统计网站访问量,中小企业网站建设济南兴田德润厉害吗,网站集约化建设管理,劳动法24小时免费咨询目录 随机过程的基本概念随机过程的分布律和数字特征复随机过程几种重要的随机过程正交增量过程独立增量过程平稳独立增量过程马尔可夫过程正态过程和维纳过程平稳过程 随机过程的基本概念
随机过程的分布律和数字特征
定义3#xff1a;设 X T { X ( t ) , t ∈ T } X_T\{X… 目录 随机过程的基本概念随机过程的分布律和数字特征复随机过程几种重要的随机过程正交增量过程独立增量过程平稳独立增量过程马尔可夫过程正态过程和维纳过程平稳过程 随机过程的基本概念
随机过程的分布律和数字特征
定义3设 X T { X ( t ) , t ∈ T } X_T\{X(t),t \in T\} XT{X(t),t∈T}是随机过程如果对任意 t ∈ T t \in T t∈T E X ( t ) EX(t) EX(t)存在则称函数 m X ( t ) E X ( t ) m_X(t)EX(t) mX(t)EX(t) 为 X T X_T XT的均值函数 若对任意的 t ∈ T t \in T t∈T E ( X ( t ) ) 2 E(X(t))^2 E(X(t))2存在则称 X T X_T XT为二阶矩过程而称 B X ( s , t ) E [ { X ( s ) − m X ( s ) } { X ( t ) − m X ( t ) } ] , s , t ∈ T B_X(s,t)E[\{X(s)-m_X(s)\}\{X(t)-m_X(t)\}], s,t \in T BX(s,t)E[{X(s)−mX(s)}{X(t)−mX(t)}],s,t∈T 为 X T X_T XT的协方差函数。 D X ( s , t ) B X ( t , t ) E [ { X ( t ) − m X ( t ) } 2 ] , s , t ∈ T D_X(s,t)B_X(t,t)E[\{X(t)-m_X(t)\}^2], s,t \in T DX(s,t)BX(t,t)E[{X(t)−mX(t)}2],s,t∈T 为 X T X_T XT的方差函数。 R X ( s , t ) E [ X ( t ) X ( s ) ] R_X(s,t)E[X(t)X(s)] RX(s,t)E[X(t)X(s)] 为 X T X_T XT的相关函数。
复随机过程
几种重要的随机过程
正交增量过程
定义6设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是零均值的二阶矩过程若对任意的 t 1 t 2 ≤ t 3 t 4 ∈ T t_1 t_2 \leq t_3 t_4 \in T t1t2≤t3t4∈T有 E [ ( X ( t 2 ) − X ( t 1 ) ) ( X ( t 4 ) − X ( t 3 ) ‾ ) ] 0 E[(X(t_2)-X(t_1))(\overline{X(t_4)-X(t_3)})]0 E[(X(t2)−X(t1))(X(t4)−X(t3))]0 则称X(t)为正交增量过程。
独立增量过程
定义7设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程若对任意的正整数n和 t 1 t 2 t 3 . . . t n − 1 t n ∈ T t_1 t_2 t_3 ...t_{n-1}t_n \in T t1t2t3...tn−1tn∈T随机变量 X ( t 2 ) − X ( t 1 ) , X ( t 3 ) − X ( t 2 ) , . . . , X ( t n ) − X ( t n − 1 ) X(t_2)-X(t_1),X(t_3)-X(t_2),...,X(t_n)-X(t_{n-1}) X(t2)−X(t1),X(t3)−X(t2),...,X(tn)−X(tn−1)是相互独立的称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是独立增量过程又称可加过程。
平稳独立增量过程
定义8设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是独立增量过程若对 s t st st随机变量 X ( t ) − X ( s ) X(t)-X(s) X(t)−X(s)的分布仅依赖于 t − s t-s t−s则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。
例子考虑液体表面物质的运动。设X(t)表示悬浮在液面上的微粒位置的横坐标则 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程。由于微粒的运动是大量分子的随机碰撞引起的因此 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。
马尔可夫过程
定义9设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为随机过程若对任意正整数n和 t 1 t 2 . . . t n ∈ T t_1 t_2...t_n \in T t1t2...tn∈T P ( X ( t 1 ) x 1 , X ( t 2 ) x 2 , . . . , X ( t n ) x n ) 0 P(X(t_1)x_1,X(t_2)x_2,...,X(t_n)x_n)0 P(X(t1)x1,X(t2)x2,...,X(tn)xn)0其条件分布满足 P { X ( t n ) ≤ x n ∣ X ( t 1 ) x 1 , X ( t 2 ) x 2 , . . . X ( t n − 1 ) x n − 1 } P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_1)x_1,X(t_2)x_2,...X(t_{n-1})x_{n-1}\} P{X(tn)≤xn∣X(t1)x1,X(t2)x2,...X(tn−1)xn−1} P { X ( t n ) ≤ x n ∣ X ( t n − 1 ) x n − 1 } P\{X(t_n) \leq x_n | X(t_{n-1})x_{n-1}\} P{X(tn)≤xn∣X(tn−1)xn−1} 则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为马尔可夫过程。
正态过程和维纳过程
定义10设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程若对任意正整数n和 t 1 t 2 . . . t n ∈ T t_1 t_2...t_n \in T t1t2...tn∈T ( X ( t 1 ) , X ( t 2 ) , . . . , X ( t n ) ) (X(t_1),X(t_2),...,X(t_n)) (X(t1),X(t2),...,X(tn))是n维正态随机变量则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是正态过程或高斯过程。
由于正态过程的一阶矩和二阶矩存在所以正态过程就是二阶矩过程。
定义11设 { W ( t ) , − ∞ t ∞ } \{W(t),-\inftyt \infty \} {W(t),−∞t∞}为随机过程如果 1 W ( 0 ) 0 W(0)0 W(0)0 2 { W ( t ) , − ∞ t ∞ } \{W(t),-\inftyt \infty \} {W(t),−∞t∞}是平稳独立增量过程 3对$∀ s,t $增量 W ( t ) − W ( s ) N ( 0 , σ 2 ∣ t − s ∣ ) , σ 2 0 W(t)-W(s)~N(0,\sigma^2|t-s|),\sigma^20 W(t)−W(s) N(0,σ2∣t−s∣),σ20 则称 { W ( t ) , − ∞ t ∞ } \{W(t),-\inftyt \infty \} {W(t),−∞t∞}为维纳过程也称为布朗运动过程。
定理设 { W ( t ) , − ∞ t ∞ } \{W(t),-\inftyt \infty \} {W(t),−∞t∞}是参数为 σ 2 \sigma^2 σ2的维纳过程则 1对任意 t ∈ ( − ∞ , ∞ ) , W ( t ) N ( 0 , σ 2 ∣ t ∣ ) t \in (-\infty,\infty),W(t)~N(0,\sigma^2|t|) t∈(−∞,∞),W(t) N(0,σ2∣t∣) 2对任意 − ∞ a s , t ∞ -\inftyas,t\infty −∞as,t∞ E [ ( W ( s ) − W ( a ) ) ( W ( t ) − W ( a ) ) ] σ 2 m i n ( s − a , t − a ) E[(W(s)-W(a))(W(t)-W(a))]\sigma^2min(s-a,t-a) E[(W(s)−W(a))(W(t)−W(a))]σ2min(s−a,t−a) 特别 R W ( s , t ) σ 2 m i n ( s , t ) R_W(s,t)\sigma^2min(s,t) RW(s,t)σ2min(s,t)
平稳过程
定义12设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程如果对任意常数 τ \tau τ和正常数n t 1 t 2 . . . t n ∈ T t_1 t_2...t_n \in T t1t2...tn∈T t 1 τ t 2 τ . . . t n τ ∈ T t_1 \tau t_2\tau...t_n\tau \in T t1τt2τ...tnτ∈T ( X ( t 1 ) , X ( t 2 ) , . . . , X ( t n ) ) (X(t_1),X(t_2),...,X(t_n)) (X(t1),X(t2),...,X(tn))和 ( X ( t 1 τ ) , X ( t 2 τ ) , . . . , X ( t n τ ) ) (X(t_1\tau),X(t_2\tau),...,X(t_n\tau)) (X(t1τ),X(t2τ),...,X(tnτ))有相同的联合分布则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为严平稳分布也称狭义平稳过程。
定义13设 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是随机过程如果 1 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}是二阶矩过程 2对任意 t ∈ T t \in T t∈T, m x ( t ) E X ( t ) 常 数 m_x(t)EX(t)常数 mx(t)EX(t)常数; 3对任意 s , t ∈ T s,t \in T s,t∈T R x ( s , t ) E [ X ( s ) X ( t ) ] R x ( s − t ) R_x(s,t)E[X(s)X(t)]R_x(s-t) Rx(s,t)E[X(s)X(t)]Rx(s−t). 则称 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为广义平稳过程简称为平稳过程。
若T为离散集则称平稳过程 { X ( t ) , t ∈ T } \{X(t),t \in T\} {X(t),t∈T}为平稳序列。
