旅游网站模板 手机,产品开发流程8个步骤的总结,个体户做网站与公司好,wordpress微信小程序插件文章目录 引言三、常见的随机变量及其分布3.1 常见的离散型随机变量及其分布律#xff08;一#xff09;#xff08;0-1#xff09;分布#xff08;二#xff09;二项分布#xff08;三#xff09;泊松分布#xff08;四#xff09;几何分布#xff08;五#xff0… 文章目录 引言三、常见的随机变量及其分布3.1 常见的离散型随机变量及其分布律一0-1分布二二项分布三泊松分布四几何分布五超几何分布 3.2 常见的连续型随机变量及其概率密度一均匀分布二指数分布三正态分布 四、随机变量函数的分布一离散型随机变量函数的分布二连续型随机变量函数的分布 引言
承接前文我们继续学习第二章一维随机变量及其分布的第二部分内容。 三、常见的随机变量及其分布
3.1 常见的离散型随机变量及其分布律
一0-1分布
设随机变量 X X X 的可能取值为 0 或 1 且其概率为 P P P { X 1 X1 X1 } p , p, p, P P P { X 0 X0 X0 } 1 − p ( 0 p 1 1-p(0 p 1 1−p(0p1 称 X X X 服从0-1分布记为 X ∼ B ( 1 , p ) . X \sim B(1,p). X∼B(1,p).
二二项分布
设随机变量 X X X 的分布律为 P P P { X k Xk Xk } C n k p k ( 1 − p ) n − k C_n^kp^k(1-p)^{n-k} Cnkpk(1−p)n−k 其中 k 0 , 1 , 2 , … , n , 0 p 1 , k0,1,2,\dots,n,0 p 1, k0,1,2,…,n,0p1, 称随机变量 X X X 服从二项分布记为 X ∼ B ( n , p ) . X \sim B(n,p). X∼B(n,p). 回忆一下第一章的伯努利概型也是二项分布。 三泊松分布
设离散型随机变量 X X X 的分布律为 P { X k } λ k k ! e − λ , P\{Xk\}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, P{Xk}k!λke−λ, 其中 λ 0 , k 0 , 1 , 2 , … , n , \lambda 0,k0,1,2,\dots,n, λ0,k0,1,2,…,n, 称随机变量 X X X 服从参数为 λ \lambda λ 的泊松分布记为 X ∼ P ( λ ) . X \sim P(\lambda). X∼P(λ).
四几何分布
设离散型随机变量 X X X 的分布律为 P { X k } p ( 1 − p ) k − 1 , P\{Xk\}p(1-p)^{k-1}, P{Xk}p(1−p)k−1, 其中 k 1 , 2 , … , n , k1,2,\dots,n, k1,2,…,n, 称随机变量 X X X 服从几何分布记为 X ∼ G ( p ) . X \sim G(p). X∼G(p). 服从几何分布的随机变量 X X X 可以这么理解设伯努利试验中只有两种结果 A , A ‾ , P ( A ) p A,\overline{A},P(A)p A,A,P(A)p 则 X X X 表示伯努利试验中 A A A 首次发生时的试验次数。 比如 X 2 X2 X2 表示试验做了两次才第一次发生也就是第一次试验没发生第二次试验发生 X n Xn Xn 表示前 n − 1 n-1 n−1 次试验没发生第 n n n 次试验发生。这样就好理解了公式也一下就记得住。 五超几何分布
设离散型随机变量 X X X 的分布律为 P { X k } C M k ⋅ C N − M n − k C N n , P\{Xk\}\frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}, P{Xk}CNnCMk⋅CN−Mn−k, 其中 M , N , k , n M,N,k,n M,N,k,n 为自然数且 M ≤ N , m a x { N − M , 0 } ≤ k ≤ m i n { M , n } , n ≤ N M \leq N,max\{N-M,0\} \leq k \leq min\{M,n\},n \leq N M≤N,max{N−M,0}≤k≤min{M,n},n≤N 称随机变量 X X X 服从超几何分布记为 X ∼ H ( n , M , N ) . X \sim H(n,M,N). X∼H(n,M,N).
3.2 常见的连续型随机变量及其概率密度
一均匀分布
设随机变量 X X X 的概率密度为 f ( x ) { 1 b − a , a ≤ x ≤ b 0 , e l s e , f(x) \begin{cases} \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b \\ 0, else \\ \end{cases}, f(x){b−a1,0,a≤x≤belse, 称随机变量 X X X 在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内服从均匀分布记为 X ∼ U ( a , b ) . X \sim U(a,b). X∼U(a,b). 若随机变量 X ∼ U ( a , b ) X \sim U(a,b) X∼U(a,b)则其分布函数为 F ( x ) { 0 , x a x − a b − a , a ≤ x ≤ b 1 , x ≥ b F(x)\begin{cases} 0, x a \\ \frac{x-a}{b-a}, a \leq x \leq b \\ 1, x \geq b\\ \end{cases} F(x)⎩ ⎨ ⎧0,b−ax−a,1,xaa≤x≤bx≥b 二指数分布
设随机变量 X X X 的概率密度为 f ( x ) { λ e − λ x x 0 0 , x ≤ 0 ( λ 0 ) f(x) \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} x 0 \\ 0, x \leq 0 \\ \end{cases}(\lambda 0) f(x){λe−λx0,x0x≤0(λ0) 称随机变量 X X X 服从参数为 λ \lambda λ 的指数分布记为 X ∼ E ( λ ) . X \sim E(\lambda). X∼E(λ). 若随机变量 X ∼ E ( λ ) X \sim E(\lambda) X∼E(λ)则其分布函数为 F ( x ) { 1 − e − λ x , x ≥ 0 0 , x 0 F(x)\begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, x \geq 0 \\ 0, x 0\\ \end{cases} F(x){1−e−λx,0,x≥0x0 三正态分布
设随机变量 X X X 的概率密度为 f ( x ) 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ x ∞ ) , f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}(-\infty x \infty), f(x)2π σ1e−2σ2(x−μ)2(−∞x∞), 称随机变量 X X X 服从正态分布记为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)其概率密度函数如下图所示 特别地若 μ 0 , σ 1 \mu 0,\sigma1 μ0,σ1 称随机变量 X X X 服从标准正态分布记为 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0,1) X∼N(0,1) 其概率密度为 φ ( x ) 1 2 π e − x 2 2 ( − ∞ x ∞ ) , \varphi(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}(-\infty x \infty), φ(x)2π 1e−2x2(−∞x∞), 其概率密度函数如下图所示 分布函数为 Φ ( x ) ∫ − ∞ x φ ( t ) d t . \varPhi(x)\int_{-\infty}^x\varphi(t)dt. Φ(x)∫−∞xφ(t)dt. 正态分布具有如下性质
1若 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0,1) X∼N(0,1) 则其概率密度函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 为偶函数且 P { X ≤ 0 } Φ ( 0 ) 0.5 , P\{X \leq 0 \}\varPhi(0)0.5, P{X≤0}Φ(0)0.5, P { X ≤ − a } Φ ( − a ) P { X a } 1 − Φ ( a ) . P\{X \leq-a\}\varPhi(-a)P\{X a\}1-\varPhi(a). P{X≤−a}Φ(−a)P{Xa}1−Φ(a). 2若随机变量 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) 则 P { X ≤ μ } P { X μ } 0.5 , P\{X \leq \mu\}P\{X \mu\}0.5, P{X≤μ}P{Xμ}0.5, 即正态分布的密度函数的图像关于 x μ x\mu xμ 对称。
3若随机变量 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) 则 X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) . \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1). σX−μ∼N(0,1).
4若随机变量 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) 则 P { a X ≤ b } F ( b ) − F ( a ) Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) . P\{a X \leq b\}F(b)-F(a)\varPhi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\varPhi(\frac{a-\mu}{\sigma}). P{aX≤b}F(b)−F(a)Φ(σb−μ)−Φ(σa−μ). 5 Φ ( a ) Φ ( b ) { 1 , a b 0 1 , a b 0 1 , a b 0 \varPhi(a)\varPhi(b)\begin{cases} 1, ab 0 \\ 1, ab 0\\ \ 1 , ab 0\\ \end{cases} Φ(a)Φ(b)⎩ ⎨ ⎧1,1, 1,ab0ab0ab0 四、随机变量函数的分布
设 X X X 为随机变量其分布已知称 Y φ ( X ) Y\varphi(X) Yφ(X) 为随机变量 X X X 的函数研究随机变量 Y Y Y 的分布及随机变量函数的分布。
一离散型随机变量函数的分布
设 X X X 为随机变量 Y φ ( X ) Y\varphi(X) Yφ(X) 只要根据 X X X 的可能取值及概率求出 Y Y Y 的可能取值及概率即可得到 Y Y Y 的分布律。
二连续型随机变量函数的分布
设 X X X 为连续型随机变量其概率密度为 f ( x ) f(x) f(x) 又 Y φ ( x ) Y\varphi(x) Yφ(x) 求随机变量 Y Y Y 的分布时先求 Y Y Y 的分布函数 P { Y ≤ y } P { φ ( X ) ≤ y } , P\{Y \leq y\}P\{\varphi(X) \leq y\}, P{Y≤y}P{φ(X)≤y}, 再通过 X X X 的分布求出 Y Y Y 的分布。
