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一个制药公司宣称其新药可以将病患的恢复时间从10天降至8天。为了验证这一声明#xff0c;您从服用新药的病患中抽取了一个样本#xff0c;发现样本均值为9天#xff0c;样本标准差为2天#xff0c;样本量为30。使用0.05的显著性水平进行假设检验#xff0c;判断公…题目1
一个制药公司宣称其新药可以将病患的恢复时间从10天降至8天。为了验证这一声明您从服用新药的病患中抽取了一个样本发现样本均值为9天样本标准差为2天样本量为30。使用0.05的显著性水平进行假设检验判断公司的声明是否成立。
最后的结果可使用Pythonscipy库来完成这个假设检验的计算。 答案
当我们进行假设检验时尤其是在样本量较小或总体标准差未知的情况下我们通常使用t分布。t分布与正态分布相似但其尾部较厚这是为了修正小样本量导致的估计不确定性。
设置原假设和备择假设: H 0 : μ 10 H_0: \mu10 H0:μ10 (新药无效) H 1 : μ 10 H_1: \mu10 H1:μ10 (新药有效) 计算统计量: t X ˉ − μ 0 s / n t\frac{\bar{X}-\mu_0}{s / \sqrt{n}} ts/n Xˉ−μ0 其中 X ˉ \bar{X} Xˉ 是样本均值 μ _ 0 \mu \_0 μ_0 是原假设的总体均值 s s s 是样本标准差 n \mathrm{n} n 是样本量。 t 9 − 10 2 / 30 − 1 2 / 30 t\frac{9-10}{2 / \sqrt{30}}-\frac{1}{2 / \sqrt{30}} t2/30 9−10−2/30 1 使用t分布表或相关软件/计算器查找在显著性水平0.05下自由度为29的 t \mathrm{t} t 值。如果计算出 的统计量比这个t值还小则拒绝原假设。如果计算出的t统计量比显著性水平0.05的t值小则可以拒绝原假设认为制药公司的声明成立否则不能拒绝原假设说明公司的声明无法得到证实。
具体来说t分布的形状取决于“自由度”通常以 d f d f df 表示。对于单样本 t \mathrm{t} t 检验自由度为 n − 1 n-1 n−1 其中 n n n 是 样本量。在上述练习题中我们的样本量为30所以自由度是29。 当我们说“在显著性水平0.05下自由度为29的t值”我们是在查找一个临界值这个值将t分布的下5%的区域与上95%的区域分开因为我们正在进行一个单尾检验检验μ是否小于10。 为什么这个临界值如此重要呢 当我们计算得到一个t统计量我们需要判断它是否位于t分布的关键区域。如果它在关键区域内在这种情况下比临界t值还小因为我们关心的是左尾那么我们有足够的证据拒绝原假设。
如果我们的t统计量比这个临界t值还小那么观察到的样本均值在这里是9天与原假设下的总体均值10天之间的差异是统计上显著的。因此我们拒绝原假设并得出结论新药的恢复时间确实少于10天。
如果我们的t统计量大于或等于这个临界值那么我们没有足够的证据拒绝原假设。这并不意味着原假设是正确的只是意味着我们没有足够的证据证明新药可以缩短恢复时间。
我将使用Python来完成这个假设检验的计算。
首先我们使用之前提供的信息来计算t统计量: t X ˉ − μ 0 s / n t\frac{\bar{X}-\mu_0}{s / \sqrt{n}} ts/n Xˉ−μ0 其中 X ˉ \bar{X} Xˉ 是样本均值 (9天) μ − 0 \mu_{-} 0 μ−0 是原假设的总体均值10天 s s s 是样本标准差2天 n \mathrm{n} n 是样本量 (30)。 接着我们将使用SciPy库中的 ′ t { }^{\prime} \mathrm{t} ′t 函数来查找自由度为 29 和显著性水平为 0.05 的临界 t t t 值。 最后我们将比较计算得到的统计量和临界埴以决定是否拒绝原假设。 让我们开始编写Python代码来完成这些步骤:
import numpy as np
from scipy.stats import t# 给定的数据
sample_mean 9
population_mean 10
sample_std 2
n 30# 计算t统计量
t_stat (sample_mean - population_mean) / (sample_std / np.sqrt(n))# 查找显著性水平为0.05和自由度为29的临界t值
t_critical t.ppf(0.05, dfn-1) # 左尾检验所以使用0.05print(Calculated t-statistic:, t_stat)
print(Critical t-value for alpha0.05 and df29:, t_critical)# 判断是否拒绝原假设
if t_stat t_critical:print(Reject the null hypothesis: The drug is effective.)
else:print(Fail to reject the null hypothesis: No evidence that the drug is effective.)
运行上述代码后我们可以根据输出结果来判断是否拒绝原假设。
题目2
考虑一个随机实验每次实验的结果是一个从[0, 1]区间上均匀选择的随机数。令随机变量 X 表示每次实验得到的数值。已知 X 在[0, 1]上是均匀分布的。
求随机变量 X 的期望。 使用积分计算随机变量 X 的方差。 现在进行该实验1000次形成一个样本。根据大数定律样本均值应该接近于什么值 如果上述实验代表了一个总体那么再次随机抽取10个样本值计算其样本均值。你期望这个样本均值与总体均值之间有多大的差异 答案 求随机变量 X X X 的期望。 随机变量 X X X 的期望定义为: E ( X ) ∫ a b x f ( x ) d x E(X)\int_a^b x f(x) d x E(X)∫abxf(x)dx 由于 X X X 在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上是均匀分布的其概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 是常数且 f ( x ) 1 f(x)1 f(x)1 (因为该区间 的总概率为1)。 代入上述公式我们得到: E ( X ) ∫ 0 1 x ⋅ 1 d x ∫ 0 1 x d x x 2 2 ∣ 0 1 1 2 \begin{aligned} E(X)\int_0^1 x \cdot 1 d x\int_0^1 x d x \\ \left.\frac{x^2}{2}\right|_0 ^1\frac{1}{2} \end{aligned} E(X)∫01x⋅1dx∫01xdx2x2 0121 答案: E ( X ) 1 2 E(X)\frac{1}{2} E(X)21 使用积分计算随机变量 X X X 的方差。 方差定义为: Var ( X ) E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 \operatorname{Var}(X)E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 Var(X)E(X2)−[E(X)]2 我们已经知道 E ( X ) 1 2 E(X)\frac{1}{2} E(X)21 。现在我们需要找到 E ( X 2 ) E\left(X^2\right) E(X2) 。 E ( X 2 ) ∫ 0 1 x 2 ⋅ 1 d x ∫ 0 1 x 2 d x x 3 3 ∣ 0 1 1 3 \begin{aligned} E\left(X^2\right)\int_0^1 x^2 \cdot 1 d x\int_0^1 x^2 d x \\ \left.\frac{x^3}{3}\right|_0 ^1\frac{1}{3} \end{aligned} E(X2)∫01x2⋅1dx∫01x2dx3x3 0131 代入方差的公式我们得到: Var ( X ) 1 3 − ( 1 2 ) 2 1 3 − 1 4 1 12 \operatorname{Var}(X)\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^2\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\frac{1}{12} Var(X)31−(21)231−41121 答案: Var ( X ) 1 12 \operatorname{Var}(X)\frac{1}{12} Var(X)121 现在进行该实验 1000 次形成一个样本。根据大数定律样本均值应该 接近于什么值? 根据大数定律随着试验次数的增加样本均值应该接近于总体均值。在这个例子中总体 均值是 E ( X ) 1 2 E(X)\frac{1}{2} E(X)21 。 答案: 样本均值应该接近于 1 2 \frac{1}{2} 21 如果上述实验代表了一个总体那么再次随机抽取10个样本值计算其 样本均值。你期望这个样本均值与总体均值之间有多大的差异? 由于这是一个随机实验我们不能预先知道确切的差异。但我们可以计算标准误差来估计差 异的大小。 标准误差定义为: S E σ n S E\frac{\sigma}{\sqrt{n}} SEn σ 其中 σ \sigma σ 是总体标准差而 n \mathrm{n} n 是样本大小。在这里 σ Var ( X ) 1 12 \sigma\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\sqrt{\frac{1}{12}} σVar(X) 121 且 n 10 \mathrm{n}10 n10 。 S E 1 12 10 S E\frac{\sqrt{\frac{1}{12}}}{\sqrt{10}} SE10 121 这个值给出了样本均值的平均波动幅度。 答案: 我们期望样本均值与总体均值之间的差异大约在上述的标准误差范围内。
