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C算法#xff1a;前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频 动态规划 记忆化搜索
LeetCode1444. 切披萨的方案数
给你一个 rows x cols 大小的矩形披萨和一个整数 k #xff0c;矩形包含两种字符#xff1a; ‘A’ #xff…本文涉及的基础知识点
C算法前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频 动态规划 记忆化搜索
LeetCode1444. 切披萨的方案数
给你一个 rows x cols 大小的矩形披萨和一个整数 k 矩形包含两种字符 ‘A’ 表示苹果和 ‘.’ 表示空白格子。你需要切披萨 k-1 次得到 k 块披萨并送给别人。 切披萨的每一刀先要选择是向垂直还是水平方向切再在矩形的边界上选一个切的位置将披萨一分为二。如果垂直地切披萨那么需要把左边的部分送给一个人如果水平地切那么需要把上面的部分送给一个人。在切完最后一刀后需要把剩下来的一块送给最后一个人。 请你返回确保每一块披萨包含 至少 一个苹果的切披萨方案数。由于答案可能是个很大的数字请你返回它对 10^9 7 取余的结果。 示例 1
输入pizza [“A…”,“AAA”,“…”], k 3 输出3 解释上图展示了三种切披萨的方案。注意每一块披萨都至少包含一个苹果。 示例 2
输入pizza [“A…”,“AA.”,“…”], k 3 输出1 示例 3
输入pizza [“A…”,“A…”,“…”], k 1 输出1
提示 1 rows, cols 50 rows pizza.length cols pizza[i].length 1 k 10 pizza 只包含字符 ‘A’ 和 ‘.’ 。
预处理
本题解点的坐标用(x,y)表示而不是行列。 任何时间待切的蛋糕一定保留原始蛋糕的右下角cols-1,rows-1)。所以只需要枚举(left,top)。 垂直切左边的部分bottom一定和原始蛋糕bottom相同。只需要枚举left,top,right。 水平且上边的部分right一定和原始蛋糕同。只需要枚举left,top,bottom。 vLeft[left][t][r] 记录(left,t,r,rows-1) 是否包括苹果。 vTop[left][[t][b] 记录(left,t,cols-1,b) 是否包括苹果。 计算vLeft的过程如下 符合以下条件之一vLeft[left][t][r] 就有苹果 一(left,t)有苹果。 二vLeft(left1,t,r)有苹果。 三vLeft(left,t1,r)有苹果。 vTop类似。 m max(rows,cols)。 空间复杂度O(mmm)时间复杂也是O(mmm)。
** 可以用二维前缀和计算左边上边)的苹果数**。
动态规划
动态的状态表示
dp[k][left][top] 表示将蛋糕(left,top,cols-1,rows-1)切k次的方案数。 空间复杂度O(k × \times × rows × \times × cols)
动态规划的转移方程
垂直切 dp[k][left][top] F o r x : l e f t 1 : c o l s − 1 v L e f t [ l e f t ] [ t o p ] [ x − 1 ] 有苹果 D p ( k − 1 , x , t o p ) \large For_{x:left1:cols-1}^{vLeft[left][top][x-1]有苹果}Dp(k-1,x,top) Forx:left1:cols−1vLeft[left][top][x−1]有苹果Dp(k−1,x,top) 记忆化搜索 Dp是函数如果dp有对应值则返回dp的值。否则更新dp的值并返回。避免重复计算。 水平切 dp[k][left][top] F o r x : t o p 1 : r o w s − 1 v T o p [ l e f t ] [ t o p ] [ x − 1 ] 有苹果 D p ( k − 1 , l e f t , x ) \large For_{x:top1:rows-1}^{vTop[left][top][x-1]有苹果}Dp(k-1,left,x) Forx:top1:rows−1vTop[left][top][x−1]有苹果Dp(k−1,left,x) 注意送出的部分必须有一个苹果包括的部分必须有k个苹果。
时间复杂度O(k × \times × rows × \times × cols × \times × (rowscols))
动态规划的初始值
dp[0][left][top] (left,top,m_iC-1,m_iR-1)是否有苹果。 如果是记忆化搜索还需要vHasDo 记录各状态是否处理。
动态规划的填表顺序
直接Do(k-1,0,0) 是记忆化搜索。从1到k 计算所有状态的值是动态规划。记忆化搜索可以避免计算一些不需要计算的值。
动态规划的返回值
dp[k][0][0]
代码
核心代码
templateint MOD 1000000007
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int operator(const C1097Int o)const{return C1097Int(((long long)m_iData o.m_iData) % MOD);}C1097Int operator(const C1097Int o){m_iData ((long long)m_iData o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator-(const C1097Int o){m_iData (m_iData MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator-(const C1097Int o){return C1097Int((m_iData MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int operator*(const C1097Int o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int operator*(const C1097Int o){m_iData ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator/(const C1097Int o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int operator/(const C1097Int o){*this / o.PowNegative1();return *this;}bool operator(const C1097Int o)const{return m_iData o.m_iData;}bool operator(const C1097Int o)const{return m_iData o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet 1, iCur *this;while (n){if (n 1){iRet * iCur;}iCur * iCur;n 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData 0;;
};templateclass T int
class CPreSum2 {
public:templateclass _PrCPreSum2(int rowCnt, int colCount, _Pr pr):m_iRowCnt(rowCnt),m_iColCnt(colCount){m_vSum.assign(rowCnt 1, vectorint(colCount 1));for (int r 0; r rowCnt; r) {for (int c 0; c colCount; c) {m_vSum[r 1][c 1] m_vSum[r][c 1] m_vSum[r 1][c] - m_vSum[r][c] pr(r, c);}}}T Get(int left, int top, int right, int bottom)const {return m_vSum[bottom 1][right 1] - m_vSum[top][right 1] - m_vSum[bottom 1][left] m_vSum[top][left];}T GetTopLeft(int left, int top) { return Get(left, top, m_iColCnt - 1, m_iRowCnt - 1); }vectorvectorT m_vSum;const int m_iRowCnt, m_iColCnt;
};
class Solution {
public:int ways(vectorstring pizza, int k) {m_iR pizza.size();m_iC pizza[0].size();CPreSum2int preSum(m_iR, m_iC, [](int r, int c) {return A pizza[r][c]; }); m_dp.assign(k, vectorvectorC1097Int(m_iC, vectorC1097Int(m_iR)));m_vHasDo.assign(k, vectorvectorbool(m_iC, vectorbool(m_iR)));for (int left 0; left m_iC; left) {for (int top 0; top m_iR; top) {m_dp[0][left][top] preSum.GetTopLeft(left, top)0;m_vHasDo[0][left][top] true;}}return Rec(preSum, pizza, k-1, 0, 0).ToInt();}C1097Int Rec( CPreSum2int preSum, vectorstring pizza, int k, int left, int top) {auto iRet m_dp[k][left][top];if (m_vHasDo[k][left][top]) { return iRet; }m_vHasDo[k][left][top] true;int cnt preSum.Get(left, top, m_iC - 1, m_iR - 1);//当前蛋糕有多少苹果for (int x left 1; x m_iC - 1; x) {//垂直切const int iSub preSum.Get(left, top, x - 1, m_iR - 1);//送出多少苹果if (0 iSub ) { continue; }if (cnt - iSub k ) { continue; }iRet Rec(preSum, pizza, k - 1, x, top);}for (int x top 1; x m_iR - 1; x) {//水平切const int iSub preSum.Get(left, top, m_iC - 1, x - 1);if (0 iSub) { continue; }if (cnt - iSub k) { continue; }iRet Rec(preSum, pizza, k - 1, left, x);}return iRet;}vectorvectorvectorC1097Int m_dp;vectorvectorvectorbool m_vHasDo;int m_iR, m_iC;
};VS自带单元测试
templateint MOD 1000000007
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int operator(const C1097Int o)const{return C1097Int(((long long)m_iData o.m_iData) % MOD);}C1097Int operator(const C1097Int o){m_iData ((long long)m_iData o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator-(const C1097Int o){m_iData (m_iData MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator-(const C1097Int o){return C1097Int((m_iData MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int operator*(const C1097Int o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int operator*(const C1097Int o){m_iData ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator/(const C1097Int o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int operator/(const C1097Int o){*this / o.PowNegative1();return *this;}bool operator(const C1097Int o)const{return m_iData o.m_iData;}bool operator(const C1097Int o)const{return m_iData o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet 1, iCur *this;while (n){if (n 1){iRet * iCur;}iCur * iCur;n 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData 0;;
};templateclass T int
class CPreSum2 {
public:templateclass _PrCPreSum2(int rowCnt, int colCount, _Pr pr):m_iRowCnt(rowCnt),m_iColCnt(colCount){m_vSum.assign(rowCnt 1, vectorint(colCount 1));for (int r 0; r rowCnt; r) {for (int c 0; c colCount; c) {m_vSum[r 1][c 1] m_vSum[r][c 1] m_vSum[r 1][c] - m_vSum[r][c] pr(r, c);}}}T Get(int left, int top, int right, int bottom)const {return m_vSum[bottom 1][right 1] - m_vSum[top][right 1] - m_vSum[bottom 1][left] m_vSum[top][left];}T GetTopLeft(int left, int top) { return Get(left, top, m_iColCnt - 1, m_iRowCnt - 1); }vectorvectorT m_vSum;const int m_iRowCnt, m_iColCnt;
};
class Solution {
public:int ways(vectorstring pizza, int k) {m_iR pizza.size();m_iC pizza[0].size();CPreSum2int preSum(m_iR, m_iC, [](int r, int c) {return A pizza[r][c]; }); m_dp.assign(k, vectorvectorC1097Int(m_iC, vectorC1097Int(m_iR)));m_vHasDo.assign(k, vectorvectorbool(m_iC, vectorbool(m_iR)));for (int left 0; left m_iC; left) {for (int top 0; top m_iR; top) {m_dp[0][left][top] preSum.GetTopLeft(left, top)0;m_vHasDo[0][left][top] true;}}return Rec(preSum, pizza, k-1, 0, 0).ToInt();}C1097Int Rec( CPreSum2int preSum, vectorstring pizza, int k, int left, int top) {auto iRet m_dp[k][left][top];if (m_vHasDo[k][left][top]) { return iRet; }m_vHasDo[k][left][top] true;int cnt preSum.Get(left, top, m_iC - 1, m_iR - 1);//当前蛋糕有多少苹果for (int x left 1; x m_iC - 1; x) {//垂直切const int iSub preSum.Get(left, top, x - 1, m_iR - 1);//送出多少苹果if (0 iSub ) { continue; }if (cnt - iSub k ) { continue; }iRet Rec(preSum, pizza, k - 1, x, top);}for (int x top 1; x m_iR - 1; x) {//水平切const int iSub preSum.Get(left, top, m_iC - 1, x - 1);if (0 iSub) { continue; }if (cnt - iSub k) { continue; }iRet Rec(preSum, pizza, k - 1, left, x);}return iRet;}vectorvectorvectorC1097Int m_dp;vectorvectorvectorbool m_vHasDo;int m_iR, m_iC;
};扩展阅读
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测试环境
操作系统win7 开发环境 VS2019 C17 或者 操作系统win10 开发环境 VS2022 C17 如无特殊说明本算法用**C**实现。
