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点、向量和坐标系 三维空间由3个轴组成 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍 【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM 本章将介绍视觉SLAM的基本问题之一如何描述刚体在三维空间中的运动 旋转矩阵
点、向量和坐标系 三维空间由3个轴组成所以一个空间点的位置可以由3个坐标指定。而刚体它不光有位置还有自身的姿态。举个例子相机也可以看成三维空间的刚体于是位置是指相机在空间中的哪个地方而姿态则是指相机的朝向合起来称为位姿。 点 点是空间中的基本元素没有长度没有体积。
向量 把两个点连接起来就构成了向量。向量可以看成从某点指向另一点的一个箭头。不要把向量与它的坐标两个概念混淆。一个向量是空间当中的一样东西并不需要和若干个实数相关联的。只有当我们指定这个三维空间中的某个坐标系时才可以谈论该向量在此坐标系下的坐标也就是找到若干个实数对应这个向量。简单来讲向量本身就是一个东西如果把它放在一个坐标系中这个向量才有了对应于这个坐标系的坐标。
用线性代数的知识来说三维空间中的某个点的坐标也可以用线性空间R^3来描述。假设在这个线性空间内有该空间的一组基 或者说基底(e1,e2,e3)基就是张成这个空间的一组线性相关的向量那么任意向量a在这组基下就有一个坐标这里 (a1,a2,a3)T 称为a在此基下的坐标。公式如下 坐标的具体取值一是和向量本身有关二是和坐标系基的选取有关。坐标系通常由3个正交的坐标轴组成非正交的很少见。通常使用右手系给定x和y轴时z 轴就可以通过右手法则由x × y定义出来。左手系的第3个轴与右手系的方向相反。
向量内积 可以描述向量间的投影关系 其中a,b指向量a,b的夹角。
向量外积
外积的结果是一个向量它的方向垂直于这两个向量大小为 |a||b|sin〈a,b〉是两个向量张成的四边形的有向面积。 对于外积运算我们引入∧符号把a写成一个矩阵事实上是一个反对称矩阵Skew-symmetric matrix反对称矩阵A满足AT -A。你可以将∧记成一个反对称符号。这样就把外积a × b写成了矩阵与向量的乘法a∧b把它变成了线性运算。这意味着任意向量都对应着唯一的一个反对称矩阵反之亦然 向量和加减法、内外积即使在不谈论它们的坐标时也可以计算。例如虽然内积在有坐标时可以用两个向量的分量乘积之和表达但是即使不知道它们的坐标时也可以通过长度和夹角来计算二者的内积。所以两个向量的内积结果和坐标系的选取是无关的。
坐标系间的欧式变换
考虑运动的机器人常见的做法是设定一个惯性坐标系或者叫世界坐标系可以认为它是固定不动的。相机或机器人则是一个移动坐标系。相机视野中某个向量p它在相机坐标系下的坐标为pc而在世界坐标系下看它的坐标为pw。如果要实现这两个坐标之间的转换需要先得到该点针对机器人坐标系的坐标值再根据机器人位姿变换到世界坐标系中。我们需要一种数学手段来描述这个变换关系。
两个坐标系之间的运动由一个旋转加上一个平移组成这种运动称为刚体运动。相机运动就是一个刚体运动。刚体运动过程中同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化只可能有空间位置和姿态的不同。此时我们说刚体坐标系到世界坐标之间相差了一个欧氏变换Euclidean Transform。 欧氏变换由旋转和平移组成。首先考虑旋转设某个单位正交基 (e1, e2, e3) 经过一次旋转变成了 (e1’, e2’, e3’) 那么对于同一个向量 a该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动它在两个坐标系下的坐标为[a1, a2, a3]T和[a1’, a2’, a3’]T。因为向量本身没变根据坐标的定义有 为了描述两个坐标之间的关系我们对上述等式的左右两边同时左乘 那么左边的系数就变成了单位矩阵把中间的矩阵拿出来定义成一个矩阵R 这个矩阵由两组基之间的内积组成刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。只要旋转是一样的那么这个矩阵也是一样的。可以说矩阵R描述了旋转本身。因此称为旋转矩阵Rotation matrix。该矩阵各分量是两个坐标系基的内积由于基向量的长度为1所以实际上是各基向量的夹角之余弦。所以这个矩阵也叫方向余弦矩阵Direction Cosine matrix。
旋转矩阵有一些特别的性质。它是一个行列式为1的正交矩阵。反之行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。以把 n 维旋转矩阵的集合定义如下 SO(n) 是特殊正交群Special Orthogonal Group的意思。这个集合由n维空间的旋转矩阵组成特别地SO(3) 就是指三维空间的旋转。通过旋转矩阵我们可以直接谈论两个坐标系之间的旋转变换而不用再从基开始谈起。
由于旋转矩阵为正交矩阵它的逆即转置描述了一个相反的旋转 在欧氏变换中除了旋转之外还有平移。考虑世界坐标系中的向量a经过一次旋转用R描述和一次平移t后得到了a′把旋转和平移合到一起有
t称为平移向量。平移部分只需把平移向量加到旋转之后的坐标上。
通过上式我们用一个旋转矩阵R和一个平移向量t完整地描述了一个欧氏空间的坐标变换关系。定义坐标系1、坐标系2那么向量a在两个系下坐标为 a1, a2它们之间的关系应该是 R12 是指把坐标系2的向量变换到坐标系1中。同理如果我们要表达从1到2的旋转矩阵时就写成R21。关于平移t12实际对应的是坐标系1原点指向坐标系2原点的向量在坐标系1下取的坐标把它记作从1到2的向量。但是反过来的t21即从2指向1的向量在坐标系2下的坐标并不等于−t12这里和两个系的旋转还有关系。从向量层面来看它们确实是反向的关系但这两个向量的坐标值并不是相反数。
变换矩阵与齐次坐标
上面的变换关系并非一个线性关系一旦变换多次就会非常繁杂。所以我们引入齐次坐标和变换矩阵 这是一个数学技巧我们在一个三维向量的末尾添加 1将其变成了四维向量称为齐次坐标。对于这个四维向量我们可以把旋转和平移写在一个矩阵里面使得整个关系变成线性关系。该式中矩阵T称为变换矩阵Transform Matrix。
我们暂时用ã表示a的齐次坐标。那么依靠齐次坐标和变换矩阵两次变换的叠加就可以有很好的形式 但是懒得区分齐次和非齐次的符号了所以在不引起歧义的情况下我们就直接把它写成bTa的样子默认其中进行了齐次坐标的转换。要注意的是不进行齐次坐标转换时这边的乘法在矩阵维度上是不成立的。
变换矩阵T具有比较特别的结构左上角为旋转矩阵右侧为平移向量左下角为0 向量右下角为 1。这种矩阵又称为特殊欧氏群Special Euclidean Group 与 SO(3) 一样求解该矩阵的逆表示一个反向的变换 同样我们用T12 这样的写法来表示从2到1的变换。
总结
首先介绍了向量及其坐标表示并介绍了向量间的运算然后坐标系之间的运动由欧氏变换描述它由平移和旋转组成。旋转可以由旋转矩阵 SO(3) 描述而平移直接由一个R^3向量描述。最后如果将平移和旋转放在一个矩阵中就形成了变换矩阵 SE(3)。
