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假设我们有一个关于随机变量 X X X 的函数 f ( X ) f(X) f(X)#xff0c;满足如下分布 p ( X ) p(X) p(X)0.90.1 f ( X ) f(X) f(X)0.10.9
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从一个极简分布出发
假设我们有一个关于随机变量 X X X 的函数 f ( X ) f(X) f(X)满足如下分布 p ( X ) p(X) p(X)0.90.1 f ( X ) f(X) f(X)0.10.9
如果我们要对 f ( X ) f(X) f(X) 的期望 E p [ f ( X ) ] \mathbb{E}_p[f(X)] Ep[f(X)] 进行估计并且我们有一些从 p p p 中采样的样本那么朴素的想法是直接关于 p p p 采样把采样到的值加起来求平均 E p [ f ( X ) ] 1 n ∑ i f i ( X ) \mathbb{E}_p[f(X)] \frac{1}{n} \sum_{i} f_i(X) Ep[f(X)]n1i∑fi(X) 但是问题在于如果采样的样本个数比较少很可能采样的全都是 0.1那么和理论值 0.9*0.10.1*0.90.18 就相差很大。也就是这样的估计方法方差过大。
这个问题的本质原因在于 f ( X ) f(X) f(X)和 p ( X ) p(X) p(X)形状的不匹配在 f ( X ) f(X) f(X)贡献比较大的值的位置 p ( X ) p(X) p(X)采样的概率很小一旦采样个数过少 f ( X ) f(X) f(X)不足以产生足够的对 E p [ f ( X ) ] \mathbb{E}_p[f(X)] Ep[f(X)]的贡献因此产生很大的方差
有什么解决办法呢 重要性采样
如果我们可以换另一个已知的简单的采样分布 q ( X ) q(X) q(X)使得它和 ∣ p ( X ) f ( X ) ∣ |p(X)f(X)| ∣p(X)f(X)∣匹配那么方差就能够变小。这也是此方法命名为重要性采样的原因
我们可以给积分里面上下乘以一个 q(X)就可以变换成关于 q q q 求另一个表达式的期望 E p [ f ( X ) ] ∫ X p ( X ) f ( X ) d X ∫ X q ( X ) p ( X ) q ( X ) f ( X ) d X E q [ p ( X ) q ( X ) f ( X ) ] \mathbb{E}_p[f(X)] \int_X p(X)f(X) dX\int_X q(X) \frac{p(X)}{q(X)}f(X) dX \mathbb{E}_q[\frac{p(X)}{q(X)}f(X)] Ep[f(X)]∫Xp(X)f(X)dX∫Xq(X)q(X)p(X)f(X)dXEq[q(X)p(X)f(X)]
由于 p , q , f p,q,f p,q,f 的值我们都是可以计算的假设 q q q 也可以正常采样那么这个期望是可以求的。 真的有用
我们不妨取 q ( X ) q(X) q(X) 和 ∣ p ( X ) f ( X ) ∣ |p(X)f(X)| ∣p(X)f(X)∣ 完美匹配即 q ( X ) 0.5 , X x i , ∀ i q(X) 0.5, \ \ Xx_i,\ \forall i q(X)0.5, Xxi, ∀i 然后我们关于 q q q 采样求 p ( X ) q ( X ) f ( X ) \frac{p(X)}{q(X)}f(X) q(X)p(X)f(X) 的期望 q ( X ) q(X) q(X)0.50.5 p ( X ) q ( X ) f ( X ) \frac{p(X)}{q(X)}f(X) q(X)p(X)f(X)0.180.18
好了你随便从 q q q 采能和理论值不一样算我输 无论怎么取我们估计的期望 E ^ q [ p ( X ) q ( X ) f ( X ) ] 0.18 ∗ 0.5 0.18 ∗ 0.5 0.18 \mathbb{\hat{E}}_q[\frac{p(X)}{q(X)}f(X)] 0.18 * 0.5 0.18 * 0.5 0.18 E^q[q(X)p(X)f(X)]0.18∗0.50.18∗0.50.18 和理论值完美符合。 重要性采样真的是有用的。不过这只是一个极端的例子实际上要取这样的一个 q q q 也并不是很容易还是要到具体领域问题里面具体分析。
