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当大家面临着复杂的数学建模问题时#xff0c;你是否曾经感到茫然无措#xff1f;作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主#xff0c;我为大家提供了一套优秀的解题思路#xff0c;让你轻松应对各种难题。 让我们一起看看研赛的F题呀#xff01;全文都已…F题代码思路
当大家面临着复杂的数学建模问题时你是否曾经感到茫然无措作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主我为大家提供了一套优秀的解题思路让你轻松应对各种难题。 让我们一起看看研赛的F题呀全文都已放出哦~
问题重述
1.如何利用双偏振雷达的数据有效改进强对流降水的短临预报?要求建立可以提取双偏振雷达数据中的微物理特征信息的模型,进行0-1小时的降水预报。 2.当前一些数据驱动模型存在“回归到均值”的问题,生成的强降水预报往往过于模糊。要求在问题1的基础上,设计模型以生成更真实、更丰富细节的降水预报结果。 3.要求利用雷达反射率Z_H和差分反射率Z_DR,建立模型进行定量降水估计,即利用这两个变量预测降水量。 4.要求设计模型来评估双偏振雷达数据对强降水预报的贡献,并通过优化数据融合策略,与其他数据源集成,以提高强降水检测与预报的准确性。
问题一
1.输入输出设计 输入: X X t − 9 , . . . , X t XXt−9 ,...,Xt XXt−9,...,Xt 其中 X t ∈ R H × W × C Xt ∈RH×W×C Xt∈RH×W×C表示时刻t的雷达图像,H、W为高度和宽度,C为通道数。 输出: Y Y t 1 , . . . , Y t 10 Y^Y^t1,...,Y^t10 YYt1,...,Yt10 其中 Y t ∈ R H × W Y^t ∈RH×W Yt∈RH×W表示时刻t的预测 Z H Z_H ZH。 2.卷积特征提取 使用卷积层提取输入的局部特征: F f ( [ X ; Θ f ] Ff([X;Θf ] Ff([X;Θf]) 其中f表示卷积运算, Θ f \Theta_f Θf为卷积层参数。 3.卷积LSTM建模时空相关性
4.转置卷积上采样 Y f T ( [ H ; Θ T ] ) Y^fT([H;ΘT ]) YfT([H;ΘT]) 其中 f T f^T fT表示转置卷积,H为卷积LSTM输出特征, Θ T \Theta_{T} ΘT为转置卷积参数。 5.损失函数设计
代码
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.layers import ConvLSTM2D, Conv2D, Conv2DTranspose# 输入层
inputs tf.keras.Input(shape(10, 128, 128, 3)) # 卷积层提取特征
x Conv2D(filters64, kernel_size3, activationrelu)(inputs)
x MaxPooling2D((2, 2))(x)
from tensorflow.keras.layers import ConvLSTM2D, Conv2D, Conv2DTranspose, Attention
from tensorflow.keras import Modelinputs Input(shape(10, 128, 128, 3))# 第一层卷积
x Conv2D(64, 3, paddingsame, activationrelu)(inputs) # 第二层卷积
x Conv2D(64, 3, paddingsame, activationrelu)(x)# 第一层卷积LSTM
x ConvLSTM2D(64, 3, paddingsame, return_sequencesTrue)(x)# 第二层卷积LSTM
x ConvLSTM2D(64, 3, paddingsame, return_sequencesTrue)(x)# 注意力机制# 利用一个Dense层学习注意力权重
attn_layer Dense(units64, activationtanh)(x) # 计算注意力权重
attn_weights Dense(units10, activationsoftmax)(attn_layer)# 尺度注意力权重
attn_weights Reshape((10, 1, 1, 1))(attn_weights) # 计算注意力输出
attn_output Multiply()([x, attn_weights])# 转置卷积上采样 # 第1层转置卷积
x Conv2DTranspose(filters64, kernel_size3, strides2, paddingsame)(attn_output)# 第2层转置卷积
x Conv2DTranspose(filters32, kernel_size3, strides2, paddingsame)(x) # 第3层转置卷积
x Conv2DTranspose(filters1, kernel_size3, strides2, paddingsame)(x)# 构建Model
model Model(inputs, x)# 编译与训练
model.compile(lossmae, optimizeradam)
model.fit(X_train, y_train, epochs10) # 预测
y_pred model.predict(X_test)# 编译与训练
model.compile(lossmae, optimizeradam)
model.fit(X_train, y_train, epochs10)# 预测
y_pred model.predict(X_test) 问题二
1.构建multi-scale的预报模型 在卷积LSTM模型中,同时预测不同尺度的Z_H:·低分辨率Z_H:反映大尺度的降水格局 ·高分辨率Z_H:反映小尺度的降水细节2.加入先验约束 根据气象知识,加入对强降水的先验约束,例如:·强降水具有聚集性 ·细胞运动遵循流场 ·生命期分不同发展阶段 可以将这些先验知识以约束条件加入模型。 3.模型集成 使用多个不同的模型,对其各自的预报结果进行融合。 4.数据增强 通过旋转、翻转、添加噪声等来增强训练数据,提高模型的鲁棒性。 5.模型和训练策略优化 改进模型结构,调整损失函数,优化训练超参等。
from tensorflow.keras.layers import Input, ConvLSTM2D, UpSampling2D
from tensorflow.keras.models import Modelinputs Input(shape(10, 128, 128, 1))# 低分辨率预测分支x1 ConvLSTM2D(filters32, kernel_size3, paddingsame, return_sequencesTrue)(inputs)
x1 BatchNormalization()(x1) # 加入BN层
x1 ConvLSTM2D(filters32, kernel_size3, paddingsame)(x1)
x1 Conv2D(filters1, kernel_size1, paddingsame)(x1)# 高分辨率预测分支 x2 ConvLSTM2D(filters64, kernel_size3, paddingsame, return_sequencesTrue)(inputs)
x2 BatchNormalization()(x2)
x2 ConvLSTM2D(filters64, kernel_size3, paddingsame)(x2)
x2 UpSampling2D(size(2,2))(x2) # 双线性插值上采样
x2 Conv2D(filters1, kernel_size1, paddingsame)(x2)# 合并不同尺度merged Add()([x1, x2])
merged BatchNormalization()(merged) # BN层融合不同分支# 编译与训练
model.compile(lossmse, optimizeradam) 问题三
思路 1.输入输出设计 输入:雷达反射率 Z H Z_H ZH 和 差分反射率 Z D R Z_DR ZDR输出:预测降水量R 2.建立Z-R关系 R a ∗ Z H b ∗ Z D R c R a * Z_H^b * Z_DR^c Ra∗ZHb∗ZDRc其中a,b,c为经验参数。 将问题转换为确定这三个参数。 3.参数确定 收集观测数据:从多个地区和多种降水类型收集大量三元组数据(Z_H, Z_DR, R)。 数据预处理:去除误差较大的样本,检查数据质量。标准化Z_H和Z_DR。 拟合参数:构建损失函数 L ∑ i 1 N ( R ^ i − R i ) 2 L ∑ i 1 N ( R i − R i ) 2 \mathcal L\sum_{i1}^N(\hat R_i-R_i)^2L∑i1N (R^i −Ri )2 L∑i1N(R^i−Ri)2L∑i1N(Ri−Ri)2,其中 R ^ i a Z H i b Z D R i c R i a Z H i b Z D R i c \hat R_iaZ_{H_i}^bZ_{DR_i}^cR^i aZHi b ZDRi c R^iaZHibZDRicRiaZHibZDRic 。使用梯度下降算法学习参数a,b,c以最小化损失函数。 4.模型选择:比较不同的幂指数组合,选择拟合效果最佳的一组参数。模型检验 收集独立测试数据:保证训练数据和测试数据的地区和降水类型有所不同。 测试集预测:将测试数据Z_H和Z_DR代入学到的Z-R关系,生成降水预测 R ^ \hat R R^。 评估指标:计算RMSE、MAE等检验预测效果。绘制散点图比较 R ^ \hat R R^和R。 模型改进:比较不同区域和降水类型的预测效果,分析原因,进一步优化模型。 极端情况验证:使用极端降雨情况下的数据验证模型的适用范围和稳健性。
代码
import numpy as np
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 收集并预处理观测数据
zh [12, 15, 13, ...] # 反射率因子Z_H
zdr [0.8, 1.2, 0.7, ...] # 差分反射率Z_DR
r [10, 25, 12, ...] # 实测降水量R# 定义Z-R关系,初始化参数
def zr_relation(zh, zdr, a, b, c):return a * zh**b * zdr**c# 使用最小二乘法拟合参数
def train(zh, zdr, r, a, b, c):preds [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z,zd in zip(zh, zdr)] loss mean_squared_error(r, preds)# 参数初始化
a, b, c 0.01, 1.4, 0.9 # 梯度下降函数
def grad_descent(zh, zdr, r, a, b, c, lr0.01, epochs100):for i in range(epochs):# 计算损失函数 preds [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z, zd in zip(zh, zdr)]loss np.mean((preds - r)**2)# 计算梯度a_grad 2 * np.mean((preds - r) * preds * (a ** (b-1)) * (c ** (c-1)))b_grad 2 * np.mean((preds - r) * preds * (np.log(z) * a ** b * (c ** c)))c_grad 2 * np.mean((preds - r) * preds * (np.log(zd) * a ** b * (c ** (c-1))))# 参数更新 a a - lr * a_gradb b - lr * b_grad c c - lr * c_gradreturn a, b, c# 拟合参数
a, b, c grad_descent(zh, zdr, r, a, b, c)# 模型评估
zh_test, zdr_test, r_test ... # 测试数据
preds_test [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z, zd in 梯度下降函数
问题四
基准模型 Y ^ 0 f ( X 0 ; θ 0 ) \hat{Y}_0 f(X_0; \theta_0) Y^0f(X0;θ0)
其中 X 0 X_0 X0为单偏振Z_H, θ 0 \theta_0 θ0为模型参数, Y ^ 0 \hat{Y}_0 Y^0为预测。
评估模型 Y ^ 1 f ( X 1 ; θ 1 ) \hat{Y}_1 f(X_1; \theta_1) Y^1f(X1;θ1)
其中 X 1 X_1 X1包含Z_H、Z_DR、K_DP, θ 1 \theta_1 θ1为参数, Y ^ 1 \hat{Y}_1 Y^1为预测。
模型评估 R M S E 0 1 n ∑ i 1 n ( Y i − Y ^ 0 i ) 2 RMSE_0 \frac{1}{n}\sum_{i1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_{0i})^2 RMSE0n1∑i1n(Yi−Y^0i)2 R M S E 1 1 n ∑ i 1 n ( Y i − Y ^ 1 i ) 2 RMSE_1 \frac{1}{n}\sum_{i1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_{1i})^2 RMSE1n1∑i1n(Yi−Y^1i)2
比较 R M S E 0 RMSE_0 RMSE0和 R M S E 1 RMSE_1 RMSE1。
注意力机制融合 Y ^ ∑ i 1 m α i f i ( X i ; θ i ) \hat{Y} \sum_{i1}^{m}\alpha_i f_i(X_i; \theta_i) Y^∑i1mαifi(Xi;θi)
学习权重 α i \alpha_i αi,自适应地融合不同数据源 X i X_i Xi的预测。
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers, models# 1. 构建基准模型
inputs_zh layers.Input(shape(10, 64, 64, 1))
conv_zh layers.Conv2D(32, 3)(inputs_zh)
lstm_zh layers.LSTM(32)(conv_zh)
outputs_zh layers.Dense(64*64)(lstm_zh)
base_model models.Model(inputs_zh, outputs_zh)# 2. 构建增强模型
inputs_dual_pol layers.Input(shape(10, 64, 64, 3))
conv_dual_pol layers.Conv2D(32, 3)(inputs_dual_pol)
lstm_dual_pol layers.LSTM(32)(conv_dual_pol)
outputs_dual_pol layers.Dense(64*64)(lstm_dual_pol)
enhanced_model models.Model(inputs_dual_pol, outputs_dual_pol)# 3. 模型训练
# 载入数据
X_train, X_test load_data() # 数据预处理
X_train normalize(X_train)
X_test normalize(X_test)
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