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D题 NBA是否有必要设立四分线
原题再现 NBA 联盟从 1946 年成立到今天#xff0c;一路上经历过无数次规则上的变迁。有顺应民意、皆大欢喜的#xff0c;比如 1973 年在技术统计中增加了抢断和盖帽数据#xff1b;有应运而生、力挽狂澜的一路上经历过无数次规则上的变迁。有顺应民意、皆大欢喜的比如 1973 年在技术统计中增加了抢断和盖帽数据有应运而生、力挽狂澜的比如 1954 年引入 24 秒进攻时限有因人废事、“打击迫害”的比如为了限制麦肯将三秒区宽度从 6 英尺扩大到 12 英尺又为了限制张伯伦进一步扩大到 16 英尺有步步为营、小心翼翼的比如 2004年在 NBDL 试行所有投篮只算两分直至第四节最后 5 分钟和加时赛才启用三分球规则也有弄巧成拙、朝令夕改的比如 1953 年曾规定每队每名球员单节只能犯规两次第三次犯规就被罚出场实施不久之后就不了了之……本质上NBA 是一个以盈利为目的的商业联赛为了最大限度地提升比赛观赏性保证球迷们心甘情愿地掏钱买票修改现有规则或设立新的规则都是可能的。 79-80 赛季NBA 开始实验性的引入三分球制当时的原则是“仅限于常规赛使用”。而在 80-81 赛季NBA 正式全面引入三分线。目前NBA 三分线的最远处距离篮筐是 7.25 米。值得注意的是 NBA 曾在 94-95 赛季将三分线距离缩短为 6.70 米距离变短后人人都能投三分很难反映出球员的远投能力所以 97-98 赛季NBA 又将三分线距离改回原来的 7.25 米。 四分线的推出能更全面反映出 1 名射手的远投能力。2015-2016 赛季在28-32 英尺8.53-9.75 米之间投篮最准的是快船队的贾马尔·克劳福德总共 23 次出手命中 14 球命中率高达 60.9%。排在第 2 位的是湖人队的肯道尔·马绍尔23 投 11 中命中率为 47.8%。勇士队的斯蒂芬·库里则以 38.1%21 投 8 中的命中率位列第 3 位。NBA 一旦引入四分球制度投手的春天将就此到来。那些震撼联盟的神射手们又多了一项致命的武器。此外四分球拉开空间之后会让内线球员的防守压力变得更小篮下的肉搏变得更少更有利于内线的大个子们保持自己的健康。 第一阶段问题 1. 请建立合理的数学模型量化评估 NBA 是否应该引入四分线。 2. 如果让你负责设计四分线所在的位置提出一个较为合理的方案。
整体求解过程概述(摘要) 本文针对 NBA 是否建立四分线的问题进行了模型研究以 NBA 盈利效益最大化为目标函数并运用多种求解方法对模型进行求解并得到合理的四分线所在位置方案。 问题一对于题中是否引入四分线我们首先利用数据分析法发现四分球是衡量一支球队进攻能力强弱的重要指标之一。其次进一步举例阐述 NBA 明显在 28 至 32 英尺地带的投篮情况数据转化后证明四分球比三分球收益有较大优势最后利用层次分析法进一步验证引入四分线的必要。 问题二为了更准确地确定四分线的位置我们建立简单的物理模型。在 28-32 英尺8.53-9.75 米之间划分为五个距离区间通过分析不同投篮区间情况下投篮命中率来预测设立四分线的最佳位置方案。从出手角度出手速度出手高度之间的关系等方面综合考虑。建立 XOY 坐标系求出四分线所在弧线轨迹。 最后我们就 MATLAB 拟合曲线及其对应的残差图得出较为合理的四分线的位置并画图说明。
问题分析 现如今NBA 比赛的走势瞬息万变球员为了赢得比赛往往会选用分值较高的三分球来扩大或缩小分差。尤其是今年的勇士队斯蒂芬·库里就是忠实的三分爱好者你可以经常看到他投出远在接近半场或者球员通道的“三分球”。 显然当三分球逐渐成为 NBA 比赛的主流越来越多的球员愿意在三分线外甚至离三分线还有一段距离就出手那么是不是应该在比赛中设立四分球规则熟悉篮球的人会知道在现在的比赛中进攻方只会故意拖延时间而其他球员则只懂站在篮下搏斗而非尝试去得分。有时候短短一分钟的比赛可以被拉长到十分钟这令比赛变得乏味。而且联盟的平均身高也在不断上升1952 年时球员平均身高为 1.93 米体重为 195磅。现在NBA 球员的平均尺寸约 2.01 米体重为 219 磅。可见现在的球员比引入三分线前更高大、更强壮、更敏捷。 通过用数值分析法我们仔细地研究了 NBA 近十年五支球队图 1三分命中率发现实力各不相同的球队三分球命中率变化幅度不大这样就无法显示出球队的远投能力。 设立四分线的目的很纯粹就是让球员更好地发挥他们的天赋并且增加球赛的观赏性使 NBA 的总盈利达到最大化。
模型假设 1.假设远投手不受非比赛因素的影响。 2.假设投手的体能投三分和投四分基本无变化。 3.假设投手不受投篮姿势的影响。
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部分程序代码(代码和文档not free)
1.分析法当中的求解矩阵特征MATLAB 程序
clear all;
A[1 7 2 3;1/7 1 2/5 1/2;1/2 5/2 1 3/7;1/3 2 7/3 1];
deig(A)
d
0.83332.4438i
0.8333-2.4438i
[V,D]eig(A)
2. v 为最小出手速度,MATLAB 求解代码如下
function vfun(h);
H3.05;
g9.8;
L8.53
vsqrt(g*[H-hsqrt(L^2(H-h)^2)]);
fun(2.0)
ans
9.722
fun(2.1)
ans
9.665
fun(2.2)
ans
9.609
3. 对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度MATLAB 求解代码如下
function ffun1(v);
L8.53;
H3.05;
g9.8;
h1.8;
tv^2/(g*L)*(1sqrt(1-2*g/v^2*(H-hg*L^2/(2*v^2))));
fatan(t)/pi*180;
fun1(8.0)
ans
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