临沂网站建设对实体企业的重要性,如何搭建门户网站,房屋装修设计图,招商加盟外包公司本文主要内容如下#xff1a;1. 伸长张量与Cauchy-Green 张量2. 线元长度的改变2.1. 初始/当前构型下的长度比2.2. 主长度比与 Lagrange/Euler 主方向2.3. 初始/当前构型下任意方向的长度比3. 线元夹角的改变4. 面元的改变5. 体元的改变1. 伸长张量与Cauchy-Green 张量
由于变…
本文主要内容如下1. 伸长张量与Cauchy-Green 张量2. 线元长度的改变2.1. 初始/当前构型下的长度比2.2. 主长度比与 Lagrange/Euler 主方向2.3. 初始/当前构型下任意方向的长度比3. 线元夹角的改变4. 面元的改变5. 体元的改变1. 伸长张量与Cauchy-Green 张量
由于变形梯度为正则仿射量故可进行极分解: FR⋅UV⋅R\bold F\bold R\cdot\bold U\bold V\cdot \bold RFR⋅UV⋅R 将正交仿射量 R\bold RR 称作转动张量正张量 U\bold UU、V\bold VV 分别称作 右、左伸长张量且满足 UFT⋅FVF⋅FTURT⋅V⋅R\bold U\sqrt{\bold{F^T\cdot F}}\\\ \\ \bold V\sqrt{\bold{F\cdot F^T}}\\\ \\ \bold U\bold{R^T\cdot V\cdot R}UFT⋅F VF⋅FT URT⋅V⋅R 上述极分解的物理意义可以理解为 dx⃗F⋅dX⃗R⋅(U⋅dX⃗)V⋅(R⋅dX⃗)d\vec{x}\bold F\cdot d\vec{X}\bold R\cdot(\bold U\cdot d\vec{X})\bold V\cdot(\bold R\cdot d\vec{X})dxF⋅dXR⋅(U⋅dX)V⋅(R⋅dX) 即参考构型的线元到当前构型中的线元的映射既可以是先进行旋转再进行左伸长仿射量对应的变换也可以是先进行右伸长张量对应的变换再进行旋转操作。
进一步可以定义 C≜U2FT⋅F(C⃗A⊗G⃗A)T⋅(C⃗B⊗G⃗B)CABG⃗A⊗G⃗B(g⃗j⊗c⃗j)T⋅(g⃗i⊗c⃗i)gjic⃗j⊗c⃗iB≜V2F⋅FT(g⃗i⊗c⃗i)⋅(g⃗j⊗c⃗j)Tc−1ijg⃗i⊗g⃗j≜c−1(C⃗B⊗G⃗B)⋅(C⃗A⊗G⃗A)TGBAC⃗B⊗C⃗A\begin{aligned} \bold C\triangleq\bold U^2\bold{F^T\cdot F}(\vec{C}_A\otimes\vec{G}^A)^T\cdot(\vec{C}_B\otimes\vec{G}^B)C_{AB}\vec{G}^A\otimes\vec{G}^B\\\\ \qquad\qquad\qquad\quad\ \ (\vec{g}_j\otimes\vec{c}\ ^j)^T\cdot(\vec{g}_i\otimes\vec{c}\ ^i)g_{ji}\vec{c}\ ^j\otimes\vec{c}\ ^i\\\ \\ \bold B\triangleq\bold V^2\bold{F\cdot F^T}(\vec{g}_i\otimes\vec{c}\ ^i)\cdot(\vec{g}_j\otimes\vec{c}\ ^j)^T\overset{-1}{c}\ ^{ij}\vec{g}_i\otimes\vec{g}_j\triangleq\bold{\overset{-1}{c}}\\\\ \qquad\qquad\qquad\quad\ \ (\vec{C}_B\otimes\vec{G}^B)\cdot(\vec{C}_A\otimes\vec{G}^A)^TG^{BA}\vec{C}_B\otimes\vec{C}_A \end{aligned} C≜U2FT⋅F(CA⊗GA)T⋅(CB⊗GB)CABGA⊗GB (gj⊗c j)T⋅(gi⊗c i)gjic j⊗c iB≜V2F⋅FT(gi⊗c i)⋅(gj⊗c j)Tc−1 ijgi⊗gj≜c−1 (CB⊗GB)⋅(CA⊗GA)TGBACB⊗CA C\bold CC 与 B\bold BB 分别称作右、左 Cauchy-Green 张量二者间满足 CRT⋅B⋅R(正交相似关系)\bold{C}\bold{R^T\cdot B\cdot R}\quad(正交相似关系)CRT⋅B⋅R(正交相似关系) 说明二者具有相同的特征值: λCλBλ\lambda_C\lambda_B\lambdaλCλBλ特征方向仅相差一个刚性转动: u⃗CRT⋅u⃗B\vec{u}_C\bold{R}^T\cdot\vec{u}_BuCRT⋅uB。另外它们都是对称正定仿射量是正则的其逆分别为 C−1(U2)−1F−1⋅F−T(G⃗A⊗C⃗A)⋅(G⃗B⊗C⃗B)TC−1ABG⃗A⊗G⃗B(c⃗j⊗g⃗j)⋅(c⃗i⊗g⃗i)Tgjic⃗j⊗c⃗iB−1(V2)−1F−T⋅F−1(c⃗i⊗g⃗i)T⋅(c⃗j⊗g⃗j)cijg⃗i⊗g⃗j≜c(G⃗A⊗C⃗A)T⋅(G⃗B⊗C⃗B)GABC⃗A⊗C⃗B\begin{aligned} \bold{\overset{-1}{C}}(\bold U^2)^{-1}\bold{\overset{-1}{F}\cdot \overset{-T}{F}}(\vec{G}_A\otimes\vec{C}^A)\cdot(\vec{G}_B\otimes\vec{C}^B)^T\overset{-1}{C}\ ^{AB}\vec G_A\otimes\vec G_B\\\ \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \quad (\vec c_j\otimes\vec{g}^j)\cdot(\vec c_i\otimes\vec{g}^i)^Tg^{ji}\vec c_j\otimes\vec c_i\\\\ \bold{\overset{-1}{B}}(\bold V^2)^{-1}\bold{\overset{-T}{F}\cdot \overset{-1}{F}}(\vec c_i\otimes\vec{g}^i)^T\cdot(\vec c_j\otimes\vec{g}^j)c_{ij}\vec{g}^i\otimes\vec{g}^j\triangleq \bold c\\\\ \qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\ \ (\vec{G}_A\otimes\vec{C}^A)^T\cdot(\vec{G}_B\otimes\vec{C}^B)G_{AB}\vec{C}^A\otimes\vec{C}^B \end{aligned} C−1(U2)−1F−1⋅F−T(GA⊗CA)⋅(GB⊗CB)TC−1 ABGA⊗GB(cj⊗gj)⋅(ci⊗gi)Tgjicj⊗ciB−1(V2)−1F−T⋅F−1(ci⊗gi)T⋅(cj⊗gj)cijgi⊗gj≜c (GA⊗CA)T⋅(GB⊗CB)GABCA⊗CB
2. 线元长度的改变
2.1. 初始/当前构型下的长度比
设参考构型中 A 点邻域内的有向线元 dX⃗d\vec{X}dX 的长度为 ds0ds_0ds0经过运动变形后A 点映射为当前构型中的 A’ 点而 dX⃗d\vec{X}dX 映射为其邻域内的有向线元 dx⃗d\vec{x}dx 长度为 dsdsds满足 {ds02dX⃗⋅dX⃗(dx⃗⋅F−T)⋅(F−1⋅dx⃗)dx⃗⋅c⋅dx⃗dx⃗⋅B−1⋅dx⃗ds2dx⃗⋅dx⃗(dX⃗⋅FT)⋅(F⋅dX⃗)dX⃗⋅C⋅dX⃗\begin{cases} ds_0^2 d\vec{X}\cdot d\vec{X} (d\vec{x}\cdot\bold{\overset{-T}{F}})\cdot(\bold{\overset{-1}{F}}\cdot d\vec{x}) d\vec{x}\cdot\bold{c}\cdot d\vec{x} d\vec{x}\cdot\bold{\overset{-1}{B}}\cdot d\vec{x} \\\\ ds^2 d\vec{x}\cdot d\vec{x} (d\vec{X}\cdot\bold{F}^T)\cdot(\bold F\cdot d\vec{X}) d\vec{X}\cdot\bold{C}\cdot d\vec{X} \end{cases}⎩⎨⎧ds02dX⋅dX(dx⋅F−T)⋅(F−1⋅dx)dx⋅c⋅dxdx⋅B−1⋅dxds2dx⋅dx(dX⋅FT)⋅(F⋅dX)dX⋅C⋅dX 令 {L⃗≜dX⃗∣dX⃗∣LiG⃗il⃗≜dx⃗∣dx⃗∣lig⃗i\begin{cases} \vec{L}\triangleq\dfrac{d\vec{X}}{|d\vec{X}|}L^i\vec{G}_i \\\\ \vec{l}\triangleq\dfrac{d\vec{x}}{|d\vec{x}|}l^i\vec{g}_i \end{cases}⎩⎨⎧L≜∣dX∣dXLiGil≜∣dx∣dxligi 将 L⃗、l⃗\vec{L}、\vec{l}L、l 分别称作变形前任意有向线元 dX⃗d\vec{X}dX 与变形后任意有向线元 dx⃗d\vec{x}dx 的单位切向量。
将变形前位于 L⃗\vec{L}L 方向的线元历经变形、运动前后的长度比定义为 λL≜dsds0(dX⃗⋅C⋅dX⃗∣dX⃗∣⋅∣dX⃗∣)12(L⃗⋅C⋅L⃗)12(LALBCAB)12(物质坐标系下的分量)\lambda_{L}\triangleq\dfrac{ds}{ds_0} \left(\dfrac{d\vec{X}\cdot\bold{C}\cdot d\vec{X}}{|d\vec{X}|\cdot|d\vec{X}|}\right)^{\frac{1}{2}} (\vec{L}\cdot\bold{C}\cdot\vec{L})^{\frac{1}{2}} (L^AL^BC_{AB})^{\frac{1}{2}}\ (物质坐标系下的分量)λL≜ds0ds(∣dX∣⋅∣dX∣dX⋅C⋅dX)21(L⋅C⋅L)21(LALBCAB)21 (物质坐标系下的分量) 将变形后位于 l⃗\vec{l}l 方向的线元历经变形、运动前后的长度比定义为 λl≜dsds0(∣dx⃗∣⋅∣dx⃗∣dx⃗⋅c⋅dx⃗)12(l⃗⋅c⋅l⃗)−12(lrlscrs)−12(空间坐标系下的分量)\lambda_{l}\triangleq\dfrac{ds}{ds_0} \left(\dfrac{|d\vec{x}|\cdot|d\vec{x}|}{d\vec{x}\cdot\bold{c}\cdot d\vec{x}}\right)^{\frac{1}{2}} (\vec{l}\cdot\bold{c}\cdot\vec{l})^{-\frac{1}{2}} (l^rl^sc_{rs})^{- \frac{1}{2}}\ (空间坐标系下的分量)λl≜ds0ds(dx⋅c⋅dx∣dx∣⋅∣dx∣)21(l⋅c⋅l)−21(lrlscrs)−21 (空间坐标系下的分量) 显然当变形前位于 L⃗\vec{L}L 方向的线元经历变形、运动后位于 l⃗\vec{l}l 方向时有 λLλl\lambda_{L}\lambda_lλLλl
2.2. 主长度比与 Lagrange/Euler 主方向
此外根据其定义可知长度比是一个与方向相关的物理量针对于参考构型/当前构型中同一点而言不同方向的长度比不同。自然地会问什么方向上长度比最大即求解如下带约束的极值问题 {maxL⃗λL(L⃗)∣L⃗∣1和{maxl⃗λl(l⃗)∣l⃗∣1\begin{cases} \max\limits_{\vec{L}}\ \lambda_{L}(\vec{L}) \\\\ |\vec{L}_|1 \end{cases} \quad 和 \quad \begin{cases} \max\limits_{\vec{l}}\ \lambda_{l}(\vec{l}) \\\\ |\vec{l}|1 \end{cases}⎩⎨⎧Lmax λL(L)∣L∣1和⎩⎨⎧lmax λl(l)∣l∣1 注意到长度比恒为正为简化计算将上述极值问题等价于求解 {maxL⃗λL2(L⃗)∣L⃗∣1和{maxl⃗λl2(l⃗)∣l⃗∣1\begin{cases} \max\limits_{\vec{L}}\ \lambda_{L}^2(\vec{L}) \\\\ |\vec{L}|1 \end{cases} \quad 和 \quad \begin{cases} \max\limits_{\vec{l}}\ \lambda_{l}^2(\vec{l}) \\\\ |\vec{l}|1 \end{cases}⎩⎨⎧Lmax λL2(L)∣L∣1和⎩⎨⎧lmax λl2(l)∣l∣1 以前一个极值问题的求解为例采用 Lagrange 乘子法进行求解使得问题化为如下无约束极值问题的必要条件 {∂∂LM[LALBCAB−η(LALBGAB−1)]0(M1,2,3)LALBGAB−10\begin{cases} \dfrac{\partial }{\partial L^M}\left[L^AL^BC_{AB}-\eta(L^AL^BG_{AB}-1)\right]0\ (M1,2,3)\\\\ L^AL^BG_{AB}-10 \end{cases}⎩⎨⎧∂LM∂[LALBCAB−η(LALBGAB−1)]0 (M1,2,3)LALBGAB−10 即 {(CAM−ηGAM)LA0(M1,2,3)LALBGAB−10⟹{(C∙MA−ηδ∙MA)LA0(M1,2,3)LALBGAB−10\begin{cases} (C_{AM}-\eta G_{AM})L^A0\ (M1,2,3)\\\\ L^AL^BG_{AB}-10 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} (C^A_{\bullet M}-\eta \delta^A_{\bullet M})L_A0\ (M1,2,3)\\\\ L^AL^BG_{AB}-10 \end{cases}⎩⎨⎧(CAM−ηGAM)LA0 (M1,2,3)LALBGAB−10⟹⎩⎨⎧(C∙MA−ηδ∙MA)LA0 (M1,2,3)LALBGAB−10 注意到CABC_{AB}CAB 不仅是右 Cauchy-Green 张量在物质坐标系下的协变分量同时也是随体坐标系 {XA,t}\{X^A,t\}{XA,t} 度量张量的协变分量但上述指标升降是通过物质坐标系下的度量张量协变、逆变分量实现的因此 C∙MA≠δ∙MAC^A_{\bullet M}\ne\delta^A_{\bullet M}C∙MAδ∙MA。
上述四元 非线性(约束条件) 方程组的求解等价于求右 Cauchy-Green 张量的特征值问题 (C−ηI)⋅L⃗0(\bold C-\eta\bold I)\cdot\vec{L}0(C−ηI)⋅L0 由于 C\bold CC 为对称正定张量故存在三个正特征值 ηα≜λα20(α1,2,3)\eta_\alpha\triangleq\lambda_\alpha^20\ (\alpha1,2,3)ηα≜λα20 (α1,2,3) 和相应的三个两两垂直的单位特征向量 L⃗α\vec{L}_\alphaLα。
从上述讨论可知于初始构型上的某点而言该点右Cauchy-Green 张量 (右伸长张量 U) 的特征方向是该点变形、运动前后长度比达到极大/小或驻值的方向将其称作 Lagrange 主方向。Lagrange 主方向上的长度比为 λLαL⃗α⋅C⋅L⃗αλα2L⃗α⋅L⃗αλα\lambda_{L_\alpha} \sqrt{\vec{L}_\alpha\cdot\bold{C}\cdot\vec{L}_\alpha} \sqrt{\lambda_\alpha^2\vec{L}_\alpha\cdot\vec{L}_\alpha} \lambda_\alphaλLαLα⋅C⋅Lαλα2Lα⋅Lαλα 即Lagrange 主方向上的长度比为该右Cauchy-Green 张量 C 特征方向对应特征值的算数平方根(右伸长张量 U 的特征值)将其称作 主长度比。
同理求解后一极值问题等价于求解左 Cauchy-Green 张量的逆 c\bold cc 的特征值问题 (c−η′I)⋅l⃗0(\bold c-\eta\bold I)\cdot\vec{l}0(c−η′I)⋅l0 其中g\bold gg 为空间坐标系的度量张量。类似的c\bold cc 也存在三个正特征值 ηα′≜1λα′20(α1,2,3)\eta_\alpha\triangleq\dfrac{1}{{\lambda_\alpha}^2}0\ (\alpha1,2,3)ηα′≜λα′210 (α1,2,3)和相应的三个两两垂直的单位特征向量 l⃗α\vec{l}_\alphalα。由于左、右 Cauchy-Green 张量具有相同的特征值故 ηα′1ηα1λα2\eta_\alpha\dfrac{1}{\eta_\alpha}\dfrac{1}{{\lambda_\alpha}^2}ηα′ηα1λα21 又由于左、右 Cauchy-Green 张量的特征方向仅相差一转动张量 R\bold RR且正则仿射量与其逆同特征方向则 L⃗αRT⋅l⃗α(∗)\vec{L}_\alpha\bold R^T\cdot\vec{l}_{\alpha}\quad(*)LαRT⋅lα(∗) 上述讨论说明对于当前构型上的某点其左Cauchy-Green 张量或其逆 (或左伸长张量 V) 的特征方向是该点变形、运动前后长度比达到极大/小或驻值的方向将其称作 Euler 主方向。Euler 主方向上的长度比为 λlα1l⃗α⋅c⋅l⃗αλαl⃗α⋅l⃗αλα\lambda_{l_\alpha} \dfrac{1}{\sqrt{\vec{l}_\alpha\cdot\bold{c}\cdot\vec{l}_\alpha}} \dfrac{\lambda_\alpha}{\sqrt{\vec{l}_\alpha\cdot\vec{l}_\alpha}} \lambda_\alphaλlαlα⋅c⋅lα1lα⋅lαλαλα 即Euler 主方向上的长度比为该左Cauchy-Green 张量 B 特征方向对应的特征值的算数平方根 (左伸长张量 V 的特征值)。且 Euler 主方向上的长度比与 Lagrange 主方向上的长度比 分别一 一对应相等即 λLαλlαλα\lambda_{L_\alpha}\lambda_{l_\alpha}\lambda_\alphaλLαλlαλα。
2.3. 初始/当前构型下任意方向的长度比
根据谱分解左、右伸长张量左、右 Cauchy-Green 张量变形梯度张量及其逆可通过 Euler 主方向/ Lagrange 主方向 与主长度比进行表示即 {U∑α13λαL⃗α⊗L⃗αV∑α13λαl⃗α⊗l⃗α{C∑α13λα2L⃗α⊗L⃗αB∑α13λα2l⃗α⊗l⃗αcB−1∑α131λα2l⃗α⊗l⃗α\begin{aligned} \begin{cases} \bold U\sum\limits_{\alpha1}^3\lambda_\alpha\vec{L}_\alpha\otimes\vec{L}_\alpha \\\\ \bold V\sum\limits_{\alpha1}^3\lambda_\alpha\vec{l}_\alpha\otimes\vec{l}_\alpha \end{cases} \\\\ \begin{cases} \bold C \sum\limits_{\alpha1}^3\lambda^2_\alpha\vec{L}_\alpha\otimes\vec{L}_\alpha \\\\ \bold B\sum\limits_{\alpha1}^3\lambda^2_\alpha\ \vec{l}_\alpha\otimes\vec{l}_\alpha \bold c\bold B^{-1}\sum\limits_{\alpha1}^3\dfrac{1}{\lambda^2_\alpha}\ \vec{l}_\alpha\otimes\vec{l}_\alpha \end{cases} \end{aligned}⎩⎨⎧Uα1∑3λαLα⊗LαVα1∑3λαlα⊗lα⎩⎨⎧Cα1∑3λα2Lα⊗LαBα1∑3λα2 lα⊗lαcB−1α1∑3λα21 lα⊗lα 由于转动张量也可通过主方向进行表示 R∑α13l⃗α⊗L⃗α\bold R\sum_{\alpha1}^3\vec{l}_\alpha\otimes\vec{L}_\alphaRα1∑3lα⊗Lα 则有 FV⋅RR⋅U∑α13λαl⃗α⊗L⃗αF−1RT⋅V−1U−1⋅RT∑α131λαL⃗α⊗l⃗α\bold F \bold {V\cdot R} \bold {R\cdot U} \sum_{\alpha1}^3\lambda_{\alpha}\vec{l}_\alpha\otimes\vec{L}_\alpha \\\ \\ \bold F^{-1} \bold {R^T\cdot V^{-1}} \bold {U^{-1}\cdot R^{T}} \sum_{\alpha1}^3\dfrac{1}{\lambda_{\alpha}}\vec{L}_\alpha\otimes\vec{l}_\alphaFV⋅RR⋅Uα1∑3λαlα⊗Lα F−1RT⋅V−1U−1⋅RTα1∑3λα1Lα⊗lα 对于参考构型中某点具有任意单位切向量 M⃗MαL⃗α\vec{M}M^\alpha\vec{L}_\alphaMMαLα 的有向线元而言其伸长比为 λM(M⃗⋅C⋅M⃗)12[∑α13(MαL⃗α)⋅∑i13(λi2L⃗i⊗L⃗i)⋅∑β13(MβL⃗β)]12[∑α13(λαMα)2]12(不对α、β求和)\lambda_M (\vec{M}\cdot\bold C\cdot\vec{M})^{\frac{1}{2}} \left[\sum_{\alpha1}^3(M^\alpha\vec{L}_\alpha )\cdot\sum\limits_{i1}^3\left(\lambda^2_i\vec{L}_i\otimes\vec{L}_i\right)\cdot \sum_{\beta1}^3(M^\beta\vec{L}_\beta )\right]^{\frac{1}{2}} \left[\sum_{\alpha1}^3(\lambda_\alpha M^\alpha)^2\right]^{\frac{1}{2}}(不对 \alpha 、\beta求和)λM(M⋅C⋅M)21α1∑3(MαLα)⋅i1∑3(λi2Li⊗Li)⋅β1∑3(MβLβ)21[α1∑3(λαMα)2]21(不对α、β求和) 其中 MαM^\alphaMα 为参考构型下任意单位切向量 M⃗\vec{M}M 在 Lagrange主方向下 的分量。 对于当前构型中某点具有任意单位切向量 m⃗mαl⃗α\vec{m}m^\alpha\vec{l}_\alphammαlα 的有向线元而言其伸长比为 λm(m⃗⋅c⋅m⃗)−12[∑α13(mαl⃗α)⋅∑i13(1λi2l⃗i⊗l⃗i)⋅∑β13(mβl⃗β)]−12[∑α13(mαλα)2]−12(不对α、β求和)\lambda_m (\vec{m}\cdot\bold c\cdot\vec{m})^{-\frac{1}{2}} \left[\sum_{\alpha1}^3(m^\alpha\vec{l}_\alpha )\cdot \sum\limits_{i1}^3\left(\dfrac{1}{\lambda^2_i}\ \vec{l}_i\otimes\vec{l}_i\right)\cdot \sum_{\beta1}^3(m^\beta\vec{l}_\beta )\right]^{-\frac{1}{2}} \left[\sum_{\alpha1}^3\left(\dfrac{m^\alpha}{\lambda_\alpha}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}}(不对 \alpha 、\beta求和)λm(m⋅c⋅m)−21α1∑3(mαlα)⋅i1∑3(λi21 li⊗li)⋅β1∑3(mβlβ)−21[α1∑3(λαmα)2]−21(不对α、β求和) 其中 mαm^\alphamα 为当前构型下任意单位切向量 m⃗\vec{m}m 在 Euler主方向下 的分量。
3. 线元夹角的改变
下图为变形前后两线元的夹角变化过程 则变形前、后两线元的夹角余弦分别为 cosΘM⃗(1)⋅M⃗(2)dX⃗(1)⋅dX⃗(2)∣dX⃗(1)∣⋅∣dX⃗(2)∣cosθm⃗(1)⋅m⃗(2)dx⃗(1)⋅dx⃗(2)∣dx⃗(1)∣⋅∣dx⃗(2)∣cos\Theta \vec{M}_{(1)}\cdot\vec{M}_{(2)} \dfrac{d\vec{X}_{(1)}\cdot d\vec{X}_{(2)}}{|d\vec{X}_{(1)}|\cdot|d\vec{X}_{(2)}|}\\\ \\ cos\theta \vec{m}_{(1)}\cdot\vec{m}_{(2)} \dfrac{d\vec{x}_{(1)}\cdot d\vec{x}_{(2)}}{|d\vec{x}_{(1)}|\cdot|d\vec{x}_{(2)}|}cosΘM(1)⋅M(2)∣dX(1)∣⋅∣dX(2)∣dX(1)⋅dX(2) cosθm(1)⋅m(2)∣dx(1)∣⋅∣dx(2)∣dx(1)⋅dx(2) 又 dx⃗(1)F⋅dX⃗(1)dX⃗(1)F−1⋅dx⃗(1)dx⃗(2)F⋅dX⃗(2)dX⃗(2)F−1⋅dx⃗(2)∣dx⃗(1)∣λm(1)∣dX⃗(1)∣λM(1)∣dX⃗(1)∣∣dx⃗(2)∣λm(2)∣dX⃗(2)∣λM(2)∣dX⃗(1)∣\begin{aligned} d\vec{x}_{(1)}\bold F\cdot d\vec{X}_{(1)}d\vec{X}_{(1)}\bold{\overset{-1}{F}}\cdot d\vec{x}_{(1)} \\\\ d\vec{x}_{(2)}\bold F\cdot d\vec{X}_{(2)}d\vec{X}_{(2)}\bold{\overset{-1}{F}}\cdot d\vec{x}_{(2)} \\\\ |d\vec{x}_{(1)}|\lambda_{m_{(1)}} |d\vec{X}_{(1)}|\lambda_{M_{(1)}} |d\vec{X}_{(1)}| \\\\ |d\vec{x}_{(2)}|\lambda_{m_{(2)}} |d\vec{X}_{(2)}|\lambda_{M_{(2)}} |d\vec{X}_{(1)}| \end{aligned}dx(1)F⋅dX(1)dX(1)F−1⋅dx(1)dx(2)F⋅dX(2)dX(2)F−1⋅dx(2)∣dx(1)∣λm(1)∣dX(1)∣λM(1)∣dX(1)∣∣dx(2)∣λm(2)∣dX(2)∣λM(2)∣dX(1)∣ 那么当立足于初始构型若已知任意两方向其夹角为 Θ\ThetaΘ那么经过变形后两方向的夹角余弦为 cosθdx⃗(1)⋅dx⃗(2)∣dx⃗(1)∣⋅∣dx⃗(2)∣1λM(1)λM(2)dX⃗(1)⋅C⋅dX⃗(2)∣dX⃗(1)∣∣dX⃗(2)∣1λM(1)λM(2)(M⃗(1)⋅C⋅M⃗(2))cos\theta \dfrac{d\vec{x}_{(1)}\cdot d\vec{x}_{(2)}}{|d\vec{x}_{(1)}|\cdot|d\vec{x}_{(2)}|} \dfrac{1}{\lambda_{M_{(1)}} \lambda_{M_{(2)}}}\dfrac{d\vec{X}_{(1)}\cdot\bold C\cdot d\vec{X}_{(2)}}{|d\vec{X}_{(1)}| |d\vec{X}_{(2)}|} \dfrac{1}{\lambda_{M_{(1)}} \lambda_{M_{(2)}}}(\vec{M}_{(1)}\cdot\bold C\cdot \vec{M}_{(2)})cosθ∣dx(1)∣⋅∣dx(2)∣dx(1)⋅dx(2)λM(1)λM(2)1∣dX(1)∣∣dX(2)∣dX(1)⋅C⋅dX(2)λM(1)λM(2)1(M(1)⋅C⋅M(2)) 进一步 cosθ1λM(1)λM(2)[∑α13(M(1)αL⃗α)⋅∑i13(λi2L⃗i⊗L⃗i)⋅∑β13(M(2)βL⃗β)]1λM(1)λM(2)∑α13(λα2M(1)αM(2)α)cos\theta\dfrac{1}{\lambda_{M_{(1)}} \lambda_{M_{(2)}}}\left[\sum_{\alpha1}^3(M_{(1)}^\alpha\vec{L}_\alpha )\cdot\sum\limits_{i1}^3\left(\lambda^2_i\vec{L}_i\otimes\vec{L}_i\right)\cdot \sum_{\beta1}^3(M_{(2)}^\beta\vec{L}_\beta )\right] \dfrac{1}{\lambda_{M_{(1)}} \lambda_{M_{(2)}}}\sum\limits_{\alpha1}^3(\lambda_\alpha^2M_{(1)}^\alpha M_{(2)}^\alpha)cosθλM(1)λM(2)1α1∑3(M(1)αLα)⋅i1∑3(λi2Li⊗Li)⋅β1∑3(M(2)βLβ)λM(1)λM(2)1α1∑3(λα2M(1)αM(2)α) 其中 M(1)α、M(2)αM^\alpha_{(1)}、M^\alpha_{(2)}M(1)α、M(2)α 为参考构型下两任意单位切向量 M⃗(1)、M⃗(2)\vec{M}_{(1)}、\vec{M}_{(2)}M(1)、M(2) 分别在 Lagrange主方向下 的分量λα\lambda_\alphaλα 为主长度比。 另外若立足于当前构型若已知任意两方向其夹角为 θ\thetaθ那么经历变形前两方向的夹角余弦为 cosΘdX⃗(1)⋅dX⃗(2)∣dX⃗(1)∣⋅∣dX⃗(2)∣(λm(1)λm(2))dx⃗(1)⋅c⋅dx⃗(2)∣dx⃗(1)∣∣dx⃗(2)∣(λm(1)λm(2))(m⃗(1)⋅c⋅m⃗(2))cos\Theta \dfrac{d\vec{X}_{(1)}\cdot d\vec{X}_{(2)}}{|d\vec{X}_{(1)}|\cdot|d\vec{X}_{(2)}|} (\lambda_{m_{(1)}} \lambda_{m_{(2)}})\dfrac{d\vec{x}_{(1)}\cdot\bold c\cdot d\vec{x}_{(2)}}{|d\vec{x}_{(1)}| |d\vec{x}_{(2)}|} (\lambda_{m_{(1)}} \lambda_{m_{(2)}})(\vec{m}_{(1)}\cdot\bold c\cdot \vec{m}_{(2)})cosΘ∣dX(1)∣⋅∣dX(2)∣dX(1)⋅dX(2)(λm(1)λm(2))∣dx(1)∣∣dx(2)∣dx(1)⋅c⋅dx(2)(λm(1)λm(2))(m(1)⋅c⋅m(2)) 进一步 cosΘλm(1)λm(2)[∑α13(m(1)αl⃗α)⋅∑i13(1λi2l⃗i⊗l⃗i)⋅∑β13(m(2)βl⃗β)](λm(1)λm(2))∑α13(1λα2m(1)αm(2)α)cos\Theta\lambda_{m_{(1)}} \lambda_{m_{(2)}}\left[\sum_{\alpha1}^3(m_{(1)}^\alpha\vec{l}_\alpha )\cdot\sum\limits_{i1}^3\left(\dfrac{1}{\lambda^2_i}\vec{l}_i\otimes\vec{l}_i\right)\cdot \sum_{\beta1}^3(m_{(2)}^\beta\vec{l}_\beta )\right] (\lambda_{m_{(1)}} \lambda_{m_{(2)}})\sum\limits_{\alpha1}^3\left(\dfrac{1}{\lambda_\alpha^2}m_{(1)}^\alpha m_{(2)}^\alpha\right)cosΘλm(1)λm(2)α1∑3(m(1)αlα)⋅i1∑3(λi21li⊗li)⋅β1∑3(m(2)βlβ)(λm(1)λm(2))α1∑3(λα21m(1)αm(2)α) 其中 m(1)α、m(2)αm^\alpha_{(1)}、m^\alpha_{(2)}m(1)α、m(2)α 为参考构型下两任意单位切向量 m⃗(1)、m⃗(2)\vec{m}_{(1)}、\vec{m}_{(2)}m(1)、m(2) 分别在 Euler主方向下 的分量λα\lambda_\alphaλα 为主长度比。
4. 面元的改变
面元可通过如下的向量给出它的几何特征向量的方向代表面元的单位法向量向量的模代表面元的大小。则参考构型与当前构型下的平行四边形面元分别为 {0N⃗dS0dX⃗(1)×dX⃗(2)N⃗dSdx⃗(1)×dx⃗(2)\begin{cases} {_0}\vec{N}dS_0d\vec{X}_{(1)}\times d\vec{X}_{(2)} \\\\ \vec{N}dSd\vec{x}_{(1)}\times d\vec{x}_{(2)} \end{cases}⎩⎨⎧0NdS0dX(1)×dX(2)NdSdx(1)×dx(2) 其中0N⃗、N⃗{_0}\vec{N}、\vec{N}0N、N 分别为变形前后面元的单位法向量dS0、dSdS_0、dSdS0、dS 分别为变形前后面元的大小。
那么根据 Nanson 公式 N⃗dS(F⋅dX⃗(1))×(F⋅dX⃗(2))det(F)F−T⋅(dX⃗(1)×dX⃗(2))JF−T⋅0N⃗dS0\vec{N}dS (\bold F\cdot d\vec{X}_{(1)})\times (\bold F\cdot d\vec{X}_{(2)}) det(\bold F)\bold{\overset{-T}{F}}\cdot(d\vec{X}_{(1)}\times d\vec{X}_{(2)}) \mathscr{J}\bold{\overset{-T}{F}}\cdot{_0}\vec{N}dS_0NdS(F⋅dX(1))×(F⋅dX(2))det(F)F−T⋅(dX(1)×dX(2))JF−T⋅0NdS0 由于任何形状的面元均可通过无穷多个平行四边形来近似故上述针对平行四边形面元的变换关系对于任意形状的面元也成立。
5. 体元的改变
参考/当前构型中的平行六面体的微元的体积分别为 {dv0∣dX⃗1⋅(dX⃗2×dX⃗3)∣dv∣dx⃗1⋅(dx⃗2×dx⃗3)∣\begin{cases} dv_0|d\vec{X}_1\cdot(d\vec{X}_2\times d\vec{X}_3)| \\\\ dv |d\vec{x}_1\cdot(d\vec{x}_2\times d\vec{x}_3)| \end{cases}⎩⎨⎧dv0∣dX1⋅(dX2×dX3)∣dv∣dx1⋅(dx2×dx3)∣ 那么, dv∣dx⃗1⋅(dx⃗2×dx⃗3)∣∣(F⋅dX⃗1)⋅[(F⋅dX⃗2)×(F⋅dX⃗3)]∣∣det(F)∣∣dX⃗1⋅(dX⃗2×dX⃗3)∣∣J∣dv0Jdv0∣det(R)∣∣det(U)∣dv0(∏α13λα)dv0\begin{aligned} dv |d\vec{x}_1\cdot(d\vec{x}_2\times d\vec{x}_3)| \\\\ \quad|(\bold F\cdot d\vec{X}_1)\cdot[(\bold F\cdot d\vec{X}_2)\times (\bold F\cdot d\vec{X}_3)]| \\\\ \quad|det(\bold F)|\ |d\vec{X}_1\cdot(d\vec{X}_2\times d\vec{X}_3)| \\\\ \quad|\mathscr{J}|\ dv_0 \mathscr{J}\ dv_0\\\\ \quad|det(\bold R)||det(\bold U)|\ dv_0 \\\\ \quad\left(\prod_{\alpha1}^3\lambda_\alpha\right)\ dv_0 \end{aligned}dv∣dx1⋅(dx2×dx3)∣∣(F⋅dX1)⋅[(F⋅dX2)×(F⋅dX3)]∣∣det(F)∣ ∣dX1⋅(dX2×dX3)∣∣J∣ dv0J dv0∣det(R)∣∣det(U)∣ dv0(α1∏3λα) dv0 其中λαα1,2,3\lambda_\alpha\alpha1,2,3λαα1,2,3 为主长度比
由于任意形状的体元可以用无穷个多个平行六面体的逼近故上述平行六面体体元间的映射关系对于任意形状的体元也是成立的。
对于 等容变形 应有 J1\mathscr{J}1J1 因此有时也将变形梯度分解为等容部分与体积部分的乘积其中等容部分定义为 F^≜J−13F\bold{\hat F} \triangleq \mathscr{J}^{-\frac{1}{3}}\bold FF^≜J−31F 显然 det(F^)1det(\bold{\hat F})1det(F^)1 则 FF^⋅(J13G)\bold F\bold{\hat F}\cdot(\mathscr{J}^{\frac{1}{3}}\bold G)FF^⋅(J31G) 显然体积部分 J13G\mathscr{J}^{\frac{1}{3}}\bold GJ31G 是球形张量各向同性张量。
