开源 购物网站,wordpress加入链接,wordpress彩色标签固定宽度代码,哔哩哔哩推广平台行列式性质定理讲义
一、行列式的基本性质
性质 1#xff1a;行列互换
对于任意一个 n n n \times n nn 的方阵 A A A#xff0c;其行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 满足#xff1a; ∣ A ∣ ∣ A T ∣ |A| |A^T| ∣A∣∣AT∣ 其中#xff0c; A T A^T AT 是 A A A 的…行列式性质定理讲义
一、行列式的基本性质
性质 1行列互换
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A其行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 满足 ∣ A ∣ ∣ A T ∣ |A| |A^T| ∣A∣∣AT∣ 其中 A T A^T AT 是 A A A 的转置矩阵。
性质 2行列式乘积
对于任意两个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 和 B B B有 ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |AB| |A| \cdot |B| ∣AB∣∣A∣⋅∣B∣
性质 3行列式与数乘
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 和任意标量 α \alpha α有 ∣ α A ∣ α n ∣ A ∣ |\alpha A| \alpha^n |A| ∣αA∣αn∣A∣
性质 4行列式线性性
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A如果将 A A A 的某一行或列表示为两个向量之和则有 ∣ A ∣ ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ |A| |A_1| |A_2| ∣A∣∣A1∣∣A2∣ 其中 A 1 A_1 A1 和 A 2 A_2 A2 分别是由 A A A 的该行或列的两个向量分量构成的方阵而剩下的元素与A相同。
二、行列式的拉普拉斯展开
代数余子式Algebraic Complement是行列式理论中的一个重要概念它与矩阵中的一个元素及其所在的行和列有关。以下是代数余子式的数学定义 对于一个给定的 n × n n \times n n×n 方阵 A [ a i j ] A [a_{ij}] A[aij]元素 a i j a_{ij} aij 的代数余子式记为 C i j C_{ij} Cij定义为删除了第 i i i 行和第 j j j 列的方阵即 a i j a_{ij} aij 所在的行和列后剩下的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式再乘以 ( − 1 ) i j (-1)^{ij} (−1)ij。 用数学公式表示代数余子式 C i j C_{ij} Cij 定义为 C i j ( − 1 ) i j ⋅ det ( M i j ) C_{ij} (-1)^{ij} \cdot \text{det}(M_{ij}) Cij(−1)ij⋅det(Mij) 其中 det ( M i j ) \text{det}(M_{ij}) det(Mij) 是由删除了 A A A 中第 i i i 行和第 j j j 列后得到的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1) 子矩阵 M i j M_{ij} Mij 的行列式。 具体来说如果 A A A 是以下形式的方阵 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] A \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n} \\ \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nn} \\ \end{bmatrix} A a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann 那么 a i j a_{ij} aij 的代数余子式 C i j C_{ij} Cij 是 C i j ( − 1 ) i j ⋅ ∣ a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 , j − 1 a 2 , j 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j 1 ⋯ a i − 1 , n a i 1 , 1 ⋯ a i 1 , j − 1 a i 1 , j 1 ⋯ a i 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j 1 ⋯ a n n ∣ C_{ij} (-1)^{ij} \cdot \begin{vmatrix} a_{11} \cdots a_{1,j-1} a_{1,j1} \cdots a_{1n} \\ a_{21} \cdots a_{2,j-1} a_{2,j1} \cdots a_{2n} \\ \vdots \ddots \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{i-1,1} \cdots a_{i-1,j-1} a_{i-1,j1} \cdots a_{i-1,n} \\ a_{i1,1} \cdots a_{i1,j-1} a_{i1,j1} \cdots a_{i1,n} \\ \vdots \ddots \vdots \vdots \ddots \vdots \\ a_{n1} \cdots a_{n,j-1} a_{n,j1} \cdots a_{nn} \\ \end{vmatrix} Cij(−1)ij⋅ a11a21⋮ai−1,1ai1,1⋮an1⋯⋯⋱⋯⋯⋱⋯a1,j−1a2,j−1⋮ai−1,j−1ai1,j−1⋮an,j−1a1,j1a2,j1⋮ai−1,j1ai1,j1⋮an,j1⋯⋯⋱⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ai−1,nai1,n⋮ann 代数余子式在行列式的计算和矩阵的理论研究中扮演着重要角色尤其是在使用拉普拉斯展开定理计算行列式时。
定理 1拉普拉斯展开
对于任意一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A选择任意一行或列如第 i i i 行行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 可以按照该行展开为 ∣ A ∣ ( − 1 ) i 1 a i 1 C i 1 ( − 1 ) i 2 a i 2 C i 2 a i 3 C i 3 ⋯ ( − 1 ) i n a i n C i n |A| (-1)^{i1}a_{i1}C_{i1} (-1)^{i2} a_{i2}C_{i2} a_{i3}C_{i3} \cdots (-1)^{in}a_{in}C_{in} ∣A∣(−1)i1ai1Ci1(−1)i2ai2Ci2ai3Ci3⋯(−1)inainCin 其中 C i j C_{ij} Cij 是元素 a i j a_{ij} aij 的代数余子式。
三、行列式的特殊性质
定理 2行列式为零的充分必要条件
一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 的行列式为零的充分必要条件是 A A A 的秩小于 n n n。
定理 3方阵可逆的充分必要条件
一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A 可逆的充分必要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣0。
定理 4克莱姆法则
克拉默法则Cramer’s Rule是线性代数中的一个重要定理它提供了一个使用行列式来解线性方程组的方法。克拉默法则适用于具有相同数量的方程和未知数的线性方程组并且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则的数学表述
设有以下线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 ⋯ a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 ⋯ a 2 n x n b 2 ⋮ a n 1 x 1 a n 2 x 2 ⋯ a n n x n b n a_{11}x_1 a_{12}x_2 \cdots a_{1n}x_n b_1 \\ a_{21}x_1 a_{22}x_2 \cdots a_{2n}x_n b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 a_{n2}x_2 \cdots a_{nn}x_n b_n a11x1a12x2⋯a1nxnb1a21x1a22x2⋯a2nxnb2⋮an1x1an2x2⋯annxnbn 其中 x 1 , x 2 , … , x n x_1, x_2, \ldots, x_n x1,x2,…,xn 是未知数 a i j a_{ij} aij 是系数 b 1 , b 2 , … , b n b_1, b_2, \ldots, b_n b1,b2,…,bn 是常数项。 如果系数矩阵 A [ a i j ] A [a_{ij}] A[aij] 的行列式 det ( A ) ≠ 0 \text{det}(A) \neq 0 det(A)0则方程组有唯一解并且每个未知数 x i x_i xi 可以用以下公式计算 x i det ( A i ) det ( A ) x_i \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} xidet(A)det(Ai) 其中 A i A_i Ai 是将系数矩阵 A A A 中第 i i i 列替换为常数项向量 [ b 1 , b 2 , … , b n ] T [b_1, b_2, \ldots, b_n]^T [b1,b2,…,bn]T 后得到的矩阵。
克拉默法则的步骤
计算系数矩阵 A A A 的行列式 det ( A ) \text{det}(A) det(A)。对于每个未知数 x i x_i xi构造矩阵 A i A_i Ai即将 A A A 的第 i i i 列替换为常数项向量。计算矩阵 A i A_i Ai 的行列式 det ( A i ) \text{det}(A_i) det(Ai)。使用公式 x i det ( A i ) det ( A ) x_i \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} xidet(A)det(Ai) 计算每个未知数 x i x_i xi。
示例
考虑以下线性方程组 2 x y 5 − x 3 y 2 2x y 5 \\ -x 3y 2 2xy5−x3y2 我们可以使用克拉默法则来解这个方程组。
系数矩阵 A A A 和常数项向量 B B B A [ 2 1 − 1 3 ] , B [ 5 2 ] A \begin{bmatrix} 2 1 \\ -1 3 \end{bmatrix}, \quad B \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} A[2−113],B[52]计算系数矩阵的行列式 det ( A ) \text{det}(A) det(A) det ( A ) 2 ⋅ 3 − ( − 1 ) ⋅ 1 6 1 7 \text{det}(A) 2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1 6 1 7 det(A)2⋅3−(−1)⋅1617构造矩阵 A 1 A_1 A1 和 A 2 A_2 A2 A 1 [ 5 1 2 3 ] , A 2 [ 2 5 − 1 2 ] A_1 \begin{bmatrix} 5 1 \\ 2 3 \end{bmatrix}, \quad A_2 \begin{bmatrix} 2 5 \\ -1 2 \end{bmatrix} A1[5213],A2[2−152]计算行列式 det ( A 1 ) \text{det}(A_1) det(A1) 和 det ( A 2 ) \text{det}(A_2) det(A2) det ( A 1 ) 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ 1 15 − 2 13 det ( A 2 ) 2 ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ 5 4 5 9 \text{det}(A_1) 5 \cdot 3 - 2 \cdot 1 15 - 2 13 \\ \text{det}(A_2) 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 5 4 5 9 det(A1)5⋅3−2⋅115−213det(A2)2⋅2−(−1)⋅5459使用克拉默法则计算 x x x 和 y y y x det ( A 1 ) det ( A ) 13 7 y det ( A 2 ) det ( A ) 9 7 x \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} \frac{13}{7} \\ y \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} \frac{9}{7} xdet(A)det(A1)713ydet(A)det(A2)79 因此方程组的解为 x 13 7 x \frac{13}{7} x713 和 y 9 7 y \frac{9}{7} y79。
注意事项
克拉默法则虽然提供了一个解线性方程组的直接方法但它并不总是最有效的方法尤其是当方程组的未知数较多时计算行列式会变得非常复杂。此外如果系数矩阵的行列式为零则克拉默法则不适用此时方程组可能无解或有无限多解。
