为什么建设厅的网站不好打开,上海市网站,项目加盟网,深圳宝安天气预报文章目录MATLAB/Simulink 通信原理及仿真学习#xff08;三#xff09;3. 通信信号与系统分析3.1 离散信号和系统3.1.1 离散信号3.1.2 离散时间信号3.1.3 信号的能量和功率3.2 傅里叶#xff08;Fourier#xff09;分析3.2.1 连续时间信号的Fourier变换3.2.2 离散时间信号的…
文章目录MATLAB/Simulink 通信原理及仿真学习三3. 通信信号与系统分析3.1 离散信号和系统3.1.1 离散信号3.1.2 离散时间信号3.1.3 信号的能量和功率3.2 傅里叶Fourier分析3.2.1 连续时间信号的Fourier变换3.2.2 离散时间信号的Fourier变换3.2.3 离散Fourier变换MATLAB/Simulink 通信原理及仿真学习三
3. 通信信号与系统分析
数字通信的研究包括数字形式的信息从产生该信息的信源到一个或多个目的地的传输问题。
3.1 离散信号和系统
信号是信息的物理表现形式或说是传递信息的函数系统定义为处理或变换信号的物理设备。
3.1.1 离散信号
一个信号x(t)x(t)x(t)可以是连续时间信号模拟信号也可以是离散时间信号数字信号。若x(t)x(t)x(t)是离散信号则ttt仅在时间轴的离散点上取值这时应将x(t)x(t)x(t)该记为x(nTs)x(nT_s)x(nTs)TsT_sTs表示相邻两个点之间的时间间隔又称抽样周期nnn取整数即 x(nTs),n−N1,⋯,0,1,⋯,N2\begin{equation} x(nT_s),n-N_1,\cdots,0,1,\cdots,N_2 \tag{3-1} \end{equation} x(nTs),n−N1,⋯,0,1,⋯,N2(3-1)
式中N1,N2N_1,N_2N1,N2是nnn的取值范围。一般可以把TsT_sTs归一化为1则x(nTs)x(nT_s)x(nTs)可简记为x(n)x(n)x(n)。
(一直没写MATLAB差点忘了注释的符号是 %)
例一
% xcos(2t)抽样序列为0t2*pi抽样周期T_s0.1.
t0:0.1:2*pi;
xcos(2*t);
stem(t,x);输出结果
1信号的相加或相乘 {x(n)x1(n)x2(n)y(n)x1(n)x2(n)\begin{cases} x(n) x_1(n)x_2(n)\\ y(n) x_1(n)x_2(n) \end{cases} {x(n)x1(n)x2(n)y(n)x1(n)x2(n)
例二
% 信号x1(n)sin(2*pi*0.1n和x2(n)exp(-0.1*n)
% 在0n40的相加和相乘序列
clear all;
n1:40;
x1sin(2*pi*0.1*n);
x2exp(-0.1*n);
xx1x2;
yx1.*x2;
subplot(4,1,1);stem(n,x1);title(x1);
subplot(4,1,2);stem(n,x2);title(x2);
subplot(4,1,3);stem(n,x);title(x);
subplot(4,1,4);stem(n,y);title(y);输出结果
2卷积和 y(n)∑m−∞∞x(m)h(n−m)x(n)∗h(n)(3-3)y(n)\sum\limits_{m-\infin}^{\infin}x(m)h(n-m)x(n)*h(n)\tag{3-3} y(n)m−∞∑∞x(m)h(n−m)x(n)∗h(n)(3-3)
例三
% h(n)exp(-0.1*n),x(n)exp(-0.2*n),0n40的卷积和
clear all;
n0:40;
hexp(-0.1*n);
xexp(-0.2*n);
yconv(x,h);
subplot(3,1,1);stem(h);title(h);
subplot(3,1,2);stem(x);title(x);
subplot(3,1,3);stem(y);title(y);输出结果 3.1.2 离散时间信号
离散时间系统可抽象为一种变换或一种映射输入序列x(n)x(n)x(n)变换为输出序列y(n)y(n)y(n)即
y(n)T[x(n)](3-4)y(n)T[x(n)]\tag{3-4} y(n)T[x(n)](3-4) 式中TTT代表变换。 离散时间系统
例四 一个离散时间系统的输入和输出关系为 y(n)ay(n−1)x(n)(3-5)y(n)ay(n-1)x(n)\tag{3-5} y(n)ay(n−1)x(n)(3-5) 式中a为常数。该系统表示现在时刻的输入y(n)y(n)y(n)等于上一次的输出y(n−1)y(n-1)y(n−1)乘以常数a再加上现在的输入x(n)x(n)x(n)这是一个一阶的自回归差分方程若 (1)x(n){1,n00,n≠0(2)x(n){exp(−0.1n),0≤n≤400,其他(1) \quad x(n) \begin{cases} 1,n0 \\ 0,n\neq0 \end{cases}\\ (2)\quad x(n) \begin{cases} exp(-0.1n), 0 \le n \le 40\\ 0, \text{其他} \end{cases} (1)x(n){1,n00,n0(2)x(n){exp(−0.1n),0,0≤n≤40其他 且a0.8,y(n)0,n0,y(0)x(0)a0.8,y(n)0,n0,y(0)x(0)a0.8,y(n)0,n0,y(0)x(0)是分别求上述系统在所给输入下的响应。
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N60;%序列长度
% 设置x1和x2
x1zeros(1,N);
x1(1)1;
x2zeros(1,N);
x2(1:41)exp(-0.1*(0:40));
% 初始状态设置
y1(1)x1(1);
y2(1)x2(1);
% 求取y(n)
for n2:Ny1(n)0.8*y1(n-1)x1(n);y2(n)0.8*y2(n-1)x2(n);
end
% 绘图
subplot(4,1,1);stem(x1);title(x1);
subplot(4,1,2);stem(x2);title(x2);
subplot(4,1,3);stem(y1);title(y1);
subplot(4,1,4);stem(y2);title(y2);输出结果
例五
一个离散时间系统的输入/输出关系为 y(n)∑k0M−1b(k)x(n−k)(3-6)y(n)\sum\limits_{k0}^{M-1}b(k)x(n-k)\tag{3-6} y(n)k0∑M−1b(k)x(n−k)(3-6)
式中b(0),b(1),⋯,b(M−1)b(0),b(1),\cdots,b(M-1)b(0),b(1),⋯,b(M−1)为常数。
这一类系统为“有限冲激响应”系统简称为FIR系统上一时刻的输出对下一时刻的输出没有影响。一阶自回归模型中由于包含了由输出到输入的反馈因此其冲激响应为无限长这一类系统称为“无限冲激响应”系统简称IIR系统(包含上一时刻的输出对下一时刻输出的影响)。
在式3-6中设M3,b(0)1/2,b(1)1/8,b(2)3/8,x(n){1,0≤n≤50,其他M3,b(0)1/2,b(1)1/8,b(2)3/8,x(n)\begin{cases}1,0 \le n \le 5 \\ 0,\text{其他} \end{cases}M3,b(0)1/2,b(1)1/8,b(2)3/8,x(n){1,0≤n≤50,其他试求其输出响应
clear all
x ones(1,6);
b [1/2,1/8,3/8];
yconv(x,b);
subplot(3,1,1);stem(x);title(x);
subplot(3,1,2);stem(b);title(b);
subplot(3,1,3);stem(y);title(y);输出结果 3.1.3 信号的能量和功率
能量定义 E∫−∞∞∣x(t)∣2dt(3-7)E \int_{-\infin}^{\infin}|x(t)|^2 dt\tag{3-7} E∫−∞∞∣x(t)∣2dt(3-7) E∑−∞∞∣x(n)∣2(3-8)E \sum\limits_{-\infin}^{\infin}|x(n)|^2\tag{3-8} E−∞∑∞∣x(n)∣2(3-8)
如果E∞E \infinE∞,称 x(t),x(n)x(t),x(n)x(t),x(n)为能量有限信号简称能量信号E∞E \infinE∞,则称为能量无限信号。若x(t)x(t)x(t)和x(n)x(n)x(n)能量无限往往开展其功率的研究即 PlimT→∞1T∫−T/2T/2∣x(t)∣2dt(3-9)P\lim\limits_{T \to \infin}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2dt\tag{3-9} PT→∞limT1∫−T/2T/2∣x(t)∣2dt(3-9) PlimN→∞12N1∑n−NN∣x(n)∣2(3-10)P\lim\limits_{N \to \infin}\frac{1}{2N1}\sum\limits_{n-N}^{N}|x(n)|^2\tag{3-10} PN→∞lim2N11n−N∑N∣x(n)∣2(3-10)
若P∞P \infinP∞则称x(t),x(n)x(t),x(n)x(t),x(n)为功率有限信号简称功率信号。
周期信号、准周期信号与随机信号由于其时间是无限的因而为功率信号。一般在有限区间内存在的确定信号是能量信号。例如x(n)1,1≤n≤100x(n)1,1 \le n \le 100x(n)1,1≤n≤100是能量信号x(n)sin(2πn),−∞≤n≤∞x(n)sin(2\pi n),-\infin \le n \le \infinx(n)sin(2πn),−∞≤n≤∞是功率信号。
3.2 傅里叶Fourier分析
连续时间信号的Fourier变换和Fourier级数数字信号处理中的离散Fourier变换DFT。
3.2.1 连续时间信号的Fourier变换
设x(t)x(t)x(t)为以连续时间信号若x(t)x(t)x(t)绝对可积即 ∫−∞∞∣x(t)∣dt∞(3-11)\int_{-\infin}^{\infin}|x(t)|dt\infin\tag{3-11} ∫−∞∞∣x(t)∣dt∞(3-11) 那么x(t)x(t)x(t)的Fourier变换存在并定义为 X(jΩ)∫−∞∞x(t)e−jΩtdt(3-12)X(j\Omega)\int_{-\infin}^{\infin}x(t)e^{-j \Omega t}dt\tag{3-12} X(jΩ)∫−∞∞x(t)e−jΩtdt(3-12)
其反变换为 x(t)12π∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ(3-13)x(t)\frac{1}{2\pi}\int_{-\infin}^{\infin}X(j\Omega)e^{j \Omega t}d \Omega\tag{3-13} x(t)2π1∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ(3-13)
式中Ω2πf\Omega2 \pi fΩ2πf单位为rad/s将X(jΩ)X(j\Omega)X(jΩ)表示成∣X(jΩ)∣ejφ(Ω)|X(j\Omega)|e^{j\varphi(\Omega)}∣X(jΩ)∣ejφ(Ω)的形式即可得到∣X(jΩ)∣|X(j\Omega)|∣X(jΩ)∣和φ(Ω)\varphi(\Omega)φ(Ω)随 变化的曲线分别成为幅频特性和相频特性。
例六
绘制f(t)te−∣t∣f(t)te^{-|t|}f(t)te−∣t∣的时域波形及傅里叶变化后的幅频特性。
clear all
% 定义符号变量t
syms t;
f t*exp(-abs(t));
F fourier(f)
% 绘制函数曲线
subplot(1,2,1);ezplot(f);
subplot(1,2,2);ezplot(abs(F));例七
某信号的Fourier变换F(ω)πe−∣ω∣F(\omega)\pi e^{-|\omega|}F(ω)πe−∣ω∣试绘制该信号的时域波形和幅频特性。
clear all
syms t w;
F pi*exp(-abs(w));
f ifourier(F,t);
subplot(1,2,1);ezplot(abs(F));
subplot(1,2,2);ezplot(f);严格而将只有非周期函数才有Fourier变换但若x(t)x(t)x(t)是周期函数即 此时不满足3-11的绝对可积条件此时要求x(t)x(t)x(t)满足狄利克雷条件Dirichlet即1 在一周期内连续或只有有限个第一类间断点该点含有左右极限2在一周期内极大值和极小值的数目应是有限个3在一周期内信号是绝对可积的。 Fourier级数为 x(t)∑k−∞∞X(kΩ0)ejkΩ0t,k0,±1,⋯,±∞(3-14)x(t)\sum\limits_{k-\infin}^{\infin}X(k\Omega_0)e^{jk \Omega_0 t},k0,\pm1,\cdots,\pm\infin\tag{3-14} x(t)k−∞∑∞X(kΩ0)ejkΩ0t,k0,±1,⋯,±∞(3-14) 其中Ω02π/T02πf0\Omega_02\pi/T_02\pi f_0Ω02π/T02πf0为信号x(t)x(t)x(t)的基波频率kΩ0k\Omega_0kΩ0为其第k次谐波频率X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)称为x(t)x(t)x(t)在k次谐波处的Fourier系数它的幅度反映了信号x(t)x(t)x(t)中所包含的频率为kΩ0k\Omega_0kΩ0的成分大小。 可以看出周期信号x(t)x(t)x(t)可以由无数个复正弦[ejkΩ0t,k0,±1,⋯,±∞][e^{jk\Omega_0 t},k0,\pm 1,\cdots,\pm\infin][ejkΩ0t,k0,±1,⋯,±∞] 作为基本信号再乘以不同的加权值X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)复合而成。X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)仅在Ω0\Omega_0Ω0的整数倍上取值所以其在频率轴上取离散值 即 X(kΩ0)1T∫ttTx(t)e−jkΩ0tdt(3-15)X(k\Omega_0)\frac{1}{T}\int_{t}^{tT}x(t)e^{-jk \Omega_0 t}dt\tag{3-15} X(kΩ0)T1∫ttTx(t)e−jkΩ0tdt(3-15) 其中X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)是复数所以 X(kΩ0)∣X(kΩ0)∣ejθkX(k\Omega_0)|X(k\Omega_0)|e^{j\theta_k} X(kΩ0)∣X(kΩ0)∣ejθk 式中∣X(kΩ0)∣|X(k\Omega_0)|∣X(kΩ0)∣是频率为nf0nf_0nf0的分量的振幅θk\theta_kθk是频率是nf0nf_0nf0的分量的相位。 注意X(kΩ0)X(k\Omega_0)X(kΩ0)和X(jΩ)X(j\Omega)X(jΩ)的物理意义不同前者是Ω\OmegaΩ轴上的离散函数后者则是Ω\OmegaΩ轴上的连续函数同时前者是谐波幅度后者是频谱密度。 例八(Ω02π/T\Omega_0 2\pi/TΩ02π/T)
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k-50:50;
X0.25*sinc(k/4);
stem(k,X)3.2.2 离散时间信号的Fourier变换 设h(n)h(n)h(n)为一线形时不变系统的单位抽样响应定义 H(ejω)∑n−∞∞h(n)e−jωn(3-20)H(e^{j\omega})\sum\limits_{n-\infin}^{\infin}h(n)e^{-j\omega n}\tag{3-20} H(ejω)n−∞∑∞h(n)e−jωn(3-20) 为系统的频率响应记住了这是离散时间序列的Fourier变换Discrete Time Fourier Transform, DTFT。H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)是ω\omegaω的连续函数周期为2π2\pi2π 。其中ω\omegaω为数字频率。3-20的DTFT是周期信号H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)在频域内展开成的Fourier级数其Fourier系数是时域信号h(n)h(n)h(n)。 离散信号h(n)h(n)h(n)的DTFT存在的条件是h(n)h(n)h(n)是绝对可和的既满足 ∑n−∞∞∣h(n)∣∞(3-21)\sum\limits_{n-\infin}^{\infin} |h(n)| \infin\tag{3-21} n−∞∑∞∣h(n)∣∞(3-21) 相应的其DTFT反变换IDTFT可以表示为 h(n)12π∫−ππH(ejω)ejωndω(3-22)h(n)\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega\tag{3-22} h(n)2π1∫−ππH(ejω)ejωndω(3-22) 根据上述DTFT的定义可以利用MATLAB由h(n)h(n)h(n)直接计算H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)在频率区间 [0,π][0,\pi][0,π]的值并绘制对应的模和相角。 假设序列h(n)h(n)h(n)在区间n1≤n≤n2n_1 \le n \le n_2n1≤n≤n2有NNN个样本值要计算其在下述频率点上的H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω) ϖkkπM,k0,1,⋯,M−1(3-23)\varpi_k k\frac{\pi}{M},k0,1,\cdots,M-1\tag{3-23} ϖkkMπ,k0,1,⋯,M−1(3-23) 首先定义一个(M1)×N(M1) \times N(M1)×N 的矩阵即 WW(k,n)e−j(πM)kn,n1≤n≤n2,k0,1,⋯,M−1(3-24)\boldsymbol W{W(k,n)e^{-j(\frac{\pi}{M})kn},n_1 \le n \le n_2,k0,1,\cdots,M-1}\tag{3-24} WW(k,n)e−j(Mπ)kn,n1≤n≤n2,k0,1,⋯,M−1(3-24) 如果将{k}\{k\}{k}和{n}\{n\}{n}写为列矢量则有 W[e−j(π/M)KTn](3-25)\boldsymbol W[e^{-j(\pi/M)K^Tn}]\tag{3-25} W[e−j(π/M)KTn](3-25) 于是在所求频率点上的H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)值可以写为 HThT∗W(3-26)H^Th^T*\boldsymbol W\tag{3-26} HThT∗W(3-26) 例九
w -4:0.001:4;
n1-15:15;
n20:20;
h1exp(-abs(0.1*n1));
h2(n21)1;
Hjw1h1*(exp(-j*pi).^(n1*w));
Hjw2h2*(exp(-j*pi).^(n2*w));
subplot(2,1,1);plot(w,abs(Hjw1));
title(H1);xlabel(pi 弧度(w));ylabel(振幅);
subplot(2,1,2);plot(w,abs(Hjw2));
title(H2);xlabel(pi 弧度(w));ylabel(振幅);离散时间信号的Fourier变换的性质十分重要如卷积性质、频移性质等。 DTFT的频移性质是指序列乘以复指数序列对应于频域的频移即 DTFT(h(n)ejω1n)H(ej(ω−ω1))(3-27)DTFT(h(n)e^{j\omega_1 n})H(e^{j(\omega-\omega_1)})\tag{3-27} DTFT(h(n)ejω1n)H(ej(ω−ω1))(3-27)
例十
给定序列h(n)1,0len≤20h(n)1,0 \ le n \le 20h(n)1,0 len≤20 和 x(n)h(n)ejπn/4x(n)h(n)e^{j\pi n/4}x(n)h(n)ejπn/4分别计算它们的离散时间Fourier并比较结果。
clear all
w-1:0.001:1;
n0:20;
h(n1)1;
xh.*exp(j*pi*n/4);
Hjwh*(exp(-j*pi).^(n*w));
Xjwx*(exp(-j*pi).^(n*w));
subplot(2,2,1);plot(w,abs(Hjw));
title(H);xlabel(pi 弧度(w));ylabel(振幅);
subplot(2,2,2);plot(w,angle(Hjw)/pi);
title(H);xlabel(pi 弧度(w));ylabel(振幅);
subplot(2,2,3);plot(w,abs(Xjw));
title(X);xlabel(pi 弧度(w));ylabel(振幅);
subplot(2,2,4);plot(w,angle(Xjw)/pi);
title(X);xlabel(pi 弧度(w));ylabel(振幅);一个单位脉冲响应为h(n)h(n)h(n)的系统对输入序列x(n)x(n)x(n)的输出为 y(n)x(n)∗h(n)(3-28)y(n)x(n)*h(n)\tag{3-28} y(n)x(n)∗h(n)(3-28) 根据DTFT的卷积性质有 Y(ejω)DTFT[y(n)]DTFT[x(n)∗h(n)]X(ejω)H(ejω)(3-29)Y(e^{j\omega})DTFT[y(n)]DTFT[x(n)*h(n)]X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\tag{3-29} Y(ejω)DTFT[y(n)]DTFT[x(n)∗h(n)]X(ejω)H(ejω)(3-29) 可以利用这一性质求系统在输入信号为x(n)x(n)x(n)时的系统响应。可以先求出X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω)和H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω),进而求出Y(ejω)Y(e^{j\omega})Y(ejω)再通过IDTFT求出y(n)y(n)y(n)绕过求卷积的步骤。
例11 一个系统的单位脉冲响应h(n)sin(0.2n)e−0.1n,0≤n≤30h(n)sin(0.2n)e^{-0.1n},0 \le n \le 30h(n)sin(0.2n)e−0.1n,0≤n≤30试求 1该系统的频率响应 2若输入信号为x(n)2sin(0.2πn)3cos(0.4πn),0≤n≤30x(n)2sin(0.2\pi n)3cos(0.4\pi n),0 \le n \le 30x(n)2sin(0.2πn)3cos(0.4πn),0≤n≤30确定该系统的稳态输出。
clear all
w-1:0.001:1;
n0:30;
hsinc(0.2*n);
x2*sin(0.2*pi*n)3*cos(0.4*pi*n);
Hjwh*exp(-j*pi).^(n*w);
Xjwx*exp(-j*pi).^(n*w);
YjwXjw.*Hjw;
n10:2*length(n)-2;
dw0.001*pi;
y(dw*Yjw*(exp(j*pi).^(w*n1)))/(2*pi);
y1conv(x,h);
subplot(3,1,1);plot(w,abs(Hjw))
title(H);xlabel(pi 弧度w);ylabel(振幅);
subplot(3,1,2);plot(w,abs(Xjw))
title(X);xlabel(pi 弧度w);ylabel(振幅);
subplot(3,1,3);plot(w,abs(Yjw))
title(Y);xlabel(pi 弧度w);ylabel(振幅);3.2.3 离散Fourier变换
3.2.2节学习的DTFT的特点是1变换使用无限长的序列2变换的结果是自变量ω\omegaω的连续函数。时域上连续在计算机的使用上很难实现。因而需要一种时域和频域上都离散的计算方法这便是离散Fourier变换DFT也成为快速Fourier变换FFT。给定一个离散序列x(n)x(n)x(n),其DFT和IDFT如下
{X(k)∑n0N−1x(n)e−j2πnnk∑n0N−1x(n)WNnk,k0,1,⋯,N−1x(n)1N∑n0N−1X(k)ej2πnnk1N∑n0N−1x(n)WN−nk,n0,1,⋯,N−1(3-30)\begin{cases} X(k)\sum\limits_{n0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{n}nk}\sum\limits_{n0}^{N-1}x(n)W_N^{nk},k0,1,\cdots,N-1 \\ x(n)\frac{1}{N}\sum\limits_{n0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{n}nk}\frac{1}{N}\sum\limits_{n0}^{N-1}x(n)W_N^{-nk},n0,1,\cdots,N-1\tag{3-30} \end{cases} ⎩⎨⎧X(k)n0∑N−1x(n)e−jn2πnkn0∑N−1x(n)WNnk,k0,1,⋯,N−1x(n)N1n0∑N−1X(k)ejn2πnkN1n0∑N−1x(n)WN−nk,n0,1,⋯,N−1(3-30)
式中WNe−j2πNW_Ne^{-j\frac{2\pi}{N}}WNe−jN2π。DFT对应的是时域和频域都是有限长且都是离散的。
例十二 离散序列x(n)sin(0.2n)e−0.1n,0≤n≤30x(n)sin(0.2n)e^{-0.1n},0 \le n \le 30x(n)sin(0.2n)e−0.1n,0≤n≤30试求该序列的DFT。
clear all
n0:30;
xsin(0.2*n).*exp(-0.1*n);
k-0:30;
N31;
Wnkexp(-j*2*pi/N).^(n*k);
Xx*Wnk;
subplot(2,1,1);stem(n,x);title(序列x);
% DFT默认的下标范围是[0,N-1],采取对下标的重新排列
% 体现序列DFT的对称性
subplot(2,1,2);stem(-15:15, [abs(X(17:end)) abs(X(1:16))]);title(X幅度);输出结果 MATLAB提供fft函数计算优先离散序列的DFTDFT的循环卷积性质可以设序列x(n),h(n)x(n),h(n)x(n),h(n)都是N点序列其DFT分别是X(k),H(k),Y(k)X(k),H(k),Y(k)X(k),H(k),Y(k)若 则 Y(k)X(k)H(k)(3-32)Y(k)X(k)H(k)\tag{3-32} Y(k)X(k)H(k)(3-32)
式中圈中间一个N的符号表示做N点循环卷积。
一般对两个N点序列的循环卷积其矩阵形式如下 y[y(0)y(1)⋮y(N−1)][h(0)h(N−1)⋯h(1)h(1)h(0)⋯h(2)⋮⋮⋮h(N−1)h(N−2)⋯h(2)]⋅[x(0)x(1)⋮x(N−1)]H⋅x(3-33)y\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\ \vdots\\y(N-1)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h(0) h(N-1) \cdots h(1)\\h(1) h(0) \cdots h(2)\\ \vdots \vdots \vdots\\h(N-1) h(N-2) \cdots h(2)\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x(0)\\x(1)\\ \vdots\\x(N-1)\end{bmatrix}\boldsymbol {H \cdot x}\tag{3-33} yy(0)y(1)⋮y(N−1)h(0)h(1)⋮h(N−1)h(N−1)h(0)⋮h(N−2)⋯h(1)⋯h(2)⋮⋯h(2)⋅x(0)x(1)⋮x(N−1)H⋅x(3-33)
式3-33中矩阵HHH成为循环矩阵由第1行开始依次向右移动一个元素移出去的元素在下一行的最左边出现即每一行都是由h(0),h(N−1),⋯,h(1)h(0),h(N-1),\cdots,h(1)h(0),h(N−1),⋯,h(1)这N个元素依此法则移动所生成的故成为HHH为循环矩阵因此对应的卷积为循环卷积。
例十三
已知序列h(n)6,3,4,2,1,−2,x(n)3,2,6,7,−1,−3)h(n){6,3,4,2,1,-2},x(n){3,2,6,7,-1,-3})h(n)6,3,4,2,1,−2,x(n)3,2,6,7,−1,−3)试分别用直接法和DFT求两个序列的循环卷积序列。
% examp-13
clear all
h [6 3 4 2 1 -2];
x [3 2 6 7 -1 -3];
% 反转序列h
h1fliplr(h);
% 利用toeolitz生成循环矩阵
Htoeplitz(h,[h(1) h1(1:5)]);
yH*x;Hfft(h);
Xfft(x);
YH.*X;
y1ifft(Y);subplot(2,1,1);stem(y);title(直接计算)
subplot(2,1,2);stem(y1);title(DFT)输出结果 设x(n)x(n)x(n)为一MMM点序列h(n)h(n)h(n)为一LLL点序列y(n)x(n)∗h(n)y(n)x(n)*h(n)y(n)x(n)∗h(n)即y(n)y(n)y(n)是x(n)x(n)x(n)和h(n)h(n)h(n)的线性卷积那么y(n)y(n)y(n)是一(ML−1)(ML-1)(ML−1)点的序列。由上面的讨论可知DFT对应循环卷积而不对应线性卷积。如果利用DFT计算两个序列的线性卷积则可以采用以下方法 例十四 已知序列h(n)sinc(0.2n),0≤n≤20,x(n)e−0.2n,0≤n≤10h(n)sinc(0.2n),0 \le n \le 20,x(n)e^{-0.2n},0 \le n \le 10h(n)sinc(0.2n),0≤n≤20,x(n)e−0.2n,0≤n≤10试分别用直接法和DFT法求两个序列的线性卷积序列。 %exmap-14
clear all
n10:20;
n20:10;
hsinc(0.2*n1);
xexp(-0.2*n2);
yconv(x,h);% 补齐ML-1的长度
h1[h zeros(1,length(x)-1)];
x1[x zeros(1,length(h)-1)];
H1fft(h1);
X1fft(x1);
Y1H1.*X1;
y1ifft(Y1);subplot(2,1,1);stem(y);title(直接计算);
subplot(2,1,2);stem(y1);title(DFT);输出结果
