或} \quad \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b 0 w⊤xb0或w⊤xb0
3. 半空间的性质
凸集半空间是凸集因为对于任何两个在半空间内的点连接它们的线段也完全在半空间内。分离性质超平面将空间分为两个半空间且任何一点要么在超平面上要么在其中一个半空间内。 三、超平面与半空间的关系
划分空间超平面将 n n n维空间划分为两个半空间。边界超平面是半空间的边界。分类在机器学习中超平面用于作为分类器的决策边界将不同类别的数据点分割到不同的半空间中。 四、应用
1. 线性规划
可行域线性规划中的约束条件通常是线性不等式表示半空间。所有约束的交集形成了可行域是一个凸多面体。最优解在线性规划中目标函数在可行域的顶点可能在超平面上取得最优值。
2. 机器学习
支持向量机SVMSVM试图找到一个超平面将不同类别的样本分开且使得间隔最大。感知器感知器模型使用超平面作为线性分类器。
3. 计算几何
空间划分利用超平面将空间划分有助于解决最近邻搜索、范围查询等问题。凸包凸多面体的面是由超平面组成的。
4. 凸分析
支持超平面对于凸集支持超平面是与该集相切且不穿过该集的超平面。分离定理如果两个不相交的凸集那么存在一个超平面将它们分开。 五、总结
超平面和半空间是高维空间中的基本几何概念具有重要的理论意义和实际应用。
超平面 n n n维空间中的 n − 1 n-1 n−1维子空间可用线性方程 w ⊤ x b 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b 0 w⊤xb0表示。半空间由超平面划分出的空间的一部分可用不等式 w ⊤ x b ≤ 0 \mathbf{w}^\top \mathbf{x} b \leq 0 w⊤xb≤0或 ≥ 0 \geq 0 ≥0表示。应用领域线性规划、机器学习、计算几何、凸分析等。
