公司网站建设工作内容,南通外贸网站推广,编程和做网站那个号,维护网站要做哪些工作设 λ 0 \lambda_0 λ0 是 A A A 的特征值#xff0c;则 λ 0 \lambda_0 λ0 的代数重数 ≥ \geq ≥ 几何重数
证明
假设 A A A 的特征值 λ 0 \lambda_0 λ0 对应的特征向量有 q 维#xff0c;记为 α 1 , . . . , α q \alpha_1, ... , \alpha_q α1,...,…设 λ 0 \lambda_0 λ0 是 A A A 的特征值则 λ 0 \lambda_0 λ0 的代数重数 ≥ \geq ≥ 几何重数
证明
假设 A A A 的特征值 λ 0 \lambda_0 λ0 对应的特征向量有 q 维记为 α 1 , . . . , α q \alpha_1, ... , \alpha_q α1,...,αq有 A α i λ 0 α i , i 1 , . . . , q A\alpha_i \lambda_0\alpha_i, i 1, ... , q Aαiλ0αi,i1,...,q 以它们作为 n 维向量空间的 q q q 个基底向量再扩充它们将 n 维向量空间的整个基表示为 α 1 , . . . , α q , . . . , α n \alpha_1, ..., \alpha_q, ... , \alpha_n α1,...,αq,...,αn.
记矩阵 B [ α 1 , . . . , α q , . . . α n ] B[\alpha_1, ..., \alpha_q,... \alpha_n] B[α1,...,αq,...αn] 有 B B B 可逆。 A B A [ α 1 , . . , α q , . . . , α n ] [ λ 0 α 1 , . . . , λ 0 α q , . . . , A α n ] [ α 1 , . . , α q , . . . , α n ] [ λ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ λ 0 ∗ ⋯ ∗ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ] A B B [ λ 0 E A 12 O A 22 ] \begin{align*} AB A\begin{bmatrix} \alpha_1,..,\alpha_q,...,\alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_0\alpha_1,...,\lambda_0\alpha_q,...,A\alpha_n \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \alpha_1,..,\alpha_q,...,\alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_0 \cdots 0 * \cdots *\\ \vdots \ddots \vdots \vdots \vdots \\ 0 \cdots \lambda_0 * \cdots *\\ 0 \cdots 0 * \cdots *\\ \vdots \vdots \vdots \vdots \\ 0 \cdots 0 * \cdots *\\ \end{bmatrix}\\ AB B \begin{bmatrix} \lambda_0E A_{12} \\ \mathcal{O} A_{22} \end{bmatrix} \end{align*} ABABA[α1,..,αq,...,αn][λ0α1,...,λ0αq,...,Aαn][α1,..,αq,...,αn] λ0⋮00⋮0⋯⋱⋯⋯⋯0⋮λ00⋮0∗⋮∗∗⋮∗⋯⋯⋯⋯∗⋮∗∗⋮∗ B[λ0EOA12A22] 又B可逆则 B − 1 A B [ λ 0 E A 12 O A 22 ] C B^{-1}AB \begin{bmatrix} \lambda_0E A_{12} \\ \mathcal{O} A_{22} \end{bmatrix} C B−1AB[λ0EOA12A22]C 即 A A A 相似于 C
由此计算 A A A 的特征多项式 ∣ λ E − A ∣ ∣ λ E − C ∣ ∣ ( λ − λ 0 ) E q − A 12 O λ E n − q − A 22 ∣ ∣ ( λ − λ 0 ) q ∣ λ E n − q − A 22 ∣ |\lambda E-A| |\lambda E - C| \left | \begin{matrix} (\lambda - \lambda_0) E_q - A_{12} \\ \mathcal{O} \lambda E_{n-q} - A_{22} \\ \end{matrix} \right | |(\lambda - \lambda_0)^q |\lambda E_{n-q} - A_{22}| ∣λE−A∣∣λE−C∣ (λ−λ0)EqO−A12λEn−q−A22 ∣(λ−λ0)q∣λEn−q−A22∣ 由此可知该 λ \lambda λ 的n次多项式方程至少有 q 个根为 λ 0 \lambda_0 λ0至于有没有更多的根为 λ 0 \lambda_0 λ0取决于后面的多项式 ∣ λ E n − q − A 22 ∣ |\lambda E_{n-q} - A_{22}| ∣λEn−q−A22∣ 是否出现 ( λ − λ 0 ) (\lambda - \lambda_0) (λ−λ0)。
