建网站平台哪家好,WordPress主题安全检查,wordpress首页固定页面,公共网站怎地做文章目录 abstract邻域#x1f47a;邻域中心和半径去心邻域 ϵ , δ \epsilon,\delta ϵ,δ的意义各种极限定义的共同点几何意义极限定义中的极限过程临界值 ϵ \epsilon ϵ的选取#x1f47a; 概念辨析#x1f47a;无限接近不同于越来越接近例例 越来越接近推不出无限接近 … 文章目录 abstract邻域邻域中心和半径去心邻域 ϵ , δ \epsilon,\delta ϵ,δ的意义各种极限定义的共同点几何意义极限定义中的极限过程临界值 ϵ \epsilon ϵ的选取 概念辨析无限接近不同于越来越接近例例 越来越接近推不出无限接近 abstract
邻域的概念极限的定义中的符号说明
邻域
设 x 0 ∈ R , δ 0 x_0\in\mathbb{R},\delta\gt0 x0∈R,δ0,开区间 R δ ( x 0 − δ , x 0 δ ) R_\delta(x_0-\delta,x_0\delta) Rδ(x0−δ,x0δ)称为** x 0 {x_0} x0的 δ \delta δ 邻域**,记作 U ( x 0 , δ ) U(x_0,\delta) U(x0,δ)或 U δ ( x 0 ) U_{\delta}(x_0) Uδ(x0) 区间 R δ R_{\delta} Rδ也可以表示为绝对值不等式: ∣ x − x 0 ∣ δ |x-x_0|\delta ∣x−x0∣δ的解集: { x ∣ ∣ x − x 0 ∣ δ } \set{x||x-x_0|\delta} {x∣∣x−x0∣δ}因为 ∣ x − x 0 ∣ δ |x-x_0|\delta ∣x−x0∣δ ⇔ \Leftrightarrow ⇔ − δ x − x 0 δ -\deltax-x_0\delta −δx−x0δ ⇔ \Leftrightarrow ⇔ x 0 − δ x x 0 δ x_0-\deltaxx_0\delta x0−δxx0δ如果不需要说明 δ \delta δ,可简记为 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)
邻域中心和半径 x 0 x_0 x0为邻域 U ( x 0 , δ ) U(x_0,\delta) U(x0,δ)的中心,称为邻域中心, δ \delta δ称为邻域半径
去心邻域
点 x 0 x_0 x0的去心 δ \delta δ邻域, R δ ˚ R_{\mathring{\delta}} Rδ˚ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 δ ) (x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0\delta) (x0−δ,x0)∪(x0,x0δ)记作 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0,δ),或 U ˚ δ ( x 0 ) \mathring{U}_{\delta}(x_0) U˚δ(x0) 区间 R δ ˚ R_{\mathring{\delta}} Rδ˚也可以表示为: { x ∣ 0 ∣ x − x 0 ∣ δ } \set{x|0|x-x_0|\delta} {x∣0∣x−x0∣δ}如不需要说明 δ \delta δ,可简记为 U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_0) U˚(x0) ϵ , δ \epsilon,\delta ϵ,δ的意义 ϵ \epsilon ϵ是用来刻画 f ( x ) f(x) f(x)与 A A A的接近程度(刻画函数值) δ \delta δ是用来刻画 x → x 0 x\to{x_0} x→x0这个极限过程(刻画自变量) x → x 0 x\to{x_0} x→x0但 x ≠ x 0 x\neq{x_0} xx0极限 lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) x→x0limf(x)是否存在,若存在极限,极限值等于多少 和 x x 0 xx_0 xx0处有没有定义,若有定义函数值等于多少无关和 x x 0 xx_0 xx0的去心邻域 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0,δ)函数值有关 要使 lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to{x_0}}f(x) x→x0limf(x)存在, f ( x ) f(x) f(x)必须在 x x 0 xx_0 xx0的某去心领域 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0,δ)处处有定义
各种极限定义的共同点
无论是数列极限还是函数极限,都用了正数 ϵ \epsilon ϵ来刻画极限存在的形式当 ϵ \epsilon ϵ可以任意取(足够小)的时候,才能够体现极限的意义(它刻画了数列在靠近极限的过程的与极限的接近程度),因此定义中总是强调任意的正数 ϵ \epsilon ϵ( ∀ ϵ 0 \forall{\epsilon0} ∀ϵ0)
几何意义
对任意给定的 ϵ 0 \epsilon0 ϵ0,总存在 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0,\delta) U˚(x0,δ),当 x ∈ U ˚ ( x 0 , δ ) x\in{\mathring{U}(x_0,\delta)} x∈U˚(x0,δ)时,曲线 y f ( x ) yf(x) yf(x)夹在两直线 y A − ϵ yA-\epsilon yA−ϵ,和 y A ϵ yA\epsilon yAϵ之间
极限定义中的极限过程临界值
根据上述极限的定义,数列极限中的 N N N,函数极限中的 X X X或 δ \delta δ,都是给定 ϵ \epsilon ϵ后,构造极限过程的区间(例如 n N , x X , 0 ∣ x − a ∣ δ nN,xX,0|x-a|\delta nN,xX,0∣x−a∣δ)的参数,不妨称之为极限过程临界值 X X X(或 N N N)和预先给定的 ϵ ( ϵ 0 ) \epsilon(\epsilon0) ϵ(ϵ0)有关,但是 X X X并不是 ϵ \epsilon ϵ的函数 因为同一个 ϵ \epsilon ϵ可以对应多个(甚至无穷多个)符合条件的 X X X 若 X X 1 XX_1 XX1满足 x X xX xX时 f ( x ) ∈ U ( A , ϵ ) f(x)\in{U(A,\epsilon)} f(x)∈U(A,ϵ),则 X X 2 ( X 2 X 1 ) XX_2(X_2X_1) XX2(X2X1)也满足 ϵ \epsilon ϵ的选取
若 lim x → ∗ f ( x ) A \lim\limits_{x\to{*}}f(x)A x→∗limf(x)A,则 ∀ ϵ 0 \forall{\epsilon0} ∀ϵ0, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 x ∈ U ( x 0 , δ ) ˚ x\in\mathring{U(x_0,\delta)} x∈U(x0,δ)˚时, ∣ f ( x ) − A ∣ ϵ |f(x)-A|\epsilon ∣f(x)−A∣ϵ在实际应用极限定义作推理的时候,经常时以如下形式出现: ∀ ϵ θ ( c ) 0 \forall{\epsilon\theta(c)0} ∀ϵθ(c)0, ∃ δ 0 \exist{\delta0} ∃δ0,当 x ∈ U ( x 0 , δ ) ˚ x\in\mathring{U(x_0,\delta)} x∈U(x0,δ)˚时, ∣ f ( x ) − A ∣ ϵ θ ( c ) |f(x)-A|\epsilon\theta(c) ∣f(x)−A∣ϵθ(c) 其中 θ ( c ) \theta(c) θ(c)是一个大于0的常数表达式,例如取 θ ( c ) \theta(c) θ(c)为某个常数 M M M或 1 M \frac{1}{M} M1有时也把 ϵ \epsilon ϵ隐去不写,而直接以给定的值 θ ( c ) \theta(c) θ(c)来应用极限的条件因为 f ( x ) → A ( x → ∗ ) f(x)\to{A}(x\to{*}) f(x)→A(x→∗),所以 ϵ θ ( c ) \epsilon\theta(c) ϵθ(c)可以取任何正数 通常, ϵ \epsilon ϵ取值在能够说明问题的前提下,取值越简单,越具体越好(不一定越小越好),可能是 极限值 A A A相关的表达式(通常是 A 2 \frac{A}{2} 2A,这种手法可以推导出许多重要结论);具体常数,比如 1 1 1 ϵ \epsilon ϵ的表达式(例如 ϵ 2 \frac{\epsilon}{2} 2ϵ,而不一定是 ϵ \epsilon ϵ本身,因为 ϵ \epsilon ϵ也是一个正的常数) 例如 无穷小之和仍为无穷小的证明中,就是以上述方式运用极限的条件证明函数极限的有界性时,取 ϵ 1 \epsilon1 ϵ1证明函数极限的局部保号性时,可以取 ϵ ± A 2 \epsilon\pm\frac{A}{2} ϵ±2A
概念辨析
这里要辨析的概念(假设 x → ∗ x\to{*} x→∗的极限过程中) 可无限接近(要多接近有多接近)的值是极限越来越接近的值不一定是极限无限接近不同于越来越接近 无限接近得不出越来越接近越来越接近也得不出无限接近
无限接近不同于越来越接近 无限接近(任意接近)于极限(趋近于极限) ⇎ \not\Leftrightarrow ⇔越来越接近极限 极限强调的时无限接近,但不要求严格的越来越接近,只要总体上是越来越接近即可 lim x n → ∞ x n 0 \lim_{x_n\to \infin}x_n0 limxn→∞xn0,我们不能够说, x n x_n xn随着 n → ∞ n\to \infin n→∞ , x n ,x_n ,xn越来越接近 x n x_n xn
例 不单调也可以无限接近(有极限) x n 1 n x_n\frac{1}{n} xnn1;极限 x n 0 ( n → ∞ ) x_n0(n\to \infin) xn0(n→∞)单调而且有极限0 x n ( − 1 ) n n x_n\frac{(-1)^{n}}{n} xnn(−1)n ( − 1 ) n 1 n (-1)^{n}\frac{1}{n} (−1)nn1;极限 x n 0 ( n → ∞ ) x_n0(n\to \infin) xn0(n→∞)不单调但是也有极限0
例
令 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x) 1 x \frac{1}{x} x1; f 2 ( x ) f_2(x) f2(x) 3 x \frac{3}{x} x3; f ( x ) { f 1 ( x ) ( n 为奇数 ) f 2 ( x ) ( n 为偶数 ) f(x)\begin{cases} f_1(x)(n为奇数)\\ f_2(x)(n为偶数)\end{cases} f(x){f1(x)f2(x)(n为奇数)(n为偶数) f 1 ( x ) f_1(x) f1(x), f 2 ( x ) f_2(x) f2(x)都满足 x n → 0 ( n → ∞ ) x_n\rightarrow0(n\rightarrow\infin) xn→0(n→∞);而 f ( x ) f(x) f(x)是振荡地趋近于0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … x_1,x_2,x_3,x_4,\dots x1,x2,x3,x4,… 分别等于 1 , 3 2 , 1 3 , 3 4 1,\frac{3}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4} 1,23,31,43
越来越接近推不出无限接近 y 1 x 1 ( x 0 ) y\frac{1}{x}1(x0) yx11(x0), x → ∞ x\to \infin x→∞ 的过程越来越接近于 y 1 y1 y1,同时 y y y还越来越接近与 y 0 y0 y0, 尽管 y y y可以无限接近于1,但是无法无限接近于 y 0 y0 y0,因为我们可以肯定: y 1 y1 y1;
