新闻视频网站开发,wordpress公众号插件,如何制作个人网站,做电子手抄报的网站1 回溯法理论基础
回溯法也可以叫做回溯搜索法#xff0c;它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品#xff0c;只要有递归就会有回溯。
所以以下讲解中#xff0c;回溯函数也就是递归函数#xff0c;指的都是一个函数。
1.1 回溯法的效率
回溯法的性能如何呢#xff0…1 回溯法理论基础
回溯法也可以叫做回溯搜索法它是一种搜索的方式。回溯是递归的副产品只要有递归就会有回溯。
所以以下讲解中回溯函数也就是递归函数指的都是一个函数。
1.1 回溯法的效率
回溯法的性能如何呢这里要和大家说清楚了虽然回溯法很难很不好理解但是回溯法并不是什么高效的算法。
因为回溯的本质是穷举穷举所有可能然后选出我们想要的答案如果想让回溯法高效一些可以加一些剪枝的操作但也改不了回溯法就是穷举的本质。
那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢因为没得选一些问题能暴力搜出来就不错了撑死了再剪枝一下还没有更高效的解法。
1.2 回溯法解决的问题
回溯法一般可以解决如下几种问题
组合问题N个数里面按一定规则找出k个数的集合切割问题一个字符串按一定规则有几种切割方式子集问题一个N个数的集合里有多少符合条件的子集排列问题N个数按一定规则全排列有几种排列方式棋盘问题N皇后解数独等等
1.3 如何理解回溯法
回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构是的我指的是所有回溯法的问题都可以抽象为树形结构因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集集合的大小就构成了树的宽度递归的深度都构成的树的深度。
递归就要有终止条件所以必然是一棵高度有限的树N叉树。
1.4 回溯法模板
在讲二叉树的递归 (opens new window)中我们说了递归三部曲这里我再给大家列出回溯三部曲。
回溯函数模板返回值以及参数
习惯是函数起名字为backtracking回溯算法中函数返回值一般为void。
再来看一下参数因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来所以一般是先写逻辑然后需要什么参数就填什么参数。
回溯函数伪代码如下
void backtracking(参数)回溯函数终止条件
既然是树形结构那么我们在讲解二叉树的递归 (opens new window)的时候就知道遍历树形结构一定要有终止条件。所以回溯也有要终止条件。
什么时候达到了终止条件树中就可以看出一般来说搜到叶子节点了也就找到了满足条件的一条答案把这个答案存放起来并结束本层递归。
所以回溯函数终止条件伪代码如下
if (终止条件) {存放结果;return;
}回溯搜索的遍历过程
在上面我们提到了回溯法一般是在集合中递归搜索集合的大小构成了树的宽度递归的深度构成的树的深度。
集合大小和孩子的数量是相等的
回溯函数遍历过程伪代码如下
for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {处理节点;backtracking(路径选择列表); // 递归回溯撤销处理结果
}for循环就是遍历集合区间可以理解一个节点有多少个孩子这个for循环就执行多少次。
backtracking这里自己调用自己实现递归。
大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历backtracking递归就是纵向遍历这样就把这棵树全遍历完了一般来说搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。
分析完过程回溯算法模板框架如下
void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择本层集合中元素树中节点孩子的数量就是集合的大小) {处理节点;backtracking(路径选择列表); // 递归回溯撤销处理结果}
}1.5 总结
本篇我们讲解了什么是回溯算法知道了回溯和递归是相辅相成的。
接着提到了回溯法的效率回溯法其实就是暴力查找并不是什么高效的算法。
然后列出了回溯法可以解决几类问题可以看出每一类问题都不简单。
最后我们讲到回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构N叉树并给出了回溯法的模板。 77 组合medium
给定两个整数 n 和 k返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
思路
本题是回溯法的经典题目。把组合问题抽象为如下树形结构 可以看出这棵树一开始集合是 1234 从左向右取数取过的数不再重复取。
第一次取1集合变为234 因为k为2我们只需要再取一个数就可以了分别取234得到集合[1,2] [1,3] [1,4]以此类推。
每次从集合中选取元素可选择的范围随着选择的进行而收缩调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度k相当于树的深度。那么如何在这个树上遍历然后收集到我们要的结果集呢
图中每次搜索到了叶子节点我们就找到了一个结果。
相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来就可以求得 n个数中k个数的组合集合。
回溯法三部曲
递归函数的返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量一个用来存放符合条件单一结果一个用来存放符合条件结果的集合。
代码如下
vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合
vectorint path; // 用来存放符合条件结果其实不定义这两个全局变量也是可以的把这两个变量放进递归函数的参数里但函数里参数太多影响可读性所以我定义全局变量了。
函数里一定有两个参数既然是集合n里面取k个数那么n和k是两个int型的参数。
然后还需要一个参数为int型变量startIndex这个参数用来记录本层递归的中集合从哪里开始遍历集合就是[1,…,n] 。
为什么要有这个startIndex呢startIndex 就是防止出现重复的组合。
从下图中红线部分可以看出在集合[1,2,3,4]取1之后下一层递归就要在[2,3,4]中取数了那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢靠的就是startIndex。 所以需要startIndex来记录下一层递归搜索的起始位置。
那么整体代码如下
vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合
vectorint path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)回溯函数终止条件
什么时候到达所谓的叶子节点了呢
path这个数组的大小如果达到k说明我们找到了一个子集大小为k的组合了在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。此时用result二维数组把path保存起来并终止本层递归。
所以终止条件代码如下
if (path.size() k) {result.push_back(path);return;
}单层搜索的过程
回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程for循环用来横向遍历递归的过程是纵向遍历。
for循环每次从startIndex开始遍历然后用path保存取到的节点i。
代码如下
for (int i startIndex; i n; i) { // 控制树的横向遍历path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i 1); // 递归控制树的纵向遍历注意下一层搜索要从i1开始path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点
}可以看出backtracking递归函数通过不断调用自己一直往深处遍历总会遇到叶子节点遇到了叶子节点就要返回。
backtracking的下面部分就是回溯的操作了撤销本次处理的结果。
剪枝优化
我们说过回溯法虽然是暴力搜索但也有时候可以有点剪枝优化一下的。
在遍历的过程中有如下代码
for (int i startIndex; i n; i) {path.push_back(i);backtracking(n, k, i 1);path.pop_back();
}这个遍历的范围是可以剪枝优化的怎么优化呢
来举一个例子n 4k 4的话那么第一层for循环的时候从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环从元素3开始的遍历都没有意义了。
这么说有点抽象如图所示 图中每一个节点图中为矩形就代表本层的一个for循环那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话都没有意义都是无效遍历。所以可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。
如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了那么就没有必要搜索了。
注意代码中i就是for循环里选择的起始位置。
for (int i startIndex; i n; i) {接下来看一下优化过程如下 已经选择的元素个数path.size(); 还需要的元素个数为: k - path.size(); 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) 1开始遍历
所以优化之后的for循环是
for (int i startIndex; i n - (k - path.size()) 1; i) // i为本次搜索的起始位置代码实现1 class Solution {
private:vectorvectorint result; // 存放符合条件结果的集合vectorint path; // 用来存放符合条件结果void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() k) {result.push_back(path);return;}for (int i startIndex; i n; i) {path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i 1); // 递归path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点}}
public:vectorvectorint combine(int n, int k) {result.clear(); // 可以不写path.clear(); // 可以不写backtracking(n, k, 1);return result;}
};代码实现2剪枝
class Solution {
private:vectorvectorint result;vectorint path;void backtracking(int n, int k, int startIndex) {if (path.size() k) {result.push_back(path);return;}for (int i startIndex; i n - (k - path.size()) 1; i) { // 优化的地方path.push_back(i); // 处理节点backtracking(n, k, i 1);path.pop_back(); // 回溯撤销处理的节点}}
public:vectorvectorint combine(int n, int k) {backtracking(n, k, 1);return result;}
};详细解析 思路视频1 思路视频2 代码实现文章
