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2023年11月16日 文章目录 范数理论1. 向量的范数2. 常用向量范数3. 向量范数的等价性4. 矩阵的范数5. 常用的矩阵范数6. 矩阵范数与向量范数的相容性7. 矩阵范数诱导的向量范数8. 由向量范数诱导的矩阵范数9. 矩阵范数的酉不变性10. 矩阵范数的等价性11. 长方阵的范数…范数理论
2023年11月16日 文章目录 范数理论1. 向量的范数2. 常用向量范数3. 向量范数的等价性4. 矩阵的范数5. 常用的矩阵范数6. 矩阵范数与向量范数的相容性7. 矩阵范数诱导的向量范数8. 由向量范数诱导的矩阵范数9. 矩阵范数的酉不变性10. 矩阵范数的等价性11. 长方阵的范数下链 1. 向量的范数
向量的长度也称为向量的二范数 [!quote]- 长度的定理 设 x , y , z ∈ C n , λ ∈ C {x,y,z\in \mathbb C^n \,\,,\,\, \lambda\in \mathbb C} x,y,z∈Cn,λ∈C 非负性长度大于等于 0 {0} 0 仅当向量为 0 {0} 0 时取等。齐次性 ∣ ∣ λ x ∣ ∣ ∣ λ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ || \lambda x||| \lambda| \cdot ||x|| ∣∣λx∣∣∣λ∣⋅∣∣x∣∣。三角不等式性 ∣ ∣ x y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ ||xy||\le||x||||y|| ∣∣xy∣∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣。 定义 设 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ {|| \cdot ||} ∣∣⋅∣∣ 是 C n { \mathbb C^n } Cn 上的一个泛函满足
正定性 ∀ x ∈ C n {\forall x\in \mathbb C^n} ∀x∈Cn ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ 0 {||x||\ge 0} ∣∣x∣∣≥0 且 ∣ ∣ x ∣ ∣ 0 {||x||0} ∣∣x∣∣0 的充要条件是 x 0 {x0} x0齐次性 ∀ λ ∈ C {\forall \lambda \in \mathbb C} ∀λ∈C x ∈ C n {x\in \mathbb C^n} x∈Cn ∣ ∣ λ x ∣ ∣ ∣ λ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ {|| \lambda x||| \lambda| \cdot ||x||} ∣∣λx∣∣∣λ∣⋅∣∣x∣∣三角不等式性 ∀ x , y ∈ C n { \forall x,y\in \mathbb C^n} ∀x,y∈Cn ∣ ∣ x y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ {||xy|| \le ||x||||y||} ∣∣xy∣∣≤∣∣x∣∣∣∣y∣∣
则称 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ {|| \cdot ||} ∣∣⋅∣∣ 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上的一个向量范数。
定理 对任意 x , y ∈ C n {x,y\in \mathbb C^n} x,y∈Cn 有 ∣ ∣ − x ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ {||-x||||x||} ∣∣−x∣∣∣∣x∣∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ − ∣ ∣ y ∣ ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ x − y ∣ ∣ {|||x||-||y|||\le||x-y||} ∣∣∣x∣∣−∣∣y∣∣∣≤∣∣x−y∣∣ 2. 常用向量范数
设 x ∈ C n {x\in \mathbb C^n} x∈Cn 定义
向量的1范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 ∑ i 1 n ∣ x i ∣ ||x||_1 \sum_{i1}^{ n}|x_i| ∣∣x∣∣1i1∑n∣xi∣ 为每个分量的绝对值之和。向量的2范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ∑ i 1 n ∣ x i ∣ 2 ||x||_2 \sqrt{ \sum_{i1}^{ n}|x_i|^2} ∣∣x∣∣2i1∑n∣xi∣2 长度欧几里得空间中的距离。向量的 p {p} p 范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ p ( ∑ i 1 n ∣ x i ∣ p ) 1 p , 1 ≤ p ≤ ∞ ||x||_p (\sum_{i1}^{ n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} \,\,,\,\, 1\le p\le \infty ∣∣x∣∣p(i1∑n∣xi∣p)p1,1≤p≤∞向量的无穷范数 p → ∞ {p\to\infty} p→∞ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ max 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ ||x||_\infty \max_{1\le i\le n}|x_i| ∣∣x∣∣∞1≤i≤nmax∣xi∣ 向量分量中绝对值最大的一个。
如果 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n 是Hermit正定矩阵则 ∣ ∣ x ∣ ∣ A x H A x , x ∈ C n {||x||_A \sqrt{x^ \mathrm H Ax}\,\,,\,\, x\in \mathbb C^n} ∣∣x∣∣AxHAx ,x∈Cn 也是 C n { \mathbb C^n } Cn 上的向量范数。 3. 向量范数的等价性
定义 设 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上两个向量范数如果存在常数 c 1 , c 2 0 {c_1,c_20} c1,c20 使得 ∀ x ∈ C n { \forall x\in \mathbb C^n} ∀x∈Cn 有 c 1 ∣ ∣ x ∣ ∣ v 1 ≤ ∣ ∣ x ∣ ∣ v 2 ≤ c 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ v 1 c_1||x||_{v1}\le||x||_{v2}\le c_2||x||_{v1} c1∣∣x∣∣v1≤∣∣x∣∣v2≤c2∣∣x∣∣v1 则称向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 等价。
理解 向量空间所有向量的 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 范数不会小于其 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 范数的 c 1 {c_1} c1 倍也不会大于其 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 范数的 c 2 {c_2} c2 倍。同一个向量的两个范数要么同时大要么同时小但不一定成比例。
向量范数的等价实际上是等价关系
自身性所有范数与自己等价对称性若 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 等价则 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 等价传递性若 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 等价 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 3 {|| \cdot ||_{v3}} ∣∣⋅∣∣v3 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 等价则 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 3 {|| \cdot ||_{v3}} ∣∣⋅∣∣v3 等价
定理 C n {\mathbb C^n} Cn 上的所有向量范数等价。 向量范数在向量序列极限概念上的应用 lim k → ∞ x ( k ) x ⟺ lim k → ∞ ∣ ∣ x ( k ) − x ∣ ∣ 0 \lim_{k\to\infty}x^{(k)}x \iff \lim_{k\to\infty}||x^{(k)}-x||0 k→∞limx(k)x⟺k→∞lim∣∣x(k)−x∣∣0 4. 矩阵的范数
定义 设 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ {|| \cdot ||} ∣∣⋅∣∣ 是 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的一个泛函满足
正定性 ∀ A ∈ C n × n {\forall A\in \mathbb C^{n \times n}} ∀A∈Cn×n ∣ ∣ x ∣ ∣ ≥ 0 {||x||\ge 0} ∣∣x∣∣≥0 且 ∣ ∣ x ∣ ∣ 0 {||x||0} ∣∣x∣∣0 的充要条件是 x 0 {x0} x0齐次性 ∀ λ ∈ C {\forall \lambda \in \mathbb C} ∀λ∈C A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n}} A∈Cn×n ∣ ∣ λ A ∣ ∣ ∣ λ ∣ ⋅ ∣ ∣ A ∣ ∣ {|| \lambda A||| \lambda| \cdot ||A||} ∣∣λA∣∣∣λ∣⋅∣∣A∣∣三角不等式性 ∀ A , B ∈ C n × n { \forall A,B\in \mathbb C^{n \times n}} ∀A,B∈Cn×n ∣ ∣ A B ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ ∣ B ∣ ∣ {||AB|| \le ||A||||B||} ∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣∣∣B∣∣乘积不等式相容性 ∀ A , B ∈ C n × n { \forall A,B\in \mathbb C^{n \times n}} ∀A,B∈Cn×n ∣ ∣ A B ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ B ∣ ∣ {||AB|| \le ||A|| \cdot ||B||} ∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣
则称 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ {|| \cdot ||} ∣∣⋅∣∣ 是 C n × n { \mathbb C^{n \times n}} Cn×n 上的一个矩阵范数。 5. 常用的矩阵范数
设 A ( a i j ) ∈ C n × n {A(a_{ij})\in \mathbb C^{n \times n}} A(aij)∈Cn×n 定义
矩阵的 m 1 {m_1} m1 范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ m 1 ∑ i 1 n ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_{m1} \sum_{i1}^{ n}\sum_{j1}^{ n}|a_{ij}| ∣∣A∣∣m1i1∑nj1∑n∣aij∣矩阵的 F {F} F 范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ F ( ∑ i 1 n ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) 1 2 tr ( A H A ) ||A||_F (\sum_{i1}^{ n}\sum_{j1}^{ n}|a_{ij}|^2)^{ \frac{1}{2}} \sqrt{\text{tr}(A^{\mathrm H}A) } ∣∣A∣∣F(i1∑nj1∑n∣aij∣2)21tr(AHA) 为每个元素平方再求和最后开方。矩阵的 m ∞ {m_\infty} m∞ 范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ m ∞ n ⋅ max 1 ≤ i , j ≤ n ∣ a i j ∣ ||A||_{m\infty}n \cdot \max_{1\le i,j\le n}|a_{ij}| ∣∣A∣∣m∞n⋅1≤i,j≤nmax∣aij∣ 6. 矩阵范数与向量范数的相容性
定义 设 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m {|| \cdot ||_{m}} ∣∣⋅∣∣m 是 C n × n { \mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上的矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v {|| \cdot ||_{v}} ∣∣⋅∣∣v 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上的向量范数如果 ∀ A ∈ C n × n , x ∈ C n { \forall A\in \mathbb C^{n \times n},x\in \mathbb C^n} ∀A∈Cn×n,x∈Cn ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ m ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ v ||Ax||_v\le ||A||_m \cdot ||x||_v ∣∣Ax∣∣v≤∣∣A∣∣m⋅∣∣x∣∣v 总是成立则称矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m {|| \cdot ||_{m}} ∣∣⋅∣∣m 与向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v {|| \cdot ||_{v}} ∣∣⋅∣∣v 相容。下标m表示matrixv表示vector。
定理
矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m 1 {|| \cdot ||_{m1}} ∣∣⋅∣∣m1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ F {|| \cdot ||_{F}} ∣∣⋅∣∣F 分别与 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 相容矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m ∞ {|| \cdot ||_{m\infty}} ∣∣⋅∣∣m∞ 与向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 1 {|| \cdot ||_{v1}} ∣∣⋅∣∣v1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v 2 {|| \cdot ||_{v2}} ∣∣⋅∣∣v2 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v ∞ {|| \cdot ||_{v\infty}} ∣∣⋅∣∣v∞ 相容 7. 矩阵范数诱导的向量范数
对于任意的矩阵范数都可以找到与之相容的向量范数。 设 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m {|| \cdot ||_m} ∣∣⋅∣∣m 是 C n × n { \mathbb C^{n \times n}} Cn×n 上一个矩阵范数取 a ∈ C n {a\in \mathbb C^n} a∈Cn 且 a ≠ 0 {a\ne0} a0 定义 ∣ ∣ x ∣ ∣ v ∣ ∣ x a H ∣ ∣ m , x ∈ C n ||x||_v||xa^ \mathrm H||_m \,\,,\,\, x\in \mathbb C^n ∣∣x∣∣v∣∣xaH∣∣m,x∈Cn 可以证明它是 C n { \mathbb C^n } Cn 上的向量范数称为由矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m {|| \cdot ||_m} ∣∣⋅∣∣m 所诱导的向量范数。 定理 C n × n {\mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上任意一矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m {|| \cdot ||_m} ∣∣⋅∣∣m 与他所诱导的向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v {|| \cdot ||_v} ∣∣⋅∣∣v 相容。 ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ∣ ∣ ( A x ) a H ∣ ∣ m ∣ ∣ A ( x a H ) ∣ ∣ m ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ m ∣ ∣ ( x a H ) ∣ ∣ m ∣ ∣ A ∣ ∣ m ∣ ∣ x ∣ ∣ v \begin{align*} ||Ax||_v||(Ax)a^ \mathrm H||_m||A(xa^ \mathrm H)||_m \\ \\ \le||A||_m||(xa^ \mathrm H)||_m||A||_m||x||_v \end{align*} ∣∣Ax∣∣v≤∣∣(Ax)aH∣∣m∣∣A(xaH)∣∣m∣∣A∣∣m∣∣(xaH)∣∣m∣∣A∣∣m∣∣x∣∣v 8. 由向量范数诱导的矩阵范数
设 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v {|| \cdot ||_v} ∣∣⋅∣∣v 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上一个向量范数定义 ∣ ∣ A ∣ ∣ m max ∣ ∣ x ∣ ∣ v 1 ∣ ∣ A x ∣ ∣ v max x ≠ 0 ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ∣ ∣ x ∣ ∣ v , A ∈ C n × n ||A||_m\max_{||x||_v1}||Ax||_v\max_{x\ne 0} \frac{||Ax||_v}{||x||_v} \,\,,\,\, A\in \mathbb C^{n \times n} ∣∣A∣∣m∣∣x∣∣v1max∣∣Ax∣∣vx0max∣∣x∣∣v∣∣Ax∣∣v,A∈Cn×n ( ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ∣ ∣ x ∣ ∣ v ∣ ∣ 1 ∣ ∣ x ∣ ∣ v A x ∣ ∣ v ∣ ∣ A ( 1 ∣ ∣ x ∣ ∣ v x ) ∣ ∣ v ) \bigg( \frac{||Ax||_v}{||x||_v} \bigg| \bigg| \frac{1}{||x||_{v}}Ax \bigg| \bigg| _{v} \bigg| \bigg| A \bigg( \frac{1}{||x||_{v }}x \bigg) \bigg| \bigg|_v \bigg) (∣∣x∣∣v∣∣Ax∣∣v ∣∣x∣∣v1Ax v A(∣∣x∣∣v1x) v) 称为由向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v { || \cdot ||_{ v}} ∣∣⋅∣∣v 所诱导的矩阵范数从属范数。 定理 C n {\mathbb C^{n} } Cn 上任意一向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v {|| \cdot ||_v} ∣∣⋅∣∣v 与他所诱导的矩阵范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m {|| \cdot ||_m} ∣∣⋅∣∣m 相容。
将向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 1 { || \cdot ||_{1 }} ∣∣⋅∣∣1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 { || \cdot ||_{2 }} ∣∣⋅∣∣2 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ { || \cdot ||_{\infty }} ∣∣⋅∣∣∞ 诱导的矩阵范数分别记为 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 1 { || \cdot ||_{1 }} ∣∣⋅∣∣1 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 { || \cdot ||_{2 }} ∣∣⋅∣∣2 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∞ { || \cdot ||_{\infty }} ∣∣⋅∣∣∞ 则有在同济大学《数值分析》或者一些数值分析速通网课里面提到的矩阵范数。 列范数
矩阵的1范数列和范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 max 1 ≤ j ≤ n ∑ i 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_1\max_{1\le j\le n} \sum_{i1}^{ n}|a_{ij}| ∣∣A∣∣11≤j≤nmaxi1∑n∣aij∣ 为每列元素绝对值之和的最大的一个。矩阵的2范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ( A T A 的最大特征值 ) ||A||_2 \sqrt{(A^ \mathrm TA的最大特征值)} ∣∣A∣∣2(ATA的最大特征值) 行范数矩阵的 ∞ {\infty} ∞ 范数行和范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ max 1 ≤ i ≤ n ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_\infty\max_{1\le i\le n} \sum_{j1}^{ n}|a_{ij}| ∣∣A∣∣∞1≤i≤nmaxj1∑n∣aij∣ 为每行元素绝对值之和的最大的一个。矩阵的 F {F} F 范数也是行范数。
相容关系如下 ∣ ∣ A x ∣ ∣ 1 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 ∣ ∣ A x ∣ ∣ ∞ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ F ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 \begin{align*} ||Ax||_1\le ||A||_1 \cdot ||x||_1\\ \\ ||Ax||_\infty\le ||A||_\infty \cdot ||x||_\infty\\ \\ ||Ax||_2\le ||A||_2 \cdot ||x||_2\\ \\ ||Ax||_2\le ||A||_F \cdot ||x||_2\\ \\ \end{align*} ∣∣Ax∣∣1≤∣∣Ax∣∣∞≤∣∣Ax∣∣2≤∣∣Ax∣∣2≤∣∣A∣∣1⋅∣∣x∣∣1∣∣A∣∣∞⋅∣∣x∣∣∞∣∣A∣∣2⋅∣∣x∣∣2∣∣A∣∣F⋅∣∣x∣∣2 9. 矩阵范数的酉不变性
设 A ∈ C n × n {A\in \mathbb C^{n \times n} } A∈Cn×n 则 ∣ ∣ A H ∣ ∣ F ∣ ∣ A ∣ ∣ F {||A^ \mathrm H||_F || A ||_{F }} ∣∣AH∣∣F∣∣A∣∣F ∣ ∣ A H ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 { || A^ \mathrm H ||_{ 2} || A ||_{ 2}} ∣∣AH∣∣2∣∣A∣∣2酉不变性 对任意酉矩阵 U , V ∈ C n × n {U,V \in \mathbb C^{n \times n} } U,V∈Cn×n ∣ ∣ U A ∣ ∣ F ∣ ∣ A V ∣ ∣ F ∣ ∣ U A V ∣ ∣ F , ∣ ∣ U A ∣ ∣ 2 ∣ ∣ A V ∣ ∣ 2 ∣ ∣ U A V ∣ ∣ 2 || UA ||_{ F} || AV ||_{ F} || UAV ||_{ F} \,\,,\,\, || UA ||_{ 2} || AV ||_{ 2} || UAV ||_{ 2} ∣∣UA∣∣F∣∣AV∣∣F∣∣UAV∣∣F,∣∣UA∣∣2∣∣AV∣∣2∣∣UAV∣∣2若 A {A} A 是正规矩阵且 λ 1 , λ 2 , ⋅ , λ n { \lambda_1, \lambda_2, \cdot , \lambda_n} λ1,λ2,⋅,λn 是 A {A} A 的 n {n} n 个特征值则 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 max k ∣ λ k ∣ || A ||_{2 } \max_k | \lambda_k | ∣∣A∣∣2kmax∣λk∣ 即如果 A {A} A 正规 A {A} A 的 2 {2} 2 范数是它最大特征值的绝对值与谱半径相等。 10. 矩阵范数的等价性
定理 C n × n {\mathbb C^{n \times n} } Cn×n 上所有矩阵范数等价。 11. 长方阵的范数
矩阵范数的相容性 ∀ A ∈ C m × n {\forall A\in \mathbb C^{m \times n}} ∀A∈Cm×n B ∈ C n × l {B\in \mathbb C^{n \times l}} B∈Cn×l ∣ ∣ A B ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ B ∣ ∣ || AB ||_{ }\le || A ||_{ } \cdot || B ||_{ } ∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣B∣∣ 矩阵范数与向量范数的相容性 ∀ A ∈ C m × n {\forall A\in \mathbb C^{m \times n}} ∀A∈Cm×n x ∈ C n {x\in \mathbb C^{n}} x∈Cn ∣ ∣ A x ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ x ∣ ∣ || Ax ||_{ }\le || A ||_{ } \cdot || x ||_{ } ∣∣Ax∣∣≤∣∣A∣∣⋅∣∣x∣∣ 从属范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ max ∣ ∣ x ∣ ∣ v 1 ∣ ∣ A x ∣ ∣ v max x ≠ 0 ∣ ∣ A x ∣ ∣ v ∣ ∣ x ∣ ∣ v , A ∈ C m × n || A ||_{ } \max_{|| x ||_{v }1} || Ax ||_{ v}\max_{x\ne 0} \frac{|| Ax ||_{ v}}{|| x ||_{ v}} \,\,,\,\, A\in \mathbb C^{m \times n} ∣∣A∣∣∣∣x∣∣v1max∣∣Ax∣∣vx0max∣∣x∣∣v∣∣Ax∣∣v,A∈Cm×n 其中 ∣ ∣ A x ∣ ∣ v { || Ax ||_{v }} ∣∣Ax∣∣v 是 C m { \mathbb C^m } Cm 上的范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ v { || x ||_{ v}} ∣∣x∣∣v 是 C n { \mathbb C^n} Cn 上的范数。
对任意 A ∈ C m × n {A\in \mathbb C^{m \times n} } A∈Cm×n 常用的矩阵范数有
长方阵的 m 1 {m_1} m1 范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ m 1 ∑ i 1 m ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ ||A||_{m1} \sum_{i1}^{ m}\sum_{j1}^{ n}|a_{ij}| ∣∣A∣∣m1i1∑mj1∑n∣aij∣长方阵的 F {F} F 范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ F ( ∑ i 1 m ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ 2 ) 1 2 tr ( A H A ) ||A||_F (\sum_{i1}^{ m}\sum_{j1}^{ n}|a_{ij}|^2)^{ \frac{1}{2}} \sqrt{\text{tr}(A^{\mathrm H}A) } ∣∣A∣∣F(i1∑mj1∑n∣aij∣2)21tr(AHA) 为每个元素平方再求和最后开方。长方阵的 M {M} M 范数或最大范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ M max { n , m } ⋅ max 1 ≤ i , j ≤ n ∣ a i j ∣ ||A||_{M}\max \lbrace n,m \rbrace \cdot \max_{1\le i,j\le n}|a_{ij}| ∣∣A∣∣Mmax{n,m}⋅1≤i,j≤nmax∣aij∣长方阵的 G {G} G 范数或几何平均范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ G m n ⋅ max i , j ∣ a i j ∣ || A ||_{ G} \sqrt{mn} \cdot \max_{i,j}|a_{ij}| ∣∣A∣∣Gmn ⋅i,jmax∣aij∣长方阵的 1 {1} 1 范数或列和范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 max 1 ≤ j ≤ n ∑ i 1 m ∣ a i j ∣ || A ||_{ 1}\max_{1\le j\le n} \sum_{i1}^{ m}|a_{ij}| ∣∣A∣∣11≤j≤nmaxi1∑m∣aij∣长方阵的 2 {2} 2 范数或谱范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ( A T A 的最大特征值 ) || A ||_{ 2} \sqrt{(A^ \mathrm TA的最大特征值)} ∣∣A∣∣2(ATA的最大特征值) 长方阵的 ∞ {\infty} ∞ 范数或行和范数 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ max 1 ≤ i ≤ m ∑ j 1 n ∣ a i j ∣ || A ||_{\infty } \max_{1\le i\le m} \sum_{j1}^{ n} |a_{ij}| ∣∣A∣∣∞1≤i≤mmaxj1∑n∣aij∣
部分性质 F {F} F 范数 2 {2} 2 范数酉不变 m 1 {m_1} m1 范数与向量 1 {1} 1 范数相容 F {F} F 范数、 G {G} G 范数与向量 2 {2} 2 范数相容 M {M} M 范数与向量 1 {1} 1 2 {2} 2 ∞ {\infty} ∞ 范数相容矩阵 1 {1} 1 2 {2} 2 ∞ {\infty} ∞ 范数分别由向量 1 {1} 1 2 {2} 2 ∞ {\infty} ∞ 范数导出从而相容 C m × n {\mathbb C^{m \times n} } Cm×n 上所有范数等价 下链
