网站建设都包括,c2c的代表性电商平台,php网站开发实践,深圳市官方网站【高等数学学习记录】函数 从事测绘工作多年#xff0c;深刻感受到基础知识的重要及自身在这方面的短板。 为此#xff0c;打算重温测绘工作所需基础知识。练好基本功#xff0c;为测绘工作赋能。 1 知识点
1.1 函数
设数集 D ⊂ R D\subset R D⊂R#xff0c;称映射…【高等数学学习记录】函数 从事测绘工作多年深刻感受到基础知识的重要及自身在这方面的短板。 为此打算重温测绘工作所需基础知识。练好基本功为测绘工作赋能。 1 知识点
1.1 函数
设数集 D ⊂ R D\subset R D⊂R称映射 f : D → R f:D\rightarrow R f:D→R为定义在 D D D上的函数简记为 y f ( x ) yf(x) yf(x) x ∈ D x\in D x∈D。 x x x称为自变量。 y y y称为因变量。 D D D称为定义域记作 D f D_f Df。 y y y的全体所构成的集合称为函数 f f f的值域记作 R f R_f Rf或 f ( D ) f(D) f(D)。
1.2 函数的特性
1.2.1 有界性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D数集 X ⊂ D X\subset D X⊂D。如果存在数 K 1 K_1 K1使得 f ( x ) ≤ K 1 f(x)\leq K_1 f(x)≤K1对任一 x ∈ X x\in X x∈X都成立则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有上界。如果存在数 K 2 K_2 K2使得 f ( x ) ≥ K 2 f(x)\geq K_2 f(x)≥K2对任一 x ∈ X x\in X x∈X都成立则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有下界。如果存在正数 M M M使得 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M \begin{vmatrix} f(x)\end{vmatrix}\leq M f(x) ≤M对任一 x ∈ X x\in X x∈X都成立则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有界如果这样的 M M M不存在则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上无界。
1.2.2 单调性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D区间 I ⊂ D I\subset D I⊂D。设区间 I I I上任意两点 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2当 x 1 x 2 x_1 x_2 x1x2时恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f(x_1)f(x_2) f(x1)f(x2)称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上单调增加当 x 1 x 2 x_1 x_2 x1x2时恒有 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f(x_1)f(x_2) f(x1)f(x2)称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上单调减少。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
1.2.3 奇偶性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域 D D D关于原点对称。对于任一 x ∈ D x\in D x∈D f ( − x ) f ( x ) f(-x)f(x) f(−x)f(x)恒成立时称 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数。对于任一 x ∈ D x\in D x∈D f ( − x ) − f ( x ) f(-x)-f(x) f(−x)−f(x)恒成立时称 f ( x ) f(x) f(x)为奇函数。
1.2.4 周期性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D如果存在一个正数 l l l使得对于任一 x ∈ D x\in D x∈D有 ( x ± l ) ∈ D (x\pm l)\in D (x±l)∈D且 f ( x l ) f ( x ) f(xl)f(x) f(xl)f(x)恒成立时称 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数 l l l称为 f ( x ) f(x) f(x)的周期。通常说的周期函数的周期是指最小正周期。
1.3 反函数
设函数 f : D → f ( D ) f:D\rightarrow f(D) f:D→f(D)是单射则它存在逆映射 f − 1 : f ( D ) → D f^{-1}:f(D)\rightarrow D f−1:f(D)→D称此映射 f − 1 f^{-1} f−1为函数 f f f的反函数。
1.4 复合函数
设函数 y f ( u ) yf(u) yf(u)的定义域为 D f D_f Df函数 u g ( x ) ug(x) ug(x)的定义域为 D g D_g Dg且其值域 R g ⊂ R f R_g\subset R_f Rg⊂Rf。则函数 y f [ g ( x ) ] yf[g(x)] yf[g(x)]( x ∈ D g x\in D_g x∈Dg)称为由函数 u g ( x ) ug(x) ug(x)与函数 y f ( u ) yf(u) yf(u)构成的复合函数。它的定义域为 D g D_g Dg变量 u u u称为中间变量。
1.5 函数的运算
设函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x)的定义域以此为 D 1 D_1 D1 D 2 D_2 D2 D D 1 ∩ D 2 ≠ ϕ DD_1\cap D_2\neq \phi DD1∩D2ϕ则我们可以定义这两个函数的下列运算和差 ( f ± g ) ( x ) f ( x ) ± g ( x ) (f\pm g)(x) f(x)\pm g(x) (f±g)(x)f(x)±g(x) x ∈ D x\in D x∈D积 ( f ⋅ g ) ( x ) f ( x ) ⋅ g ( x ) (f\cdot g)(x)f(x)\cdot g(x) (f⋅g)(x)f(x)⋅g(x) x ∈ D x\in D x∈D商 ( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) (\frac{f}{g})(x)\frac{f(x)}{g(x)} (gf)(x)g(x)f(x) x ∈ D ∖ { x ∣ g ( x ) 0 , x ∈ D } x\in D \setminus\lbrace x|g(x)0, x\in D\rbrace x∈D∖{x∣g(x)0,x∈D}
1.6 基本初等函数
1.6.1 幂函数 y x a yx^a yxa a ∈ R a\in R a∈R是常数如图 a 5 , − 10 ≤ x ≤ 10 a5, -10\leq x\leq 10 a5,−10≤x≤10
1.6.2 指数函数 y a x ya^x yax a 0 a 0 a0 且 a ≠ 1 a\neq 1 a1是常数如图 a 5 a5 a5
1.6.3 对数函数 y l o g a x ylog_a^x ylogax a 0 a0 a0且 a ≠ 1 a\neq 1 a1是常数当 a e ae ae时记为 y l n x ylnx ylnx如图 a 5 , 0.05 x 100 a 5, 0.05 x 100 a5,0.05x100
1.6.4 三角函数
如 y s i n ( x ) , y c o s ( x ) , y t a n ( x ) ysin(x),ycos(x),ytan(x) ysin(x),ycos(x),ytan(x)等如图 y s i n ( x ) , − 10 x 10 ysin(x), -10 x 10 ysin(x),−10x10
1.6.5 反三角函数
如 y a r c s i n ( x ) , y a r c c o s ( x ) , y a r c t a n ( x ) yarcsin(x),yarccos(x),yarctan(x) yarcsin(x),yarccos(x),yarctan(x)等如图 y a r c t a n ( x ) , − 100 x 100 yarctan(x),-100x100 yarctan(x),−100x100
1.7 初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。如 y 1 − x 2 y\sqrt{1-x^2} y1−x2 、 y c o t x 2 y\sqrt{cot\frac{x}{2}} ycot2x 等。
2 练习题
2.1
【题目】 求下列函数的自然定义域。【解答】 (1) y 3 x 2 y\sqrt{3x2} y3x2 由 3 x 2 ≥ 0 3x2\geq 0 3x2≥0得定义域为 { x ∣ x ≥ − 2 3 } \lbrace x|x\geq -\frac{2}{3}\rbrace {x∣x≥−32} (2) y 1 1 − x 2 y\frac{1}{1-x^2} y1−x21 由 1 − x 2 ≠ 0 1-x^2\neq 0 1−x20得定义域为 { x ∣ x ≠ ± 1 } \lbrace x|x\neq \pm 1\rbrace {x∣x±1} (3) y 1 x − 1 − x 2 y\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2} yx1−1−x2 由 { x ≠ 0 1 − x 2 ≥ 0 \begin{cases} x\neq 0 \\ 1 - x^2 \geq 0\end{cases} {x01−x2≥0得定义域为 { x ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0 } \lbrace x| -1\leq x \leq 1 且 x\neq 0\rbrace {x∣−1≤x≤1且x0} (4) y 1 4 − x 2 y\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} y4−x2 1 由 4 − x 2 0 4-x^2 0 4−x20得定义域为 { x ∣ − 2 x 2 } \lbrace x| -2 x 2\rbrace {x∣−2x2} (5) y s i n x ysin\sqrt{x} ysinx 定义域为 { x ∣ x ≥ 0 } \lbrace x| x\geq 0\rbrace {x∣x≥0} (6) y t a n ( x 1 ) ytan(x1) ytan(x1) 由 x 1 ≠ k π π 2 , k ∈ Z x1\neq k\pi \frac{\pi}{2},k\in Z x1kπ2π,k∈Z得定义域为 x ≠ k π π 2 − 1 , k ∈ Z x\neq k\pi \frac{\pi}{2}-1,k\in Z xkπ2π−1,k∈Z (7) y a r c s i n ( x − 3 ) yarcsin(x-3) yarcsin(x−3) 由 ∣ x − 3 ∣ ≤ 1 \begin{vmatrix}x-3 \end{vmatrix}\leq 1 x−3 ≤1得定义域为 { x ∣ 2 ≤ x ≤ 4 } \lbrace x|2\leq x\leq 4 \rbrace {x∣2≤x≤4} (8) y 3 − x a r c t a n 1 x y\sqrt{3-x}arctan\frac{1}{x} y3−x arctanx1 由 { 3 − x ≥ 0 x ≠ 0 \begin{cases} 3-x \geq 0 \\ x\neq 0 \end{cases} {3−x≥0x0 得定义域为 { x ∣ x ≤ 3 且 x ≠ 0 } \lbrace x| x \leq 3 且 x\neq 0\rbrace {x∣x≤3且x0} (9) y l n ( x 1 ) yln(x1) yln(x1) 由 x 1 0 x10 x10得定义域为 { x ∣ x − 1 } \lbrace x| x-1\rbrace {x∣x−1} (10) y e 1 x ye^{\frac{1}{x}} yex1 定义域为 { x ∣ x ≠ 0 } \lbrace x|x\neq 0 \rbrace {x∣x0}
2.2
【题目】 下列各题中函数 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)是否相同为什么【解答】 定义域和对应法则均相同的函数相同否则函数不同。据此 (1) f ( x ) l g x 2 f(x)lg\, x^2 f(x)lgx2 g ( x ) 2 l o g x g(x)2log\, x g(x)2logx 不同。 定义域不同 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 x ≠ 0 x\neq 0 x0 g ( x ) g(x) g(x)的定义域为 { x ∣ x 0 } \lbrace x|x0\rbrace {x∣x0}。 (2) f ( x ) x f(x)x f(x)x g ( x ) x 2 g(x)\sqrt{x^2} g(x)x2 不同。 对应法则不同 f ( x ) x f(x)x f(x)x而 g ( x ) ∣ x ∣ g(x)\begin{vmatrix}x \end{vmatrix} g(x) x 。 (3) f ( x ) x 4 − x 3 3 f(x)\sqrt[3]{x^4-x^3} f(x)3x4−x3 g ( x ) x x − 1 3 g(x)x\sqrt[3]{x-1} g(x)x3x−1 相同。 定义域和对应法则均相同。 (4) f ( x ) 1 f(x)1 f(x)1 g ( x ) s e c 2 x − t a n 2 x g(x)sec^2x-tan^2x g(x)sec2x−tan2x 不同。 定义域不同 f ( x ) f(x) f(x)的定义域无限制 g ( x ) g(x) g(x)的定义域为 { x ∣ x ∈ R , x ≠ k π π 2 ( k ∈ Z ) } \lbrace x|x\in R,x\neq k\pi \frac{\pi}{2}(k\in Z)\rbrace {x∣x∈R,xkπ2π(k∈Z)}。
2.3
【题目】 设 ϕ ( x ) { ∣ s i n x ∣ , ∣ x ∣ π 3 0 , ∣ x ∣ ≥ π 3 \phi(x)\begin{aligned}\begin{cases} \begin{vmatrix} sinx\end{vmatrix} , \begin{vmatrix}x\end{vmatrix}\frac{\pi}{3} \\ \quad 0, \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}\geq \frac{\pi}{3}\end{cases} \end{aligned} ϕ(x){ sinx ,0, x 3π x ≥3π 求 ϕ ( π 6 \phi(\frac{\pi}{6} ϕ(6π), ϕ ( π 4 ) \phi(\frac{\pi}{4}) ϕ(4π), ϕ ( − π 4 ) \phi(-\frac{\pi}{4}) ϕ(−4π), ϕ ( − 2 ) \phi(-2) ϕ(−2)并作出函数 y ϕ ( x ) y\phi(x) yϕ(x)的图形。【解答】 ϕ ( π 6 ) ∣ s i n ( π 6 ) ∣ 1 2 \phi(\frac{\pi}{6})\begin{vmatrix} sin(\frac{\pi}{6}) \end{vmatrix}\frac{1}{2} ϕ(6π) sin(6π) 21 ϕ ( π 4 ) ∣ s i n ( π 4 ) ∣ 2 2 \phi(\frac{\pi}{4})\begin{vmatrix} sin(\frac{\pi}{4})\end{vmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} ϕ(4π) sin(4π) 22 ϕ ( − π 4 ) ∣ s i n ( − π 4 ) ∣ 2 2 \phi(-\frac{\pi}{4})\begin{vmatrix} sin(-\frac{\pi}{4})\end{vmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} ϕ(−4π) sin(−4π) 22 ϕ ( − 2 ) 0 \phi(-2)0 ϕ(−2)0
2.4
【题目】 试证下列函数在指定区间内的单调性。【证明】(1) y x 1 − x , ( − ∞ , 1 ) y\frac{x}{1-x},(-\infty ,1) y1−xx,(−∞,1) 设 − ∞ x 1 x 2 1 -\infty x_1 x_2 1 −∞x1x21 x 1 1 − x 1 − x 2 1 − x 2 x 1 − x 2 ( 1 − x 1 ) ( 1 − x 2 ) 0 \frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}0 1−x1x1−1−x2x2(1−x1)(1−x2)x1−x20故其为单调递增函数。 (2) y x l n x , ( 0 , ∞ ) yxln\,x, (0,\infty) yxlnx,(0,∞) 设 0 x 1 x 2 ∞ 0 x_1 x_2 \infty 0x1x2∞ x 1 l n x 1 − x 2 − l n x 2 ( x 1 − x 2 ) ( l n x 1 − l n x 2 ) 0 x_1ln\,x_1-x_2-ln\,x_2 (x_1-x_2)(ln\, x_1-ln\,x_2)0 x1lnx1−x2−lnx2(x1−x2)(lnx1−lnx2)0故其为单调递增函数。
2.5
【题目】 设 f ( x ) f(x) f(x)为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内的奇函数若 f ( x ) f(x) f(x)在 ( 0 , l ) (0,l) (0,l)内单调增加证明 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − l , 0 ) (-l,0) (−l,0)内也单调增加。【证明】 设 − l x 1 x 2 0 -lx_1x_20 −lx1x20则 0 − x 2 − x 1 l 0-x_2-x_1l 0−x2−x1l。 ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内的奇函数 ∴ f ( − x 1 ) − f ( x 1 ) , f ( − x 2 ) − f ( x 2 ) \therefore f(-x_1)-f(x_1),f(-x_2)-f(x_2) ∴f(−x1)−f(x1),f(−x2)−f(x2) ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)在 ( 0 , l ) (0,l) (0,l)内单调增加 ∴ f ( − x 2 ) − f ( − x 1 ) f ( x 1 ) − f ( x 2 ) 0 \therefore f(-x_2)-f(-x_1)f(x_1)-f(x_2)0 ∴f(−x2)−f(−x1)f(x1)−f(x2)0 ∴ f ( x ) \therefore f(x) ∴f(x)在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内单调增加。
2.6
【题目】 设下面所考虑的函数都是定义域在区间 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的。证明 (1) 两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数 (2) 两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数。【证明1】 设 ϕ ( x ) f ( x ) g ( x ) \phi(x) f(x) g(x) ϕ(x)f(x)g(x)设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的偶函数则 ϕ ( − x ) f ( − x ) g ( − x ) f ( x ) g ( x ) ϕ ( x ) \phi(-x)f(-x)g(-x)f(x)g(x)\phi(x) ϕ(−x)f(−x)g(−x)f(x)g(x)ϕ(x)即 ϕ ( − x ) ϕ ( x ) \phi(-x)\phi(x) ϕ(−x)ϕ(x)得两个偶函数的和是偶函数。设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的奇函数则 ϕ ( − x ) f ( − x ) g ( − x ) − f ( x ) − g ( x ) − ϕ ( x ) \phi(-x)f(-x)g(-x)-f(x)-g(x)-\phi(x) ϕ(−x)f(−x)g(−x)−f(x)−g(x)−ϕ(x)即 ϕ ( − x ) − ϕ ( x ) \phi(-x)-\phi(x) ϕ(−x)−ϕ(x)得两个奇函数的和是奇函数。 【证明2】 设 ϕ ( x ) f ( x ) ⋅ g ( x ) \phi(x) f(x)\cdot g(x) ϕ(x)f(x)⋅g(x)设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的偶函数则 ϕ ( − x ) f ( − x ) ⋅ g ( − x ) f ( x ) ⋅ g ( x ) ϕ ( x ) \phi(-x)f(-x)\cdot g(-x)f(x)\cdot g(x)\phi(x) ϕ(−x)f(−x)⋅g(−x)f(x)⋅g(x)ϕ(x)即 ϕ ( − x ) ϕ ( x ) \phi(-x)\phi(x) ϕ(−x)ϕ(x)得两个偶函数的乘积是偶函数。设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的奇函数则 ϕ ( − x ) f ( − x ) ⋅ g ( − x ) [ − f ( x ) ] ⋅ [ − g ( x ) ] ϕ ( x ) \phi(-x)f(-x)\cdot g(-x)[-f(x)]\cdot [-g(x)]\phi(x) ϕ(−x)f(−x)⋅g(−x)[−f(x)]⋅[−g(x)]ϕ(x)即 ϕ ( − x ) ϕ ( x ) \phi(-x)\phi(x) ϕ(−x)ϕ(x)得两个奇函数的乘积是偶函数。设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)分别为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的偶函数、奇函数则 ϕ ( − x ) f ( − x ) ⋅ g ( − x ) f ( x ) ⋅ [ − g ( x ) ] − ϕ ( x ) \phi(-x)f(-x)\cdot g(-x)f(x)\cdot [-g(x)]-\phi(x) ϕ(−x)f(−x)⋅g(−x)f(x)⋅[−g(x)]−ϕ(x)即 ϕ ( − x ) − ϕ ( x ) \phi(-x)-\phi(x) ϕ(−x)−ϕ(x)得偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
2.7
【题目】 下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非偶函数又非奇函数【解答】 (1) y x 2 ( 1 − x 2 ) yx^2(1-x^2) yx2(1−x2) 首先 y f ( x ) yf(x) yf(x)定义域关于原点对称。 ∵ f ( − x ) ( − x ) 2 [ ( 1 − ( − x ) 2 ] x 2 ( 1 − x 2 ) f ( x ) \because f(-x)(-x)^2[(1-(-x)^2]x^2(1-x^2)f(x) ∵f(−x)(−x)2[(1−(−x)2]x2(1−x2)f(x) ∴ f ( − x ) f ( x ) \therefore f(-x)f(x) ∴f(−x)f(x) ∴ \therefore ∴ 该函数为偶函数。 (2) y 3 x 2 − x 3 y3x^2-x^3 y3x2−x3 首先 y f ( x ) yf(x) yf(x)定义域关于原点对称。 ∵ f ( − x ) 2 ( − x ) 2 − ( − x ) 3 2 x 2 x 3 \because f(-x)2(-x)^2-(-x)^32x^2x^3 ∵f(−x)2(−x)2−(−x)32x2x3 ∴ f ( − x ) ≠ f ( x ) \therefore f(-x)\neq f(x) ∴f(−x)f(x)且 f ( − x ) ≠ − f ( x ) f(-x)\neq -f(x) f(−x)−f(x) ∴ \therefore ∴ 该函数即非偶函数又非奇函数。 (3) y 1 − x 2 1 x 2 y\frac{1-x^2}{1x^2} y1x21−x2 首先 y f ( x ) yf(x) yf(x)定义域关于原点对称。 ∵ f ( − x ) 1 − ( − x ) 2 1 ( − x ) 2 1 − x 2 1 x 2 f ( x ) \because f(-x)\frac{1-(-x)^2}{1(-x)^2}\frac{1-x^2}{1x^2}f(x) ∵f(−x)1(−x)21−(−x)21x21−x2f(x) ∴ f ( − x ) f ( x ) \therefore f(-x)f(x) ∴f(−x)f(x) ∴ \therefore ∴该函数为偶函数。 (4) y x ( x − 1 ) ( x 1 ) yx (x-1)(x1) yx(x−1)(x1) 首先 y f ( x ) yf(x) yf(x)关于原点对称。 ∵ f ( − x ) ( − x ) ( − x − 1 ) ( − x 1 ) x ( x 1 ) ( 1 − x ) − x ( x − 1 ) ( x 1 ) − f ( x ) \because f(-x)(-x)(-x-1)(-x1)x(x1)(1-x)-x(x-1)(x1)-f(x) ∵f(−x)(−x)(−x−1)(−x1)x(x1)(1−x)−x(x−1)(x1)−f(x) ∴ f ( − x ) − f ( x ) \therefore f(-x)-f(x) ∴f(−x)−f(x) ∴ \therefore ∴该函数为奇函数。 (5) y s i n x − c o s x 1 ysinx - cosx 1 ysinx−cosx1 首先 y f ( x ) yf(x) yf(x)定义域关于原点对称。 ∵ f ( − x ) s i n ( − x ) − c o s ( − x ) 1 − s i n x − c o s x 1 \because f(-x)sin(-x)-cos(-x)1-sinx-cosx1 ∵f(−x)sin(−x)−cos(−x)1−sinx−cosx1 ∴ f ( − x ) ≠ f ( x ) \therefore f(-x)\neq f(x) ∴f(−x)f(x)且 f ( − x ) ≠ − f ( x ) f(-x)\neq -f(x) f(−x)−f(x) $\therefore $该函数即非偶函数又非奇函数。 (6) y a x a − x 2 y\frac{a^xa^{-x}}{2} y2axa−x 首先 y f ( x ) yf(x) yf(x)定义域关于原点对称。 ∵ f ( − x ) a − x a x 2 f ( x ) \because f(-x)\frac{a^{-x}a^x}{2}f(x) ∵f(−x)2a−xaxf(x) ∴ f ( − x ) f ( x ) \therefore f(-x)f(x) ∴f(−x)f(x) ∴ \therefore ∴该函数为偶函数。
2.8
【题目】 下列各函数中哪些是周期函数对于周期函数指出其周期。【解答】 (1) y c o s ( x − 2 ) ycos(x-2) ycos(x−2) 该函数为周期函数周期 T 2 π T2\pi T2π。 (2) y c o s 4 x ycos4x ycos4x 该函数为周期函数周期 T 2 π 4 π 2 T\frac{2\pi}{4}\frac{\pi}{2} T42π2π。 (3) y 1 s i n π x y1sin\pi x y1sinπx 该函数为周期函数周期 T 2 π π 2 T\frac{2\pi}{\pi}2 Tπ2π2。 (4) y x c o s x yxcosx yxcosx 该函数不是周期函数。 (5) y s i n 2 x ysin^2x ysin2x ∵ y 1 − c o s 2 x 2 \because y\frac{1-cos2x}{2} ∵y21−cos2x ∴ \therefore ∴该函数为周期函数周期 T 2 π 2 π T\frac{2\pi}{2}\pi T22ππ。
2.9
【题目】 求下列函数的反函数。【解答】 (1) y x 1 3 y\sqrt[3]{x1} y3x1 y 3 x 1 y^3x1 y3x1 x y 3 − 1 , x ∈ R x y^3 - 1,x\in R xy3−1,x∈R (2) y 1 − x 1 x y\frac{1-x}{1x} y1x1−x y x y 1 − x yxy1-x yxy1−x x x y 1 − y xxy1-y xxy1−y x 1 − y 1 y , y ≠ − 1 x\frac{1-y}{1y},y\neq -1 x1y1−y,y−1 (3) y a x b c x d , ( a d − b c ≠ 0 ) y\frac{axb}{cxd}, (ad-bc\neq 0) ycxdaxb,(ad−bc0) c x y d y a x b cxydyaxb cxydyaxb c x y − a x b − d y cxy-axb-dy cxy−axb−dy x b − d y c y − a , y ≠ a c x\frac{b-dy}{cy-a}, y\neq \frac{a}{c} xcy−ab−dy,yca (4) y 2 s i n 3 x , ( − π 6 ≤ x ≤ π 6 ) y2sin3x,(-\frac{\pi}{6}\leq x \leq \frac{\pi}{6}) y2sin3x,(−6π≤x≤6π) s i n 3 x y 2 sin3x\frac{y}{2} sin3x2y 3 x a r c s i n y 2 3xarcsin\frac{y}{2} 3xarcsin2y x a r c s i n y 2 3 , − 2 ≤ y ≤ 2 x\frac{arcsin\frac{y}{2}}{3}, -2\leq y \leq 2 x3arcsin2y,−2≤y≤2 (5) y 1 l n ( x 2 ) y1ln(x2) y1ln(x2) l n ( x 2 ) y − 1 ln(x2)y-1 ln(x2)y−1 x 2 e y − 1 x2e^{y-1} x2ey−1 x e y − 1 − 2 , y ∈ R xe^{y-1}-2,y\in R xey−1−2,y∈R (6) y 2 x 2 x 1 y\frac{2^x}{2^x1} y2x12x y 2 x y 2 x y2^xy2^x y2xy2x 2 x − y 2 x y 2^x-y2^xy 2x−y2xy 2 x y 1 − y 2^x\frac{y}{1-y} 2x1−yy l o g 2 2 x l o g 2 y 1 − y log_2^{2^x}log_2^\frac{y}{1-y} log22xlog21−yy x l o g 2 y 1 − y , 0 y 1 xlog_2 ^\frac{y}{1-y},0y1 xlog21−yy,0y1
2.10 【题目】 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在数集 X X X上有定义试证函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有界的充分必要条件是它在 X X X上既有上界又有下界。 【证明】充分条件 ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)在 X X X上既有上界又有下界。 ∴ ∃ K 1 \therefore \exist K_1 ∴∃K1使得任一 x ∈ X x\in X x∈X有 f ( x ) ≤ K 1 f(x)\leq K_1 f(x)≤K1 ∃ K 2 \exist K_2 ∃K2使得任一 x ∈ X x\in X x∈X有 f ( x ) ≥ K 2 f(x)\geq K_2 f(x)≥K2。 取 K m a x { ∣ K 1 ∣ , ∣ K 2 ∣ } Kmax \lbrace \begin{vmatrix}K_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} K_2 \end{vmatrix} \rbrace Kmax{ K1 , K2 } 有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ K \begin{vmatrix}f(x) \end{vmatrix}\leq K f(x) ≤K ∴ f ( x ) \therefore f(x) ∴f(x)有界。 【证明】必要条件 ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)在 X X X上有界。 ∴ ∃ K 0 \therefore \exist K0 ∴∃K0使得对任一 x ∈ X x\in X x∈X$ \begin{vmatrix}f(x) \end{vmatrix}\leq K$都成立。 ∴ − K ≤ f ( x ) ≤ K \therefore -K\leq f(x) \leq K ∴−K≤f(x)≤K ∴ f ( x ) \therefore f(x) ∴f(x)在 X X X上既有上界又有下界。 综上命题得证。
2.11 【题目】 在下列各题中求由所给函数构成的复合函数并求这函数分别对应于给定自变量 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2的函数值。 【解答】 (1) y u 2 yu^2 yu2 u s i n x usinx usinx x 1 π 6 x_1\frac{\pi}{6} x16π x 2 π 3 x_2\frac{\pi}{3} x23π 复合函数为 y f ( x ) s i n 2 x yf(x)sin^2x yf(x)sin2x y 1 f ( x 1 ) f ( π 6 ) s i n 2 π 6 1 4 y_1f(x_1)f(\frac{\pi}{6})sin^2\frac{\pi}{6}\frac{1}{4} y1f(x1)f(6π)sin26π41 y 2 f ( x 2 ) f ( π 3 ) s i n 2 π 3 3 4 y_2f(x_2)f(\frac{\pi}{3})sin^2\frac{\pi}{3}\frac{3}{4} y2f(x2)f(3π)sin23π43 (2) y s i n u ysinu ysinu u 2 x u2x u2x x 1 π 8 x_1\frac{\pi}{8} x18π x 2 π 4 x_2\frac{\pi}{4} x24π 复合函数为 y f ( x ) s i n ( 2 x ) yf(x)sin(2x) yf(x)sin(2x) y 1 f ( x 1 ) s i n ( 2 ⋅ π 8 ) s i n π 4 2 2 y_1f(x_1)sin(2\cdot \frac{\pi}{8})sin\frac{\pi}{4}\frac{\sqrt{2}}{2} y1f(x1)sin(2⋅8π)sin4π22 y 2 f ( x 2 ) s i n ( 2 ⋅ π 4 ) s i n π 2 1 y_2f(x_2)sin(2\cdot \frac{\pi}{4})sin\frac{\pi}{2}1 y2f(x2)sin(2⋅4π)sin2π1 (3) y u y\sqrt{u} yu u 1 x 2 u1x^2 u1x2 x 1 1 x_11 x11 x 2 2 x_22 x22 复合函数为 y f ( x ) 1 x 2 yf(x)\sqrt{1x^2} yf(x)1x2 y 1 f ( x 1 ) 1 1 2 y_1f(x_1)\sqrt{11}\sqrt{2} y1f(x1)11 2 y 2 f ( x 2 ) 1 2 2 5 y_2f(x_2)\sqrt{12^2}\sqrt{5} y2f(x2)122 5 (4) y e u ye^u yeu u x 2 ux^2 ux2 x 1 0 x_10 x10 x 2 1 x_21 x21 复合函数为 y f ( x ) e x 2 yf(x)e^{x^2} yf(x)ex2 y 1 f ( x 1 ) e 0 1 y_1f(x_1)e^01 y1f(x1)e01 y 2 f ( x 2 ) e 1 e y_2f(x_2)e^1e y2f(x2)e1e (5) y u 2 yu^2 yu2 u e x ue^x uex x 1 2 x_12 x12 x 2 − 1 x_2-1 x2−1 复合函数为 y f ( x ) ( e x ) 2 e 2 x yf(x)(e^x)^2e^{2x} yf(x)(ex)2e2x y 1 f ( x 1 ) e 4 y_1f(x_1)e^4 y1f(x1)e4 y 2 f ( x 2 ) e − 2 y_2f(x_2)e^{-2} y2f(x2)e−2
2.12 【题目】 设 f ( x ) f(x) f(x)的定义域 D [ 0 , 1 ] D[0,1] D[0,1]求下列各函数的定义域。 【解答】 (1) f ( x 2 ) f(x^2) f(x2) ∵ 0 ≤ x 2 ≤ 1 \because 0\leq x^2 \leq 1 ∵0≤x2≤1 ∴ f ( x 2 ) \therefore f(x^2) ∴f(x2)的定义域为 { x ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 } \lbrace x| -1\leq x \leq 1\rbrace {x∣−1≤x≤1} (2) f ( s i n x ) f(sinx) f(sinx) ∵ 0 ≤ s i n x ≤ 1 \because 0\leq sinx \leq 1 ∵0≤sinx≤1 ∴ f ( s i n x ) \therefore f(sinx) ∴f(sinx)的定义域为 { x ∣ 2 k π ≤ x ≤ ( 2 k 1 ) π , k ∈ Z } \lbrace x| 2k\pi \leq x \leq (2k1)\pi, k\in Z\rbrace {x∣2kπ≤x≤(2k1)π,k∈Z} (3) f ( x a ) , ( a 0 ) f(xa),(a0) f(xa),(a0) ∵ 0 ≤ x a ≤ 1 \because 0\leq xa \leq 1 ∵0≤xa≤1 ∴ f ( x a ) \therefore f(xa) ∴f(xa)的定义域为 { x ∣ − a ≤ x ≤ 1 − a } \lbrace x|-a\leq x\leq 1-a \rbrace {x∣−a≤x≤1−a} (4) f ( x a ) f ( x − a ) , ( a 0 ) f(xa)f(x-a),(a0) f(xa)f(x−a),(a0) 由 { 0 ≤ x a ≤ 1 0 ≤ x − a ≤ 1 \begin{cases} 0 \leq xa \leq 1 \\ 0\leq x-a\leq 1\end{cases} {0≤xa≤10≤x−a≤1 得 − a ≤ x ≤ 1 − a -a\leq x \leq 1-a −a≤x≤1−a与 a ≤ x ≤ 1 a a\leq x \leq 1a a≤x≤1a同时成立。 ∵ a 0 \because a0 ∵a0 ∴ a − a \therefore a-a ∴a−a 当 a 1 − a a1-a a1−a即 a 1 2 a\frac{1}{2} a21时 f ( x a ) f ( x − a ) f(xa)f(x-a) f(xa)f(x−a)的定义域为 Φ \Phi Φ; 当 a ≤ 1 2 a\leq \frac{1}{2} a≤21时 f ( x a ) f ( x − a ) f(xa)f(x-a) f(xa)f(x−a)的定义域为 { x ∣ a ≤ x ≤ 1 − a } \lbrace x| a\leq x \leq 1-a \rbrace {x∣a≤x≤1−a}。
2.13 【题目】 设 f ( x ) { 1 , ∣ x ∣ 1 0 , ∣ x ∣ 1 , g ( x ) e x − 1 ∣ x ∣ 1 f(x)\begin{cases}1, \begin{vmatrix}x \end{vmatrix} 1 \\ 0, \begin{vmatrix} x\end{vmatrix}1 , \qquad g(x)e^x\\-1 \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}1 \end{cases} f(x)⎩ ⎨ ⎧1,0,−1 x 1 x 1,g(x)ex x 1求 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)]和 g [ f ( x ) ] g[f(x)] g[f(x)]。 【解答】 求 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)] 当 x 0 x0 x0时 0 g ( x ) ∣ g ( x ) ∣ 1 0g(x)\begin{vmatrix} g(x)\end{vmatrix}1 0g(x) g(x) 1 当 x 0 x0 x0时 g ( x ) ∣ g ( x ) ∣ 1 g(x)\begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}1 g(x) g(x) 1; 当 x 0 x0 x0时 g ( x ) ∣ g ( x ) ∣ 1 g(x)\begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}1 g(x) g(x) 1 可得 f [ g ( x ) ] { 1 , x 0 0 , x 0 − 1 , x 0 f[g(x)]\begin{cases} 1, x0\\ 0, x 0\\ -1, x0 \end{cases} f[g(x)]⎩ ⎨ ⎧1,0,−1,x0x0x0 求 g [ f ( x ) ] g[f(x)] g[f(x)] g [ f ( x ) ] { e , ∣ x ∣ 1 1 , ∣ x ∣ 1 1 e , ∣ x ∣ 1 g[f(x)]\begin{cases} e, \begin{vmatrix}x \end{vmatrix}1 \\ 1, \begin{vmatrix}x \end{vmatrix}1 \\ \frac{1}{e}, \begin{vmatrix}x \end{vmatrix}1 \end{cases} g[f(x)]⎩ ⎨ ⎧e,1,e1, x 1 x 1 x 1
2.14 【题目】 已知水渠的横断面为等腰梯形斜角 ϕ 40 ° \phi40\degree ϕ40°。当过水断面 A B C D ABCD ABCD得面积为 S 0 S_0 S0时求湿周 L ( L A B B C C D ) L(LABBCCD) L(LABBCCD)与水深 h h h之间的函数关系式并指明定义域。 【解答】 由等腰梯形图形关系可得 A B C D h / s i n 40 ° (1) ABCDh/sin40\degree \tag{1} ABCDh/sin40°(1) A D B C 2 ⋅ h / t a n 40 ° . (2) ADBC2\cdot h/tan40\degree. \tag{2} ADBC2⋅h/tan40°.(2)根据梯形面积计算公式得 S 0 h ⋅ ( A D B C ) / 2. (3) S_0h\cdot (ADBC)/2. \tag{3} S0h⋅(ADBC)/2.(3) 将 ( 2 ) (2) (2)式代入 ( 3 ) (3) (3)式得 S 0 h ⋅ ( B C 2 ⋅ h / t a n 40 ° B C ) / 2 h ⋅ B C h 2 / t a n 40 ° (4) \begin{aligned} S_0 h\cdot (BC2\cdot h/tan40\degree BC)/2\\h\cdot BCh^2/tan40\degree \end{aligned} \tag{4} S0h⋅(BC2⋅h/tan40°BC)/2h⋅BCh2/tan40°(4) 进一步转换得 B C S 0 − h 2 / t a n 40 ° h S 0 h − h t a n 40 ° . (5) BC\frac{S_0-h^2/tan40\degree}{h}\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40\degree}.\tag{5} BChS0−h2/tan40°hS0−tan40°h.(5) 综上湿周 L A B B C C D h s i n 40 ° S 0 h − h t a n 40 ° h s i n 40 ° S 0 h 2 − c o s 40 ° s i n 40 ° h \begin{aligned} L ABBCCD \\\frac{h}{sin40\degree} \frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40\degree}\frac{h}{sin40\degree} \\ \frac{S_0}{h}\frac{2-cos40\degree}{sin40\degree}h\end{aligned} LABBCCDsin40°hhS0−tan40°hsin40°hhS0sin40°2−cos40°h 由 B C S 0 h − h t a n 40 ° 0 BC\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40\degree}0 BChS0−tan40°h0得定义域 { h ∣ 0 h S 0 t a n 40 ° } \lbrace h|0 h\sqrt{S_0tan40\degree}\rbrace {h∣0hS0tan40° }。
2.15
【题目】 收音机每台售价为90元成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过100台以上的没多订购1台售价就降低1分但最低为每台75元。 (1) 将每台的实际售价 p p p表示为订购量 x x x的函数 (2) 将厂方所获的利润 P P P表示成订购量 x x x的函数 (3) 某一销售商订购了1000台厂方可获利润多少【解答(1)】 p ( x ) { 90 , 0 x ≤ 100 90 − x − 100 100 , 100 x ≤ 1600 75 , x 1600 p(x)\begin{cases} 90,0x\leq 100 \\ 90-\frac{x-100}{100},100x\leq 1600\\ 75, x 1600 \end{cases} p(x)⎩ ⎨ ⎧90,90−100x−100,75,0x≤100100x≤1600x1600【解答(2)】 P ( x ) { ( 90 − 60 ) x 30 x , 0 x ≤ 100 ( 90 − x − 100 100 − 60 ) x ( 31 − x 100 ) x , 100 x ≤ 1600 ( 75 − 60 ) x 15 x , x 1600 P(x)\begin{cases}(90-60)x30x,0x\leq 100 \\ (90-\frac{x-100}{100}-60)x(31-\frac{x}{100})x,100x\leq 1600 \\(75-60)x15x,x 1600 \end{cases} P(x)⎩ ⎨ ⎧(90−60)x30x,(90−100x−100−60)x(31−100x)x,(75−60)x15x,0x≤100100x≤1600x1600【解答(3)】 ( 31 − 1000 100 ) ⋅ 1000 21000 (31-\frac{1000}{100})\cdot 100021000 (31−1001000)⋅100021000元。
2.16
【题目】 利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。 年份人口数百万当年人口数与上一年人口数的比值19864936198750231.0176198851111.0175198952011.0176199053291.0246199154221.0175 【解答】 1987年至1991年间“当年人口数与上一年人口数的比值”以1.0175和1.0176为主故取两数的平均值1.0176为1992年以后各年份“当年人口数与上一年人口的比值”。1992年开始以后各年份的人口数计算公式为 y 5422 ⋅ 1.017 6 ( x − 1991 ) y5422\cdot 1.0176^{(x-1991)} y5422⋅1.0176(x−1991)。式中 x x x为年份数 y y y为 x x x年的人口数。2010年的人口数为 5422 ⋅ 1.017 6 ( 2010 − 1991 ) 5422 ⋅ 1.017 6 1 9 ≈ 7553 5422\cdot 1.0176^{(2010-1991)}5422\cdot 1.0176^19 \approx 7553 5422⋅1.0176(2010−1991)5422⋅1.017619≈7553百万约76亿。 【学习资料】 《高等数学第六版》 上册同济大学数学系 编
