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Python实例题
题目
代码实现
1. 有限差分法求解偏微分方程
2. 使用有限元法求解 PDE
3. 使用谱方法求解 PDE
4. 使用scipy.integrate.solve_bvp求解边值问题
5. 使用神经网络求解 PDE (Physics-Informed Neural Networks)
总结 Python实例题
题目
Python计算偏…目录
Python实例题
题目
代码实现
1. 有限差分法求解偏微分方程
2. 使用有限元法求解 PDE
3. 使用谱方法求解 PDE
4. 使用scipy.integrate.solve_bvp求解边值问题
5. 使用神经网络求解 PDE (Physics-Informed Neural Networks)
总结 Python实例题
题目
Python计算偏微分方程
代码实现
import numpy as np
import sympy as sp
from sympy import symbols, Function, diff, Array
from sympy.tensor import tensorcontraction, tensorproduct
from sympy.tensor.array import derive_by_array
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dclass TensorAnalysis:张量分析计算类支持张量基本运算、微积分和爱因斯坦求和约定def __init__(self):初始化张量分析计算器pass# 张量基本运算 def tensor_product(self, A, B):计算两个张量的张量积参数:A: 第一个张量B: 第二个张量返回:numpy数组或sympy数组: 张量积结果return tensorproduct(A, B)def tensor_contraction(self, T, indices):计算张量的缩并参数:T: 张量indices: 要缩并的指标对列表每个指标对是一个二元组返回:numpy数组或sympy数组: 缩并结果result Tfor i, j in indices:result tensorcontraction(result, (i, j))return resultdef tensor_contract_product(self, A, B, contraction_indices):计算张量积并进行缩并张量乘法参数:A: 第一个张量B: 第二个张量contraction_indices: 要缩并的指标对列表返回:numpy数组或sympy数组: 张量乘法结果product self.tensor_product(A, B)return self.tensor_contraction(product, contraction_indices)def raise_index(self, T, metric):指标上升使用度规张量参数:T: 张量metric: 度规张量返回:numpy数组或sympy数组: 指标上升后的张量# 假设我们提升第一个下指标return self.tensor_contract_product(metric, T, [(1, 2)])def lower_index(self, T, metric_inverse):指标下降使用逆度规张量参数:T: 张量metric_inverse: 逆度规张量返回:numpy数组或sympy数组: 指标下降后的张量# 假设我们降低第一个上指标return self.tensor_contract_product(metric_inverse, T, [(1, 2)])# 张量微积分 def tensor_gradient(self, T, coords):计算张量的梯度参数:T: 张量coords: 坐标变量列表返回:numpy数组或sympy数组: 张量梯度return derive_by_array(T, coords)def tensor_divergence(self, T, coords):计算张量的散度参数:T: 张量coords: 坐标变量列表返回:numpy数组或sympy数组: 张量散度gradient self.tensor_gradient(T, coords)# 缩并最后两个指标得到散度return tensorcontraction(gradient, (len(T.shape)-1, len(T.shape)))def tensor_curl(self, vector_field, coords):计算向量场的旋度仅适用于三维空间参数:vector_field: 向量场coords: 坐标变量列表 (x, y, z)返回:numpy数组或sympy数组: 向量场的旋度if len(vector_field) ! 3 or len(coords) ! 3:raise ValueError(旋度计算仅适用于三维向量场)P, Q, R vector_fieldx, y, z coordscurl_x diff(R, y) - diff(Q, z)curl_y diff(P, z) - diff(R, x)curl_z diff(Q, x) - diff(P, y)return Array([curl_x, curl_y, curl_z])def laplacian(self, scalar_field, coords):计算标量场的拉普拉斯算子参数:scalar_field: 标量场coords: 坐标变量列表返回:sympy表达式: 标量场的拉普拉斯result 0for coord in coords:result diff(scalar_field, coord, coord)return result# 爱因斯坦求和约定 def einstein_sum(self, expr, *operands):使用爱因斯坦求和约定计算张量运算参数:expr: 求和表达式如ij,jk-ik表示矩阵乘法operands: 参与运算的张量列表返回:numpy数组: 计算结果return np.einsum(expr, *operands)# 克里斯托费尔符号 def christoffel_symbols(self, metric, coords):计算克里斯托费尔符号 Γ^k_ij参数:metric: 度规张量 g_ijcoords: 坐标变量列表返回:sympy数组: 克里斯托费尔符号n len(coords)metric_inv sp.Matrix(metric).inv()# 创建克里斯托费尔符号数组christoffel Array(np.zeros((n, n, n), dtypeobject))# 计算每个分量for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):term 0for m in range(n):term 0.5 * metric_inv[k, m] * (diff(metric[i, m], coords[j]) diff(metric[j, m], coords[i]) - diff(metric[i, j], coords[m]))christoffel[k, i, j] term.simplify()return christoffel# 黎曼曲率张量 def riemann_tensor(self, metric, coords):计算黎曼曲率张量 R^l_ijk参数:metric: 度规张量 g_ijcoords: 坐标变量列表返回:sympy数组: 黎曼曲率张量n len(coords)christoffel self.christoffel_symbols(metric, coords)# 创建黎曼曲率张量数组riemann Array(np.zeros((n, n, n, n), dtypeobject))# 计算每个分量for l in range(n):for i in range(n):for j in range(n):for k in range(n):# 第一项: ∂Γ^l_ik/∂x^jterm1 diff(christoffel[l, i, k], coords[j])# 第二项: ∂Γ^l_ij/∂x^kterm2 diff(christoffel[l, i, j], coords[k])# 第三项: Γ^m_ik Γ^l_mjterm3 0for m in range(n):term3 christoffel[m, i, k] * christoffel[l, m, j]# 第四项: Γ^m_ij Γ^l_mkterm4 0for m in range(n):term4 christoffel[m, i, j] * christoffel[l, m, k]# 组合所有项riemann[l, i, j, k] (term1 - term2 term3 - term4).simplify()return riemann# 里奇张量和标量曲率 def ricci_tensor(self, metric, coords):计算里奇张量 R_ij参数:metric: 度规张量 g_ijcoords: 坐标变量列表返回:sympy数组: 里奇张量riemann self.riemann_tensor(metric, coords)# 缩并第一和第三指标得到里奇张量return tensorcontraction(riemann, (0, 2))def scalar_curvature(self, metric, coords):计算标量曲率 R参数:metric: 度规张量 g_ijcoords: 坐标变量列表返回:sympy表达式: 标量曲率ricci self.ricci_tensor(metric, coords)metric_inv sp.Matrix(metric).inv()# 计算 R g^ij R_ijscalar 0for i in range(len(coords)):for j in range(len(coords)):scalar metric_inv[i, j] * ricci[i, j]return scalar.simplify()# 可视化 def visualize_vector_field(self, vector_field, coords, domain, density15):可视化二维或三维向量场参数:vector_field: 向量场函数或表达式coords: 坐标变量列表domain: 定义域格式为[(x_min, x_max), (y_min, y_max), ...]density: 箭头密度if len(coords) 2:# 二维向量场x_min, x_max domain[0]y_min, y_max domain[1]x np.linspace(x_min, x_max, density)y np.linspace(y_min, y_max, density)X, Y np.meshgrid(x, y)# 计算向量场值if callable(vector_field):U, V vector_field(X, Y)else:# 假设vector_field是sympy表达式u_expr, v_expr vector_fieldu_func sp.lambdify(coords, u_expr, numpy)v_func sp.lambdify(coords, v_expr, numpy)U u_func(X, Y)V v_func(X, Y)# 可视化plt.figure(figsize(10, 8))plt.quiver(X, Y, U, V, np.sqrt(U**2 V**2), cmapviridis)plt.colorbar(label向量大小)plt.xlabel(f{coords[0]})plt.ylabel(f{coords[1]})plt.title(向量场可视化)plt.grid(True)plt.show()elif len(coords) 3:# 三维向量场x_min, x_max domain[0]y_min, y_max domain[1]z_min, z_max domain[2]x np.linspace(x_min, x_max, density)y np.linspace(y_min, y_max, density)z np.linspace(z_min, z_max, density)X, Y, Z np.meshgrid(x, y, z)# 计算向量场值if callable(vector_field):U, V, W vector_field(X, Y, Z)else:# 假设vector_field是sympy表达式u_expr, v_expr, w_expr vector_fieldu_func sp.lambdify(coords, u_expr, numpy)v_func sp.lambdify(coords, v_expr, numpy)w_func sp.lambdify(coords, w_expr, numpy)U u_func(X, Y, Z)V v_func(X, Y, Z)W w_func(X, Y, Z)# 可视化fig plt.figure(figsize(10, 8))ax fig.add_subplot(111, projection3d)ax.quiver(X, Y, Z, U, V, W, length0.1, normalizeTrue, cmapviridis)ax.set_xlabel(f{coords[0]})ax.set_ylabel(f{coords[1]})ax.set_zlabel(f{coords[2]})ax.set_title(三维向量场可视化)plt.show()else:raise ValueError(只能可视化二维或三维向量场)# 示例使用
def example_usage():ta TensorAnalysis()print(\n 张量基本运算示例 )# 创建张量A Array([[1, 2], [3, 4]])B Array([[5, 6], [7, 8]])print(张量 A:)print(A)print(\n张量 B:)print(B)# 张量积product ta.tensor_product(A, B)print(\n张量积 A⊗B:)print(product)# 张量缩并contraction ta.tensor_contraction(product, [(1, 2)])print(\n缩并结果 (A⊗B)_{ik} A_{ij}B_{jk}:)print(contraction)# 爱因斯坦求和约定einsum_result ta.einstein_sum(ij,jk-ik, np.array(A), np.array(B))print(\n使用爱因斯坦求和约定 (A⊗B)_{ik}:)print(einsum_result)print(\n 张量微积分示例 )# 定义坐标变量x, y, z symbols(x y z)coords [x, y, z]# 定义标量场scalar_field x**2 y**2 z**2print(\n标量场 φ , scalar_field)# 计算梯度gradient ta.tensor_gradient(scalar_field, coords)print(\n梯度 ∇φ , gradient)# 定义向量场vector_field Array([x*y, y*z, x*z])print(\n向量场 F , vector_field)# 计算散度divergence ta.tensor_divergence(vector_field, coords)print(\n散度 ∇·F , divergence)# 计算旋度curl ta.tensor_curl(vector_field, coords)print(\n旋度 ∇×F , curl)# 计算拉普拉斯算子laplacian ta.laplacian(scalar_field, coords)print(\n拉普拉斯算子 ∇²φ , laplacian)print(\n 微分几何示例 )# 定义二维球面的度规张量theta, phi symbols(theta phi)metric Array([[1, 0], [0, sp.sin(theta)**2]])print(\n球面度规张量 g_ij:)print(metric)# 计算克里斯托费尔符号christoffel ta.christoffel_symbols(metric, [theta, phi])print(\n克里斯托费尔符号 Γ^k_ij:)print(christoffel)# 计算里奇张量ricci ta.ricci_tensor(metric, [theta, phi])print(\n里奇张量 R_ij:)print(ricci)# 计算标量曲率scalar ta.scalar_curvature(metric, [theta, phi])print(\n标量曲率 R , scalar)print(\n 向量场可视化示例 )# 可视化二维向量场vector_field_2d Array([-y, x]) # 旋转向量场ta.visualize_vector_field(vector_field_2d, [x, y], [(-3, 3), (-3, 3)], density10)# 可视化三维向量场vector_field_3d Array([-x, -y, z]) # 向心轴向向量场ta.visualize_vector_field(vector_field_3d, [x, y, z], [(-2, 2), (-2, 2), (0, 4)], density8)if __name__ __main__:example_usage()
1. 有限差分法求解偏微分方程
有限差分法是求解 PDE 最基本的方法它将导数近似为差分从而将 PDE 转化为代数方程组。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Ddef solve_heat_equation(L, T, nx, nt, k, initial_condition, boundary_conditions):求解一维热传导方程 u_t k * u_xx参数:L: 空间域长度T: 时间域长度nx: 空间网格点数nt: 时间网格点数k: 热扩散系数initial_condition: 初始条件函数boundary_conditions: 边界条件函数(左边界和右边界)返回:tuple: (x坐标, t坐标, 温度分布u)# 网格划分dx L / (nx - 1)dt T / nt# 检查稳定性条件if k * dt / dx**2 0.5:print(f警告: 不满足稳定性条件可能导致数值不稳定)print(f当前参数: k*dt/dx² {k*dt/dx**2}应小于等于0.5)# 创建网格x np.linspace(0, L, nx)t np.linspace(0, T, nt1)# 初始化解数组u np.zeros((nt1, nx))# 设置初始条件u[0, :] initial_condition(x)# 设置边界条件left_bc, right_bc boundary_conditionsfor j in range(nt1):u[j, 0] left_bc(t[j])u[j, -1] right_bc(t[j])# 显式差分方法求解for j in range(nt):for i in range(1, nx-1):u[j1, i] u[j, i] k * dt / dx**2 * (u[j, i1] - 2*u[j, i] u[j, i-1])return x, t, u# 示例求解热传导方程
def example_heat_equation():# 参数设置L 1.0 # 空间域长度T 0.1 # 时间域长度nx 51 # 空间网格点数nt 1000 # 时间网格点数k 0.01 # 热扩散系数# 初始条件u(x,0) sin(πx)def initial_condition(x):return np.sin(np.pi * x)# 边界条件u(0,t) 0, u(1,t) 0def left_bc(t):return 0def right_bc(t):return 0boundary_conditions (left_bc, right_bc)# 求解PDEx, t, u solve_heat_equation(L, T, nx, nt, k, initial_condition, boundary_conditions)# 可视化结果plt.figure(figsize(12, 8))# 3D表面图X, T np.meshgrid(x, t)fig plt.figure(figsize(12, 8))ax fig.add_subplot(111, projection3d)surf ax.plot_surface(X, T, u, cmapviridis)ax.set_xlabel(x)ax.set_ylabel(t)ax.set_zlabel(u(x,t))ax.set_title(热传导方程的解 u_t k*u_xx)fig.colorbar(surf, shrink0.5, aspect5)plt.show()# 不同时间的温度分布曲线plt.figure(figsize(10, 6))times [0, 0.02, 0.05, 0.1]for t_val in times:idx int(t_val * nt / T)plt.plot(x, u[idx, :], labelft {t_val:.2f})plt.xlabel(x)plt.ylabel(u(x,t))plt.title(不同时间的温度分布)plt.legend()plt.grid(True)plt.show()if __name__ __main__:example_heat_equation()2. 使用有限元法求解 PDE
对于复杂几何形状和边界条件有限元法 (FEM) 是更有效的方法。Python 的fenics库提供了强大的有限元求解功能。
from fenics import *
import matplotlib.pyplot as pltdef solve_poisson_equation():求解泊松方程 -∇²u f# 创建网格和定义函数空间mesh UnitSquareMesh(8, 8) # 8x8的网格V FunctionSpace(mesh, P, 1) # 一阶拉格朗日有限元# 定义边界条件def boundary(x, on_boundary):return on_boundaryu_D Expression(1 x[0]*x[0] 2*x[1]*x[1], degree2)bc DirichletBC(V, u_D, boundary)# 定义变分问题u TrialFunction(V)v TestFunction(V)f Constant(-6.0)a dot(grad(u), grad(v))*dxL f*v*dx# 计算解u Function(V)solve(a L, u, bc)# 计算误差u_e Expression(1 x[0]*x[0] 2*x[1]*x[1], degree2)error_L2 errornorm(u_e, u, L2)print(fL2误差: {error_L2:.6f})# 计算最大误差vertex_values_u_e u_e.compute_vertex_values(mesh)vertex_values_u u.compute_vertex_values(mesh)error_max np.max(np.abs(vertex_values_u_e - vertex_values_u))print(f最大误差: {error_max:.6f})# 可视化结果plt.figure(figsize(10, 8))plot(u, title泊松方程的解)plt.colorbar(plot(u))plt.show()# 可视化网格plt.figure(figsize(8, 6))plot(mesh, title计算网格)plt.show()if __name__ __main__:solve_poisson_equation()3. 使用谱方法求解 PDE
谱方法适用于周期性边界条件的问题具有很高的精度。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeintdef solve_kdv_equation():求解Korteweg-de Vries方程 u_t u*u_x u_xxx 0# 空间域和网格L 20N 256dx L / Nx np.arange(0, L, dx)# 初始条件: 孤子波c 1.0 # 波速u0 3*c / (np.cosh(0.5 * np.sqrt(c) * (x - L/2))**2)# 波数k np.fft.fftfreq(N, dx) * 2*np.pi# 定义ODE系统 (在傅里叶空间)def kdv(u_hat, t, k):# 转换回物理空间u np.fft.ifft(u_hat)# 计算导数u_x np.fft.ifft(1j * k * u_hat)# 非线性项nonlin -u * u_x# 转换回傅里叶空间nonlin_hat np.fft.fft(nonlin)# 色散项dispersion 1j * k**3 * u_hat# 演化方程du_hat_dt nonlin_hat dispersionreturn du_hat_dt# 初始条件的傅里叶变换u0_hat np.fft.fft(u0)# 时间点t np.linspace(0, 10, 50)# 求解ODE系统u_hat_sol odeint(kdv, u0_hat, t, args(k,))# 转换回物理空间u_sol np.zeros((len(t), N))for i in range(len(t)):u_sol[i, :] np.real(np.fft.ifft(u_hat_sol[i, :]))# 可视化结果plt.figure(figsize(12, 8))plt.imshow(u_sol, extent[0, L, 0, 10], aspectauto, cmapviridis, originlower)plt.colorbar(labelu(x,t))plt.xlabel(x)plt.ylabel(t)plt.title(KdV方程的解 (孤子演化))plt.show()# 绘制特定时间的解plt.figure(figsize(10, 6))times [0, 2, 4, 6, 8, 10]for i, t_val in enumerate(times):idx int(t_val * (len(t) - 1) / 10)plt.plot(x, u_sol[idx, :], labelft {t_val})plt.xlabel(x)plt.ylabel(u(x,t))plt.title(不同时间的KdV方程解)plt.legend()plt.grid(True)plt.show()if __name__ __main__:solve_kdv_equation()4. 使用scipy.integrate.solve_bvp求解边值问题
对于二阶 PDE 转换的边值问题可以使用scipy的 BVP 求解器。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_bvpdef solve_bratu_problem():求解Bratu问题 u λ*exp(u) 0u(0)u(1)0# 定义方程def fun(x, y, p):lambda_ p[0]return np.vstack((y[1], -lambda_ * np.exp(y[0])))# 定义边界条件def bc(ya, yb, p):lambda_ p[0]return np.array([ya[0], yb[0], ya[1] lambda_]) # ya[1] lambda_ 是为了得到非平凡解# 初始网格和猜测解x np.linspace(0, 1, 10)y_guess np.zeros((2, x.size)) # y[0]是uy[1]是u# 求解BVPlambda_guess 2.0 # 参数λ的初始猜测值sol solve_bvp(fun, bc, x, y_guess, p[lambda_guess], verbose2)# 打印结果print(f求解成功: {sol.success})print(f参数 λ {sol.p[0]:.6f})# 可视化解x_plot np.linspace(0, 1, 100)y_plot sol.sol(x_plot)plt.figure(figsize(10, 6))plt.plot(x_plot, y_plot[0], b-, linewidth2)plt.xlabel(x)plt.ylabel(u(x))plt.title(fBratu问题的解 (λ {sol.p[0]:.4f}))plt.grid(True)plt.show()if __name__ __main__:solve_bratu_problem()5. 使用神经网络求解 PDE (Physics-Informed Neural Networks)
对于复杂 PDE还可以使用神经网络求解即 Physics-Informed Neural Networks (PINNs)。
import numpy as np
import tensorflow as tf
import matplotlib.pyplot as pltclass PINN:Physics-Informed Neural Network求解器def __init__(self, layers, x_train, t_train, u_train, lb, ub):初始化PINN参数:layers: 神经网络层数x_train, t_train, u_train: 训练数据lb, ub: 定义域的下界和上界# 网络参数self.layers layersself.lb lbself.ub ub# 训练数据self.x_train x_trainself.t_train t_trainself.u_train u_train# 创建神经网络self.model self.build_model()# 优化器self.optimizer tf.keras.optimizers.Adam(learning_rate0.001)def build_model(self):构建神经网络模型model tf.keras.Sequential()# 输入层model.add(tf.keras.layers.InputLayer(input_shape(2,)))# 归一化层model.add(tf.keras.layers.Lambda(lambda x: 2.0 * (x - self.lb) / (self.ub - self.lb) - 1.0))# 隐藏层for layer_size in self.layers:model.add(tf.keras.layers.Dense(layer_size, activationtanh,kernel_initializerglorot_normal))# 输出层model.add(tf.keras.layers.Dense(1))return modeldef grad(self, x, t):计算梯度with tf.GradientTape(persistentTrue) as tape:tape.watch(x)tape.watch(t)u self.model(tf.concat([x, t], 1))u_x tape.gradient(u, x)u_t tape.gradient(u, t)u_xx tape.gradient(u_x, x)del tapereturn u, u_t, u_xxdef loss(self, x, t, u):计算损失函数# 预测解u_pred, u_t, u_xx self.grad(x, t)# PDE残差f u_t - 0.01 * u_xx # 热传导方程 u_t 0.01*u_xx# 损失函数mse_u tf.reduce_mean(tf.square(u - u_pred))mse_f tf.reduce_mean(tf.square(f))return mse_u mse_fdef train_step(self, x, t, u):执行一个训练步骤with tf.GradientTape() as tape:loss_value self.loss(x, t, u)# 计算梯度grads tape.gradient(loss_value, self.model.trainable_variables)# 应用梯度self.optimizer.apply_gradients(zip(grads, self.model.trainable_variables))return loss_valuedef train(self, epochs):训练模型for epoch in range(epochs):loss_value self.train_step(self.x_train, self.t_train, self.u_train)if epoch % 100 0:print(fEpoch {epoch}, Loss: {loss_value.numpy():.8f})def predict(self, x, t):预测解u_pred self.model(tf.concat([x, t], 1))return u_preddef solve_heat_equation_pinn():使用PINN求解热传导方程# 定义定义域lb np.array([0.0, 0.0]) # 下界 [x_min, t_min]ub np.array([1.0, 0.2]) # 上界 [x_max, t_max]# 创建训练数据x_train np.linspace(lb[0], ub[0], 100)[:, None]t_train np.linspace(lb[1], ub[1], 50)[:, None]X, T np.meshgrid(x_train, t_train)x_train X.flatten()[:, None]t_train T.flatten()[:, None]# 初始条件: u(x,0) sin(πx)u_train np.sin(np.pi * x_train) * np.exp(-np.pi**2 * t_train)# 定义神经网络结构layers [20, 20, 20, 20, 20] # 隐藏层# 创建并训练PINNpinn PINN(layers, x_train, t_train, u_train, lb, ub)pinn.train(epochs5000)# 预测和解的可视化x_plot np.linspace(lb[0], ub[0], 200)t_plot np.linspace(lb[1], ub[1], 100)X_plot, T_plot np.meshgrid(x_plot, t_plot)x_flat X_plot.flatten()[:, None]t_flat T_plot.flatten()[:, None]u_pred pinn.predict(x_flat, t_flat)U_pred u_pred.numpy().reshape(X_plot.shape)# 可视化结果plt.figure(figsize(12, 8))plt.imshow(U_pred, extent[lb[0], ub[0], lb[1], ub[1]], aspectauto, cmapviridis, originlower)plt.colorbar(labelu(x,t))plt.xlabel(x)plt.ylabel(t)plt.title(使用PINN求解热传导方程)plt.show()# 特定时间的解plt.figure(figsize(10, 6))times [0.0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2]for t_val in times:t_idx np.abs(t_plot - t_val).argmin()plt.plot(x_plot, U_pred[t_idx, :], labelft {t_val})plt.xlabel(x)plt.ylabel(u(x,t))plt.title(不同时间的热传导方程解)plt.legend()plt.grid(True)plt.show()if __name__ __main__:solve_heat_equation_pinn()总结
以上介绍了 Python 中几种主要的 PDE 求解方法
有限差分法简单直接适合规则网格和简单边界条件有限元法适合复杂几何形状和边界条件使用 FEniCS 库谱方法高精度适合周期性问题边值问题求解器使用 scipy.integrate.solve_bvp 求解两点边值问题物理信息神经网络 (PINNs)适合复杂 PDE具有自动微分和深度学习的优势
