网站飘窗 两学一做,页面效果图,企业信息服务平台,网站开发外包维护合同范本Problem: 70. 爬楼梯 文章目录 题目思路Code复杂度 题目
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢#xff1f;
示例 1#xff1a; 输入#xff1a;n 2 输出#xff1a;2 解释#xff1a;有两种方… Problem: 70. 爬楼梯 文章目录 题目思路Code复杂度 题目
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢
示例 1 输入n 2 输出2 解释有两种方法可以爬到楼顶。 1 阶 1 阶 2 阶 示例 2 输入n 3 输出3 解释有三种方法可以爬到楼顶。 1 阶 1 阶 1 阶1 阶 2 阶2 阶 1 阶 思路
在上一讲从递归到动态规划中我们讲解了递归和动态规划的求解思路但是我们发现这两种方案的时间复杂度都为 o ( n ) o(n) o(n)我们试图找一种更加优秀的时间复杂度的解法
这里我们就要介绍快速幂的概念了
我们先将n表现为2进制例如 3 13 3^{13} 313 3 1101 3^{1101} 31101 3 8 3^8 38 * 3 4 3^4 34 * 3 3 3
因为n有 ⌊ l o g 2 n ⌋ \lfloor log_2n \rfloor ⌊log2n⌋1 个二进制位 当我们知道了 a 1 , a 2 , a 3 . . . . a^1,a^2,a^3.... a1,a2,a3....后我们只需要 o ( l o g n ) o(log n) o(logn)次乘法就可以计算出 a n a^n an了。
于是我们只需要知道一个快速的方法来计算上述 3 的 2 k 2^k 2k 次幂的序列。这个问题很简单因为序列中除第一个任意一个元素就是其前一个元素的平方。例如
那么对于我们刚才举得例子而言我们只要计算得出 3 8 3^8 38 3 4 3^4 34 3 3 3就可以得到其最后的真实值。 整个算法的时间复杂度是 0 ( l o g n ) 0(logn) 0(logn)比递归和递归都要优秀
回到本题本题快速乘有一点不同本题要用到矩阵 由上一篇从递归到动态规划中我们已经知道了状态的递归公式 f ( n ) f ( n − 1 ) f ( n − 2 ) f(n) f(n-1) f(n-2) f(n)f(n−1)f(n−2) 我们可以得到这样一个关系 只要我们快速的求出矩阵的n次幂那么我们就可以得出f(n)即最终答案。这里快速求解矩阵的方法正是刚刚所讲的快速幂解法。
Code
class Solution {public int climbStairs(int n) {int[][] q {{1,1},{1,0}};int[][] res pow(q,n);return res[0][0];}public int[][] pow(int[][] a,int n){int[][] ret {{1,0},{0,1}};while(n0){if( (n1)1 ){ret multiply(ret,a);}n 1;a multiply(a,a);}return ret;}public int[][] multiply(int[][] a,int[][] b){int[][] c new int[2][2];for(int i0;i2;i){for(int j0;j2;j){c[i][j] a[i][0] * b[0][j] a[i][1] * b[1][j];}}return c;}}复杂度
时间复杂度: 只需要求 l o g ( n ) log(n) log(n)次 O ( l o g n ) O(logn) O(logn) 空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)
