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C代码例程函数计算实现 线性代数方程解全旋转高斯-乔丹消元LU分解前向替换和后向替换对角矩阵处理任意矩阵奇异值分解稀疏线性系统循环三对角系统解将矩阵从完整存储模式转换为行索引稀疏存储模式稀疏系统的共轭梯度法范德蒙矩阵托普利茨矩阵QR分解。插值和外推多项式有理函数三次样条插值多项式的系数双三次插值。数值积分龙伯格积分第二个欧拉-麦克劳林求和高斯求积和正交多项式高斯-埃尔米特求积高斯-雅可比求积一元正交多项式。评估函数欧拉变换加速序列收敛连续分数的综合除法多项式Ridders 多项式外推法切比雪夫多项式切比雪夫系数多项式近似帕德近似值有理切比雪夫近似。特殊函数对数伽马函数指数积分使用连续分数评估计算贝塔函数整数阶贝塞尔函数艾里函数球面贝塞尔函数球谐函数菲涅尔积分余弦和正弦积分道森积分椭圆积分和雅可比椭圆函数随机数最高质量随机数生成高质量哈希值生成滞后斐波那契生成器生成指数偏差和逻辑偏差Box-Muller 变换正态偏差柯西偏差均匀比方法伽玛偏差泊松偏差二项式偏差多元正态偏差蒙特卡洛积分应用索博尔序列VEGAS算法。非线性方程集最小最大函数快速傅里叶变换统计数据描述数据模型分类和推理常微分方程积分两点边界值问题积分方程和反演理论偏微分方程计算几何算法。
C/C代码蒙特卡洛积分示例
对于光子学、经济学、视频游戏开发和工程学等许多依赖数值的领域来说求解复杂积分是必需的。 I ∫ a b g ( x ) d x I\int_a^b g(x) d x I∫abg(x)dx 许多有趣的问题都无法通过分析求解积分因此必须应用替代数值方法来找到适当的估计。 值得注意的是通过应用数值方法例如蒙特卡洛积分我们并不是“求解”积分而是对积分值进行适当的估计。 对于许多应用来说这种差异可以忽略不计但应牢记这种区别特别是在考虑当前问题所需的准确度时。
“蒙特卡洛方法”的现代变体可以追溯到 20 世纪 40 年代的洛斯阿拉莫斯实验室该实验室最初开发该方法是为了帮助模拟核裂变过程特别是模拟裂变材料中中子的平均自由程 。 我们没有确定地解决中子的扩散路径而是应用了统计采样方法而且效果非常好。 从那时起“蒙特卡罗方法”一词根据其应用领域的不同而具有广泛的含义。 然而蒙特卡罗的所有应用都有一个共同的基本原理即使用统计采样来解决确定性难以解决的问题。
蒙特卡罗积分器
首先我们可以使用蒙特卡罗检查积分的期望值。 传统上函数 g(x) 的期望值可以通过首先乘以其概率密度函数 f(x)然后在所需区域上进行积分来计算 E [ g ( x ) ] ∫ a b g ( x ) f ( x ) d x E[g(x)]\int_a^b g(x) f(x) d x E[g(x)]∫abg(x)f(x)dx 或者我们可以通过对积分极限之间的均匀分布重复采样来使用蒙特卡罗近似来获得期望值。 E [ g ( x ) ] 1 n ∑ i 1 n f ( x i ) E[g(x)]\frac{1}{n} \sum_{i1}^n f\left(x_i\right) E[g(x)]n1i1∑nf(xi) 其中 x i ∈ [ a , b ] x_i \in[a, b] xi∈[a,b]。
如前所述 x i x i xi 是从每个唯一 n 1 , 2 , 3 n1,2,3 n1,2,3 等的限制 a a a 和 b b b 之间的均匀分布中采样的值。这种方法对 f ( x ) 进行采样 f(x) 进行采样 f(x)进行采样 函数并使用大数定律来找到收敛的期望值。
乘法因子 1 / n 1 / n 1/n 有时给出为 1 / ( n − 1 ) 1 /(n-1) 1/(n−1) 因为 n n n 个样本确实有 n − 1 n-1 n−1 个自由度但是当 n n n 很大时 1 / n 1 / n 1/n 和 1 / ( n − 1 ) 1 /(n-1) 1/(n−1) 之间的差异可以忽略不计。给定期望值估计量的形式扩展到积分的估计很简单。期望值公式乘以积分限制的范围如下所示。 F ( b − a ) 1 n ∑ i 1 n f ( x i ) F(b-a) \frac{1}{n} \sum_{i1}^n f\left(x_i\right) F(b−a)n1i1∑nf(xi) 其中 x i ∈ [ a , b ] x_i \in[a, b] xi∈[a,b]。
积分估计使用期望值估计器以及由积分限制确定的矩形宽度来查找积分面积/体积的近似值。我们可以用一个相对简单的例子来测试它取积分 ∫ 1 5 x 4 e − x d x \int_1^5 x^4 e^{-x} d x ∫15x4e−xdx 我们可以编写一个简短的 C 程序来应用蒙特卡罗积分技术样本大小为 n 200。
#include iostream
#include cstdlib
#include cmathdouble myFunction(double x);
double monteCarloEstimate(double lowBound, double upBound, int iterations);int main()
{double lowerBound, upperBound;int iterations;lowerBound 1;upperBound 5;iterations 200;double estimate monteCarloEstimate(lowerBound, upperBound,iterations);printf(Estimate for %.1f - %.1f is %.2f, (%i iterations)\n,lowerBound, upperBound, estimate, iterations);return 0;
}double myFunction(double x)
//Function to integrate
{return pow(x,4)*exp(-x);
}double monteCarloEstimate(double lowBound, double upBound, int iterations)
{double totalSum 0;double randNum, functionVal;int iter 0;while (iteriterations-1){randNum lowBound (float(rand())/RAND_MAX) * (upBound-lowBound);functionVal myFunction(randNum);totalSum functionVal;iter;}double estimate (upBound-lowBound)*totalSum/iterations;return estimate;
}
它应该打印一些接近于
Estimate for 1.0 - 5.0 is 13.28, (200 iterations)我们必须考虑蒙特卡罗积分技术隐含的方差。蒙特卡罗积分方案的方差遵循计算某个随机变量方差的传统过程。如果我们继续前面对函数 g ( x ) g(x) g(x) 求积分的表示法则 g ( x ) g(x) g(x) 积分期望值的方差可以给出。为了简洁起见我将跳过蒙特卡罗积分方案固有的标准差关系的推导。如果我们继续采用对函数 g ( x ) g(x) g(x) 进行积分的表示法并且积分的期望值为 E [ g ( x ) ] E[g(x)] E[g(x)]则标准差的关系可以给出为 σ n V E [ g ( x ) 2 ] − E [ g ( x ) ] 2 n − 1 \sigma_nV \sqrt{\frac{E\left[g(x)^2\right]-E[g(x)]^2}{n-1}} σnVn−1E[g(x)2]−E[g(x)]2
参阅一计算思维
参阅二亚图跨际
