企业网站建设要,高效省心的app定制开发平台,个人网站建设咨询电话,怎么找wordpress博客椭圆曲线密码体制#xff08;Elliptic Curve Cryptography, ECC#xff09;是一种基于椭圆曲线数学特性的公钥密码系统。在介绍椭圆曲线之前#xff0c;我们先来了解一下椭圆曲线的基本概念。
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#xff08;1#xff09;椭圆曲线的数学定义… 椭圆曲线密码体制Elliptic Curve Cryptography, ECC是一种基于椭圆曲线数学特性的公钥密码系统。在介绍椭圆曲线之前我们先来了解一下椭圆曲线的基本概念。
一、椭圆曲线是什么
1椭圆曲线的数学定义 椭圆曲线是一条由方程 给定的曲线其中a和b是常数并满足以确保曲线没有奇点即曲线是平滑的。在无限域如实数域上椭圆曲线看起来像是一条平滑的、不自交的曲线。
椭圆曲线的图像如下 椭圆曲线图1 椭圆曲线图2 【注】椭圆曲线并不是椭圆只因为该方程与计算椭圆周长的方程相似。 可以证明如果 没有重复因子或者满足 那么椭圆曲线上的点集 可构成一个Abel群阿贝尔群。椭圆曲线包括所有曲线上的点以及一个特殊的点我们称为无限远点
2椭圆曲线上的算术运算 椭圆曲线上定义了加法运算这使得椭圆曲线成为一个群。具体来说对于椭圆曲线上任意两点 P 和 Q可以定义它们的和 RPQ其计算方法遵循以下规则 ① 加法运算 加法运算两点不重合 加法如果 P 和 Q 不重合那么通过连接这两点的直线与椭圆曲线的第三个交点然后在 y 轴上找到这个点的反射点作为 R 加法运算两点重合 二倍点如果 PQ则使用切线代替直线找到切线与椭圆的交点再找到该点关于 y 轴的反射点作为 2P 加法运算两点是相反数 无穷远点椭圆曲线上的加法还定义了一个特殊点称为无穷远点它与任何其他点相加都保持不变
② 点乘运算 点乘将一个给定点沿着椭圆曲线进行多次加法操作。点乘运算通常被记作 kP其中 k 是一个整数P 是椭圆曲线上的一点。 如上图3P的计算过程先计算出2P也就是Q然后再将Q和P连接在一起找到和椭圆曲线的交点这个交点关于X轴的对称点就是3P。
二、椭圆曲线密码体制 有限域上的椭圆曲线是椭圆曲线的一个变体它定义在一个有限域finite field上而不是在实数域或复数域上。有限域上的椭圆曲线在密码学中有重要的应用特别是用于构建椭圆曲线密码体制ECC
1有限域上的椭圆曲线 有限域是一个具有有限个元素的域。域意味着在这个集合中定义了加法和乘法操作并且这些操作满足特定的代数性质比如加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、单位元的存在性、逆元的存在性等。 有限域的一个重要例子是模 p 的剩余类这个有限域通常记作当椭圆曲线定义在一个有限域上时我们考虑的是所有 其中 和 都是 中的元素并且满足上述椭圆曲线方程。这样的点集构成了有限域上的椭圆曲线。 定义在有限域上的椭圆曲线图像 2有限域上的椭圆曲线结论 在有限域上的椭圆曲线上定义的加法运算构成了一个阿贝尔群这是因为加法运算满足群的四个基本性质封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元同时加法运算还满足交换律。 封闭性 对于椭圆曲线 E 上的任意两点 P 和 Q它们的和 RPQ 也是一个椭圆曲线上的点。这意味着加法运算的结果仍然属于椭圆曲线 E。 结合律 对于椭圆曲线 E 上的任意三点 P、Q 和 R有 (PQ)RP(QR)。这意味着加法运算的顺序不影响结果。 单位元 椭圆曲线 E 上定义了一个特殊点 O称为无穷远点它是加法的单位元。这意味着对于椭圆曲线上的任意点 P都有 POP。 逆元 对于椭圆曲线 E 上的每一个点 P存在一个唯一的点 −P使得 P(−P)O。这里的 −P 称为 P 的加法逆元。 交换律 对于椭圆曲线 E 上的任意两点 P 和 Q有 PQQP。这意味着加法运算满足交换律。
3椭圆曲线上的离散对数问题ECDLP 椭圆曲线上的离散对数问题 (ECDLP) 是椭圆曲线密码学 (ECC) 安全性的基础。ECDLP 是指在给定的椭圆曲线上找到一个点的倍数所需的秘密倍数的问题。它的定义如下 ECDLP 的难度在于虽然给定一个点 P 和一个整数 k很容易计算出 QkP但是反过来给定 Q 和 P找到 k 是非常困难的。这种问题的难解性是椭圆曲线密码学安全性的核心。 正向计算简单 ECDLP 的难度确保了椭圆曲线密码系统的安全性。由于目前没有已知的有效算法可以在多项式时间内解决 ECDLP因此只要选择合适的椭圆曲线和密钥长度就可以实现高度的安全性。 反向计算困难 三、椭圆曲线密码学体制的应用 椭圆曲线密码学利用 ECDLP 的难解性来构建安全的密码协议例如
椭圆曲线数字签名算法 (ECDSA)用于创建数字签名。椭圆曲线密钥交换协议 (ECDH)用于安全地交换密钥。椭圆曲线集成加密方案 (ECIES)用于加密数据。 1椭圆曲线上的DH密钥交换算法ECDH举例说明
① 准备阶段
第一步首先取一个素数 以及参数则椭圆曲线上的点构成Abel群
第二步取上的一个生成元要求的阶是一个非常大的数的阶是满足的最小正整数。
第三步将和生成元作为公钥密码体制的公开参数对外公布不保密。
② 密钥交换阶段 通过上面密钥交换算法A和B共同拥有密钥K攻击者如果想获得密钥K他就必须由和求出或者由和求出而这等价于求椭圆曲线上的离散对数问题ECDLP因此是不可行的所以确保了安全。
③ 带入具体数字举例说明
