山西网站建设鸣蝉,北京百度seo点击器,建设银行网站维修图片,吸引人的营销标题文章目录 1.特征值和特征向量1.1 特征值和特征向量的定义1.2 特征值和特征向量的求法1.3 特征值特征向量的主要结论 2.相似2.1 相似的定义2.2 相似的性质2.3 相似的结论 3.相似对角化4.实对称矩阵4.1 实对称矩阵的基本性质4.2 施密特正交化 5.重难点题型总结5.1 判断矩阵能否相… 文章目录 1.特征值和特征向量1.1 特征值和特征向量的定义1.2 特征值和特征向量的求法1.3 特征值特征向量的主要结论 2.相似2.1 相似的定义2.2 相似的性质2.3 相似的结论 3.相似对角化4.实对称矩阵4.1 实对称矩阵的基本性质4.2 施密特正交化 5.重难点题型总结5.1 判断矩阵能否相似对角化5.2 已知两个矩阵相似求某个矩阵中的未知参数5.3 相似时求可逆矩阵P使得P^-1^AP为对角矩阵5.4 求正交矩阵Q使Q^T^AQΛ5.5 给出条件矩阵A方A我们能分析出什么5.6 已知A为三阶实对称矩阵三个特征值组成形式为(二重根单根)和单根特征值的对应的特征向量求另外两个特征向量 1.特征值和特征向量
1.1 特征值和特征向量的定义
A为n阶α是n维非0列向量 Aαλαα叫A对应λ的特征向量叫λ特征值
1.2 特征值和特征向量的求法
⭐️三种求法:
方法一:利用定义Aαλα方法二:λE-A0,利用行列式和基础解系方法三:利用相似P-1APB 方法一: 定义法定义法常常用于A是抽象形式的矩阵求解其特征值和特征向量的问题。
方法二: 理论基础: 由定义 A α λ α α ≠ 0 ⇒ ( λ E − A ) α 0 , α ≠ 0 ⇒ α 是 ( λ E − A ) x 0 的非 0 解 由定义A\alpha \lambda \alpha \alpha \neq 0\\\Rightarrow \left(\lambda E - A\right)\alpha 0,\alpha \neq 0\\\Rightarrow \alpha 是\left(\lambda E - A\right)x 0的非0解 由定义Aαλαα0⇒(λE−A)α0,α0⇒α是(λE−A)x0的非0解 为什么先用行列式计算特征值特征向量不能是零向量所以是非零解齐次线性方程是非零解所以行列式0所以用行列式计算特征值再用基础解系计算特征向量。 一.常规计算步骤 特征值的计算步骤: 第一步,计算行列式λE-A,因为存在非零解秩必然是不满的行列式0求出特征值。
第二步通过求出的特征向量代入回λE-Aα0这个齐次线性方程中计算出特征向量即齐次线性方程的解向量。
二.通过已积累的结论直接得出特征值 (1)上下三角矩阵对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。 [ 1 2 4 0 3 5 0 0 6 ] , 特征值为 λ 1 1 λ 2 3 λ 3 6 \left[\begin{matrix} 1 2 4 \\ 0 3 5 \\ 0 0 6 \\ \end{matrix}\right],特征值为\lambda _{1} 1\lambda _{2} 3\lambda _{3} 6 100230456 ,特征值为λ11λ23λ36
(2)秩1矩阵特征值是它的迹其余都是0 [ a a a a a a a a a ] 特征值为 λ 1 3 a λ 2 0 λ 3 0 \left[\begin{matrix} a a a \\ a a a \\ a a a \\ \end{matrix}\right]特征值为\lambda _{1} 3a\lambda _{2} 0\lambda _{3} 0 aaaaaaaaa 特征值为λ13aλ20λ30 (3)通过已知矩阵A的特征值和特征向量直接得到关于A矩阵其他基本变形的特征值和特征向量 f(A)多项式与A相似
1.3 特征值特征向量的主要结论
如a1a2是矩阵A关于特征值λ的特征向量则k1a1k2a2(非0时)仍是A关于λ的的特征向量。若a1a2是不同特征值的特征向量则k1a1k2a2不是A关于λ的的特征向量 ∣ A ∣ Π λ i , 其中 Π 是连乘 Σ λ i Σ a i i t r ( A ) , 矩阵的迹是特征值的和 \left|A\right| \Pi \lambda _{i},其中\Pi 是连乘\\\Sigma \lambda _{i} \Sigma a_{ii} t_{r}\left(A\right),矩阵的迹是特征值的和 ∣A∣Πλi,其中Π是连乘ΣλiΣaiitr(A),矩阵的迹是特征值的和
3.不同特征值的特征向量线性无关 4.λi是属于A的k重特征值属于λi的k重特征向量最多不超过k个。
2.相似
2.1 相似的定义
相似的定义 A矩阵相似于BA~B,意味着存在可逆矩阵P使P-1APB 注意注意A相似于B这句话是有方向性的规定是P-1APB而BPAP-1,A相似于B不能颠倒没有P-1BPA这种说法 2.2 相似的性质
A~B,则有以下结论 (1)|A||B| (2)r(A)r(B) (3)|λE-A||λE-B|,即λAλB (4)迹相同特征值都相同,迹肯定相同 (5)A,B的各阶主子式之和分别相等 关于性质5的说明,各阶主子式就是选行和选列的时候行下标和列下标是一样的下面给出列子给出三阶矩阵求二阶主子式二阶主子式仅适合用于0多的题 [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] 二阶主子式 [ 1 2 4 5 ] [ 1 3 4 6 ] [ 2 3 5 6 ] [ 4 5 7 8 ] [ 4 6 7 9 ] [ 5 6 8 9 ] \left[\begin{matrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 9 \\ \end{matrix}\right]二阶主子式\left[\begin{matrix} 1 2 \\ 4 5 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 3 \\ 4 6 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2 3 \\ 5 6 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 4 5 \\ 7 8 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 4 6 \\ 7 9 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 5 6 \\ 8 9 \\ \end{matrix}\right] 147258369 二阶主子式[1425][1436][2536][4758][4769][5869] (6)充要条件 A~B, AkE~BkE
2.3 相似的结论
A与B相似的进一步推导结论 矩阵A与B相似
A-1相似于B-1A*相似于B*AT相似于BT关于分块矩阵 若 A C B D , 则 [ A O O B ] [ C O O D ] 若ACBD,则\left[\begin{matrix} A O \\ O B \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} C O \\ O D \\ \end{matrix}\right] 若ACBD,则[AOOB][COOD]
3.相似对角化
A为n阶矩阵存在n阶可逆矩阵P若P-1APΛ则称A可相似对角化记做A~Λ称对角矩阵是A的相似标准型。
关于相似对角化的结论总结: 注意充要条件和充分条件 4.实对称矩阵
4.1 实对称矩阵的基本性质 关于实对称矩阵有更良好的性质直接就满足可以相似对角化并且还可以用正交矩阵相似对角化 实对称矩阵ATA 1.实对称矩阵必与对角矩阵相似(可相似对角化 2.实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交 3.实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化 Q-1AQQTAQΛ 因为QQTE,.Q-1QT 4.2 施密特正交化 根据 实对称矩阵的基本性质不同特征值的特征向量相互正交所以我们应该使用施密特正交化将相同特征值下的特征向量正交化最后特征向量都要单位化。 施密特正交化公式:
5.重难点题型总结
5.1 判断矩阵能否相似对角化
例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.15
例题2:来源 李永乐线代辅导讲义 例5.18
5.2 已知两个矩阵相似求某个矩阵中的未知参数 解题思路:常常利用两个矩阵相似的性质若相似矩阵之间的迹相等行列式相等各阶主子式之和相等 5.3 相似时求可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵 利用相似的传递性 例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.20
5.4 求正交矩阵Q使QTAQΛ
例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.27
5.5 给出条件矩阵A方A我们能分析出什么 有些题目中给出矩阵A2A的时候我们可以得到两方面信息一方面是关于秩一方面是关于特征值。 关于秩 A 2 A ⇒ A 2 − A 0 ⇒ A ( A − E ) 0 ⇒ r ( A ) r ( A − E ) ≤ n A − ( A − E ) E ⇒ r ( A ) r ( B ) ≥ r ( A B ) ⇒ r ( A ) r ( A − E ) ≥ r ( E ) n 综上所述结论如下 r ( A ) r ( A − E ) n A^{2} A\Rightarrow A^{2} - A 0\Rightarrow A\left(A - E\right) 0\Rightarrow r\left(A\right) r\left(A - E\right) \leq n\\A - \left(A - E\right) E\Rightarrow r\left(A\right) r\left(B\right) \geq r\left(A B\right)\Rightarrow r\left(A\right) r\left(A - E\right) \geq r\left(E\right) n\\综上所述结论如下r\left(A\right) r\left(A - E\right) n A2A⇒A2−A0⇒A(A−E)0⇒r(A)r(A−E)≤nA−(A−E)E⇒r(A)r(B)≥r(AB)⇒r(A)r(A−E)≥r(E)n综上所述结论如下r(A)r(A−E)n
关于特征值
5.6 已知A为三阶实对称矩阵三个特征值组成形式为(二重根单根)和单根特征值的对应的特征向量求另外两个特征向量 先不谈这个问题明确该类问题大方向 首先矩阵一定得是实对称的因为它的底层原理是实对称向量内积0 1.假如已知三个特征值但是它们都是单根已知一个特征值的特征向量是无法求出另外两个特征向量的。 2.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根单根)和单根特征值的对应的特征向量求另外两个特征向量这是可以求出的。 3.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根单根)和重根特征值的对应的两个特征向量求单根的特征向量也是可以求出的。
